Esscher保費的非參數估計

張林娜，溫利民,2

（1.江西師范大學 數學與信息科學學院，南昌 330022；2.江西財經大學 信息管理學院，南昌 330013）

Esscher保費的非參數估計

張林娜1，溫利民1,2

（1.江西師范大學 數學與信息科學學院，南昌 330022；2.江西財經大學 信息管理學院，南昌 330013）

Esscher保費原理是非壽險精算中最重要的保費原理之一,在精算學中有重要的運用。文章研究了Esscher保費的非參數估計,并證明了估計的強相合性和漸近正態性，最后通過數值模擬的方法驗證了估計的收斂速度及漸近正態性。

Esscher保費原理；非參數估計；相合性；漸近正態性

0　引言

一般地,保險公司常常根據已有的歷史數據來制定保費。在保險精算學中,把一份保單可能導致的索賠定義為一個風險,用隨機變量X來表示。因此,X為只取非負值的隨機變量,這時該保險的歷史索賠數據Xi，i=1，2，…可以看作是該總體的隨機樣本。通過分析和了解這些數據信息,進而為該保單制定合理的價格,即為保費。有關保費的厘定可參考文獻[1]和文獻[2]。在某種保費原理下,通過樣本對保費進行估計,可分兩種情況,一種情況是已知風險X的分布類型,但分布中含有未知參數,因此通過樣本信息對未知參數進行估計,進而對保費進行估計,這類估計方法為參數估計法,另一種情況是我們對風險的分布一無所知,可用經驗分布對總體分布進行估計,這種方法稱為非參數估計。對于Esscher保費的參數估計,我們有多種方法對其進行估計,例如極大似然估計、矩估計、Bayes估計、信度估計等,可參考文獻[3-5]。然而在實際生活中,我們很難得知風險的真實分布,因此,對Esscher保費非參數估計問題的研究也很重要。

1　Esscher保費原理

考慮某個保險公司的某種保單在一定時間（這里指一年）的索賠額,一般地,對索賠額過程Xi，i=1，2，…提出下面的假設：

假設1：索賠額Xi，i=1，2，…獨立同分布,具有概率分布函數密度函數矩母函數以及和都存在。

根據假設,對Esscher保費的定義如下：

定義1：對隨機變量X,定義X的保費為：

在Esscher保費原理中,h被稱為Esscher參數。容易驗證也就是說,根據Esscher保費原理收取的保費能保證償付。由于Esscher保費是h的函數,可以證明Esscher保費是 h的遞增函數,且有因此,當h增大時,保費的安全負荷系數增加,但被保險人承擔的保費壓力也較大,保險公司可以根據自身的業務情況決定一個合適的Esscher參數。另外,Esschcr保費事實上是使得期望指數損失函數達到最小的解,可參考文獻[5],即：

2　Esscher保費的非參數估計

本節給出Esscher保費的非參數估計及其大樣本性質。設Xi,i=1，2，…，n為來自總體X的樣本容量為n的樣本,即為前n年的歷史數據,若用Plug-in估計去估計總體X的分布,則可得到的一個非參數估計：

證明：由式(3)可知

證明：為了方便,本文令：

其中：

證明：本文仍用定理2的記號,并令:

其中：

同理,可計算Y及Z的協方差為：

由于{} Wi，i=1，2，…，n也為獨立同分布的二維隨機向量,因此由中心極限定理,有：

其中Σ為向量W的協方差陣：

3　數值模擬

本文在例1給定的分布假設下進行數值模擬,驗證Esscher保費的非參數估計的大樣本性質,并與極大似然估計(MLE)進行比較。Esscher保費的MLE也即將分布中未知參數的MLE代入式(1)即可。在例1中,Poisson分布的參數λ的極大似然估計為則在Poisson分布下,Esscher保費的MLE為本文運用Bootstrap方法進行數值模擬,比較非參數估計與MLE在不同樣本容量下的均方誤差,均方誤差的預測可分別用下面的式子近似,記為MSEP：

分別取n=30，100，200，500，800，1000下模擬,每次模擬重復5000次,計算得到兩種估計的平均值及其相應的預測均方誤差MSEP如表1所示。

表1　不同樣本容量下,MLE及非參數估計的均值和預測均方誤差

由表1可看出在不同的樣本容量下,兩種估計的平均值與真實值都較接近,且隨著樣本容量n的增大,MSEP都較小,并且越來越小,同時也可看出非參數估計的MSEP略大于極大似然估計的MSEP,但在實際生活中,我們很難從已有的數據得知總體的分布類型,若分布判斷錯誤,可能造成很大的估計誤差,由表1可看出非參數估計的預測均方誤差也較小,因此,Esscher保費的非參數估計也是一個很好的估計。

[1]Young V R.Premium Principles[M].New Jersey:Wiley,2004.

[2]Furman E,Zitikis R.Weighted Premium Calculation Principles[J].In?surance:Mathematics and Economics,2008,42(1).

[3]Pan M,Wang R,Wu X.On the Consistency of Credibility Premiums Regarding Esscher Principle[J].Insurance:Mathematics and Econo?ics,2008,42.

[4]Strasser H.Consistency of Maximum Likelihood and Bayes Estimates[J]. The Annals of Statistics,1981,9(5).

[5]王偉,溫利民,章溢.Esscher保費原理下信度估計的比較[J].華東師范大學學報(自然科學版),2010,(3).

（責任編輯/易永生）

O211.9

A

1002-6487（2016）22-0018-03

國家自然科學基金資助項目（71001046）；江西省教育廳基金資助項目（GJJ13217）；江西省研究生創新基金項目項目（YC2014-S162）

張林娜（1991—），女，山西大同人，碩士，研究方向：數理統計、保險精算。溫利民（1979—），男，江西石城人，博士，教授，研究方向：數理統計、保險精算。