數(shù)學模型在金融市場的應用

文/常琪卿

數(shù)學模型在金融市場的應用

文/常琪卿

數(shù)學模型在金融領域中的應用廣泛，利用數(shù)學模型可以清晰的分辨出市場之間的關系以及金融市場的內在邏輯。本文將概括性介紹一些數(shù)學模型及其在金融市場中的應用。

金融市場；數(shù)學模型；證券投資組合模型；CAPM模型

隨著數(shù)學水平和計算機技術的發(fā)展，數(shù)學模型越來越多的應用在了經(jīng)濟領域，特別是金融領域。而在金融領域中，金融市場上的交易與投資無疑是最為核心也最為復雜的部分。如何在浩如煙海的投資標的中，根據(jù)投資人的需要將不同的資金流匹配到不同的產品上去，既需要熟悉金融市場上的不同產品，更需要在這基礎上對其風險與收益的特征進行識別，對不同的產品進行恰當?shù)慕M合，從而使資金在可接受的風險水平下獲得最大的回報。將數(shù)學模型應用于金融市場上，有助表達金融市場系統(tǒng)的本質，做出恰當?shù)耐顿Y決策。

一、金融市場概述

(一)什么是金融市場

金融市場即廣義上進行資金流通的市場，在這個市場上，活躍著資金的供給方，資金的需求方，金融中介，監(jiān)管者等四類機構。資金的供給方和需求方在政府或其他機構的監(jiān)管下，通過中介方提供的服務，完成對資金供需的匹配，實現(xiàn)資金資源的最大化利用。

(二)金融市場的分類

金融市場按照交易方式的不同，可以分為一級市場和二級市場，如，上市公司首次公開發(fā)行股票，屬于一級市場；而在證券交易所中，該股票的流通交易則屬于二級市場的交易。按照金融產品的不同，金融市場還可以分為股票市場，債券市場，期貨市場，外匯市場，保險市場等。而其中，投資與理財，股票和基金，借貸及保險，則是和我們廣大人民群眾密切聯(lián)系在一起的。

二、數(shù)學模型概述

數(shù)學模型是運用數(shù)理邏輯方法和數(shù)學語言建構的科學或工程模型。數(shù)學模型對復雜的實際問題進行抽象和簡化，從而用數(shù)學的語言做出表述和求解。數(shù)學模型既可以是簡單的，如，在經(jīng)濟學中，用供給曲線和需求曲線描述產品市場，在生物學中，用J字型曲線描述種群數(shù)量隨時間的變化，也可以是復雜的，如用神經(jīng)網(wǎng)絡算法解決最優(yōu)化為題。在現(xiàn)代金融分析中，通過數(shù)學模型進行定量和定性的分析，以找到金融活動中潛在的規(guī)律，并用以指導實踐，已成為越來越普遍的現(xiàn)象和行之有效的技術手段。

三、數(shù)學模型在金融領域的應用舉例

(一)證券投資組合模型

1952年，美國經(jīng)濟學家馬考維茨首次提出投資組合理論，并進行了系統(tǒng)、深入和卓有成效的研究，他因此獲得了諾貝爾經(jīng)濟學獎。證券投資組合理論首先考察單支證券的收益和風險，從概率論的角度，將證券的價格視為隨機變量，以該隨機變量的數(shù)學期望刻畫證券收益，而以其方差，即波動性度量指標，刻畫風險。對于由多種具有不同收益風險的證券組成的投資組合，該模型認為投資組合的收益是這些證券收益的加權平均，但是其風險需要綜合考慮單支證券的風險以及各自之間的相關性。通過構建這樣的模型，可以看出，投資組合能降低風險。

1.資產組合的預期收益模型

把投資組合中的證券價格作為隨機變量，用其均值表示收益。

2.資產組合的方差模型

利用方差來表示各種收益之間的關系

方差刻畫了投資組合的風險，方差越大，說明投資組合的實際收益距離預期收益的波動性越大，投資人面臨的風險也就越大。該模型的優(yōu)點在于，可以利用數(shù)學模型清晰直觀的看出各種證券風險與收益之間的關系，同時也說明，不同資產的收益率之間的相關性越小，組合整體的風險也就越低，這也就是我們常說的“不要把雞蛋放在同一個籃子里”。但這只是一個大致的關系，具體的投資還需要具體分析。該模型通過簡單直觀地均值—方差表述，科學的闡釋了現(xiàn)代金融中分散化投資的理念。

(二)資本資產定價模型(CAPM模型)

數(shù)學模型在金融市場應用的另一大主要成果是資本資產定價模型，資本資產定價模型(Capital Asset Pricing Model 簡稱CAPM)，是由威廉?夏普、約翰?林特納一起創(chuàng)造發(fā)展的，旨在研究證券的市場價格是如何確定的。該模型將市場上所有產品按照其市值構建的投資組合成為市場組合，并以市場組合的風險為基準，刻畫了任一資產(或任一投資組合)的價格與其風險之間的關系。

CAPM模型可用如下公式來表達：

其中：Eri是資產i的預期回報率；rf是無風險利率；βim稱為Beta系數(shù)，即資產i的系統(tǒng)性風險，由資產組合與市場組合的相關性決定；Erm是市場的預期市場回報率；Erm-rf是市場風險溢價(market risk premium)，即預期市場回報率與無風險回報率之差。

通過上式可以看出，任一投資組合的相對于無風險收益的溢價都與市場組合相對于無風險收益的溢價成正比，比例系數(shù)即為該資產與資產與市場組合的相關性。相關性越大，則其風險溢價與市場組合的風險溢價越接近。這個簡單的線性模型清楚直觀的說明了收益和風險之間的關系，對以后的資本資產定價都有重要意義。它提供了一個可以衡量風險大小的模型，來幫助投資者決定判斷風險與收益的相對大小。此模型也暗合了馬克思主義經(jīng)典政治經(jīng)濟學，資產價格圍繞資產價值波動，并具體細化為相關性。

四、小結

目前，國際金融領域在不斷地發(fā)展，數(shù)學上的很多模型以及在金融市場得到了廣泛的應用。因此，我們應該認真學習數(shù)學，把它更多的開發(fā)應用在金融中，使其在金融領域中具有更佳廣泛的應用前景。

[1]鄭玲.論數(shù)學模型在經(jīng)濟領域的應用[J].教育經(jīng)濟研究, 2008.

[2]何宏慶.淺談數(shù)學模型在金融市場的應用[J].科技經(jīng)濟市場, 2009.

(作者單位：北京市第十五中學)