多元函數的極值的判別準則

郭計敏

鶴壁職業技術學院 河南鶴壁 458030

多元函數的極值的判別準則

郭計敏

鶴壁職業技術學院 河南鶴壁 458030

多元函數極值判別是高等數學研究中的非常重要的內容，對研究活動開展和思維能力培養具有重要作用。本文結合高等數學研究的具體內容，就多元函數極值判別準則的意義、實例、需要注意的問題進行探討分析，提出相應的對策，希望能為研究工作順利開展和研究活動有效進行提供啟示與借鑒。

多元函數；極值；判別準則

一、引言

整個高等數學《數學分析》課程中，多元函數極值判別是其中非常重要的內容。不管是理論研究，還是實踐應用，多元函數極值判別準則都具有重要作用，也受到研究工作者和研究人員的重視。本文將結合工程實例，就多元函數極值判別準則進行探討分析，并通過具體實例進行介紹，希望能為研究工作的有效開展提供借鑒。

二、多元函數極值判別準則的意義

多元函數極值問題一直是高等數學研究的重要內容，也吸引眾多學者的注意。其中，比較有代表性的學者如朱張興、王大胃、張靜、荊慶林等，這些學者從不同的角度入手，對多元函數極值判別準則進行研究，并提出相應對策，對研究活動有效開展具有積極作用。通常來說，函數極值分為普通極值問題和條件極值問題。對于不同類型的極值問題，應該有針對性的采取對策，掌握有效的解題方法，為研究活動順利開展創造條件。普通極值問題常稱為無條件極值問題，但不管怎樣，有條件和無條件極值問題，都是相輔相成的，對研究活動開展具有積極作用。一般來說，在研究過程中，解決好無條件極值問題，有助于解決條件極值問題，同時，解決好條件極值問題，對解決無條件極值問題具有促進作用。因而在研究過程中，必須清楚明了二者的聯系與區別，然后采取有效的研究方法，對二者進行更為深入合理的研究。同時在研究過程中，大部分函數是隱性給出的，應該結合多元函數的具體內容，掌握所給出的條件，深刻領悟其中的隱性條件，然后應用極值判別準則，對極值問題進行有效研究和判斷。進而深化對極值問題的認識，為更好開展研究工作提供便利。

三、多元函數極值判別準則的實例

為深化對多元函數極值判別準則的認識，提高研究工作者的思想認識，讓研究人員有效掌握判別準則，為科研活動順利開展提供便利，下面將結合實例對多元函數極值的判別準則進行探討分析。

（一）

定理1

設二元函數f(x,y)在點P0(x0,y0)的某鄰域內具有三階連續偏導數，且P0是穩定點，又

則當

時，f(x,y)在點P0(x0,y0)不取極值。

證明：

由給出的條件及Taylor展開公式，就有：

然后分三種情況討論，當

時，f(x,y)在點P0(x0,y0)均不取極值

同理，當

時，f(x,y)在點P0(x0,y0)均不取極值

綜上所述，當

時，f(x,y)在點P0(x0,y0)不取極值，定理證明完畢。

實例1

討論：

f(x,y)=2x3-3xy3+5y3在點（0,0)是否取極值？

解：

通過計算分析得知，f(x,y)在點(0,0)的一階、二階偏導數都為0，由此可以得知，判別極值的充分條件失效。但是，

二元函數f(x,y)=2x3-3xy2+5y3在點（0,0)不取極值。

（二）

定理2

設f(x,y)在點P0(x0,y0)的某鄰域內具有四階連續偏導數，且P0是駐點。又對任意的h,k使得

則有，當

當det[S(P0)]小于0時，f(x,y)在點P0(x0,y0)不能取得極值

當det[S(P0)]等于0時，f(x,y)在點P0(x0,y0)是否取得極值

證明：

由給出的條件及Taylor公式得知：

當det[S(P0)]小于0時，f(x,y)在點P0(x0,y0)不能取得極值

當det[S(P0)]等于0時，不能肯定f(x,y)在點P0(x0,y0)是否取得極值。證明完畢。

實例2

討論函數

在（0,0）是否取極值？

解：

計算得知，f(x,y)在（0,0）點的一至三階偏導數全為0，由定理2得知，

四、多元函數極值判別準則應用需要注意的問題

在研究和實踐應用中，多元函數的極值問題具有重要作用。在這樣的背景下，加強研究工作，掌握多元函數的極值判斷準則是不可忽視的。本文介紹了多元函數極值判別準則的意義，結合具體實例進行研究和分析，有助于深化對極值判別準則的認識，加深研究者的印象。但需要注意的是，多元函數極值判別準則研究是比較難的內容，應該做好審題工作，把握題目給出的隱性條件，對題目中給出的條件有深刻和全面的認識。另外還要善于應用創造性思維，敢于突破和創新，對多元函數極值判別準則有更為全面的認識，為研究工作順利開展創造便利。

五、結束語

總之，在多元函數極值判別中，應該認識其重要作用，掌握應用準則。同時還要善于總結經驗，發揮創造性思維，激發研究人員的興趣和熱情。作為研究人員，應該重視判別準則的引導和應用，合理將定理應用到研究活動當中，并對相關內容進行深入分析，并解答研究中遇到的疑惑。從而讓研究人員更好融入研究活動，有效掌握多元函數極值判別準則，為研究活動順利進行和研究人員的工作效率提升創造條件。

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[3]王敏芝.關于多元函數的極值的判別準則[J].浙江理工大學學報,2007(5),592-596

[4]華東師范大學數學系.數學分析:上冊.下冊[M](第4版),北京:高等教育出版社,2011