失擬檢驗(yàn)在社會物流總額函數(shù)的應(yīng)用

張學(xué)新

（湖北工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北孝感 432000）

失擬檢驗(yàn)在社會物流總額函數(shù)的應(yīng)用

張學(xué)新

（湖北工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北孝感 432000）

文章討論了多元線性回歸模型異方差情形的失擬檢驗(yàn)問題，實(shí)例模擬研究了失擬檢驗(yàn)的效率，給出了失擬檢驗(yàn)在社會物流總額關(guān)于GDP一次函數(shù)的應(yīng)用。

失擬檢驗(yàn)；勢分析；蒙特卡洛模擬；異方差；社會物流總額函數(shù)

0　引言

回歸方程常用于研究變量之間的聯(lián)系，常假設(shè)它能對所有可能的因變量、自變量及不可觀測的誤差項(xiàng)成立，它可能會包含不必要的或無關(guān)的變量，或忽視某些變量。如果設(shè)定的函數(shù)形式真實(shí)地反映了那些感興趣變量的關(guān)系，相應(yīng)的估計(jì)或推斷過程將是可靠并有效的；如果回歸模型的設(shè)定是錯(cuò)誤的，那么統(tǒng)計(jì)推斷可能是誤導(dǎo)的、甚至是災(zāi)難性的。因此，評估回歸函數(shù)參數(shù)形式的充分性將是回歸建模不可缺少的部分。雖然拉格朗日乘子檢驗(yàn)、各種殘差圖等幾何工具經(jīng)常用來檢驗(yàn)設(shè)定的回歸函數(shù)的適當(dāng)性，但是沒有利用組內(nèi)變異的信息，而失擬檢驗(yàn)具有一定的優(yōu)勢，因?yàn)樗抢弥貜?fù)觀測數(shù)據(jù)。對失擬檢驗(yàn)的研究逐步得到重視[1，2]，主要在試驗(yàn)性學(xué)科領(lǐng)域，國內(nèi)研究也只見工業(yè)實(shí)際應(yīng)用及試驗(yàn)設(shè)計(jì)方面[3～7]，在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域似乎不多見[8]，本文對此作了有益嘗試。本文首先研究多元線性回歸模型中的失擬檢驗(yàn)，通過一個(gè)真實(shí)的羊肉需求模型分析失擬檢驗(yàn)的勢。然后利用199l—2014年樣本數(shù)據(jù)檢驗(yàn)GDP是社會物流總額的單向Granger原因，通過一元線性回歸方程，以GDP的歷史值預(yù)測社會物流總額本期值，并使用失擬檢驗(yàn)佐證了社會物流總額關(guān)于GDP的線性模型。本文方法為失擬檢驗(yàn)在宏觀經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用提供了參考。

1　失擬檢驗(yàn)

在研究線性回歸函數(shù)變量之間的關(guān)系時(shí)，利用重復(fù)試驗(yàn)或觀察的數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)回歸模型是否可以接受，稱為失擬檢驗(yàn)。失擬檢驗(yàn)很直觀，將模型殘差視為隨機(jī)誤差加上失擬誤差。隨機(jī)誤差與模型無關(guān)，但失擬誤差卻與模型相關(guān)，如果模型合適，失擬誤差的值就小，否則失擬誤差的值就會很大。因此，可以把殘差平方和分解為純誤差平方和與失擬平方和，以失擬誤差對純誤差的相對大小來做判斷。如果失擬誤差會顯著地大于純誤差，應(yīng)該放棄模型。

通常，失擬檢驗(yàn)用于比較一個(gè)分類模型是否比一個(gè)線型模型更顯著性的擬合了數(shù)據(jù)?，F(xiàn)在考慮p-1元線性回歸模型Y=Xβ+ε，其中Y=(y1，y2，···，yn)T，X=(x1，···xi，···xn)T，xTi=(1，

xi，1···xi，p-1)，β=(β0，β1，···，βp-1)T，ε=(ε1，ε2，···，εn)T～N(0，σ2In)，i=1，···n。在重復(fù)觀測情形下，假設(shè)每個(gè)自變量重復(fù)水平數(shù)均為m，把因變量y在第i個(gè)水平組合處的第j個(gè)觀測表示為是總觀測值數(shù)。需要檢驗(yàn)：

整個(gè)檢驗(yàn)過程結(jié)果用一張方差分析表給出，見表1所示。

表1　多元回歸情形失擬檢驗(yàn)方差分析

在一元多項(xiàng)式回歸情形，最常見的失擬檢驗(yàn)是H0:E(y|x)=(1，x，···xp-1)β對 H1:E(y|x)≠(1，x，···xk-1)β(k)，β(k)=(β0，β1，···βk-1)T，1≤p＜k≤c，其中c是變量x的水平數(shù)。設(shè)總觀測值個(gè)數(shù)n，則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

特別的，失擬檢驗(yàn) H0:E(y|x)=(1，x)β(2)對 H1:E(y|x)≠(1，x)β(2)的統(tǒng)計(jì)量：

2　失擬檢驗(yàn)的勢分析

假設(shè)檢驗(yàn)的勢（Power）是指當(dāng)零假設(shè)H0錯(cuò)誤時(shí)，正確拒絕它的概率，也叫統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的靈敏性。當(dāng)存在一個(gè)真實(shí)的效應(yīng)需要檢測時(shí)，檢驗(yàn)的勢反映了某個(gè)研究將證實(shí)這個(gè)統(tǒng)計(jì)效應(yīng)的可能性。勢越高，認(rèn)可效應(yīng)的可信度越大。檢驗(yàn)的勢受顯著性水平α，樣本容量n及效應(yīng)ES大小的影響，對給定顯著性水平α，檢驗(yàn)的勢越大越好。

劉銳，王莉[9]提出羊肉需求模型：

其中，MPC為羊肉人均消費(fèi)量，pdi為城鄉(xiāng)居民可支配收入，pb為牛肉價(jià)格，pm為羊肉價(jià)格。模型估計(jì)結(jié)果是：

現(xiàn)有意在H0:lnMPC=-0.7652+0.1484lnpdi-0.1434 lnpm+0.1484lnMPCt-1中忽視牛肉價(jià)格 pb，即讓H1:lnMPC=-0.7652+0.1484lnpdi-0.1434lnpm+clnpb +0.1484lnMPCt-1正確，本文分析失擬檢驗(yàn)的勢。

設(shè)計(jì)如下模擬方案：對各個(gè)解釋變量，按照由樣本獲得的各自最小值與最大值等間距劃分水平，在每種水平組合上均重復(fù)測量4次，取因變量每次對應(yīng)的誤差項(xiàng)εt～N(0，1)。分別取參數(shù)c=0，0.08，0.15，0.5，1，2，水平數(shù)l=5，10，20，30，50，80。在每種(c，l)組合上均模擬1000次，取顯著性水平α=0.05，研究失擬檢驗(yàn)勢隨c，樣本容量n=4l變化情況，見表2及圖1所示。

表2　羊肉需求模型失擬檢驗(yàn)勢

這個(gè)模擬研究表明，隨著備擇假設(shè)越來越偏離零假設(shè)的模型，失擬檢驗(yàn)的效率越來越大，樣本容量越大，檢驗(yàn)效率越高，對于備擇假設(shè)的模型很接近于零假設(shè)的時(shí)候（c= 0，0.08，0.15），可能會做出錯(cuò)誤的決策，但是隨著備擇假設(shè)偏離零假設(shè)模型很大時(shí)（c=0.5，1，2），失擬檢驗(yàn)有較好的效率，能夠做出較好的模型。

圖1　擬檢驗(yàn)勢隨參數(shù)c，樣本容量變化趨勢

玉米的價(jià)格pma與MPC有無關(guān)系呢？玉米可以飼養(yǎng)豬或雞，有理由認(rèn)為pma對羊肉消費(fèi)有負(fù)影響，在H0中加入-clnpma項(xiàng)，仿照上述模擬方案，得到圖2。

圖2擬檢驗(yàn)勢隨樣本容量變小

圖2顯示，失擬檢驗(yàn)的勢在小樣本情形急劇下降，而對大樣本情形則一致平穩(wěn)，低于10%，故不能認(rèn)為玉米的價(jià)格是個(gè)無關(guān)變量。當(dāng)玉米的價(jià)格劇烈增長時(shí)，它對羊肉消費(fèi)有影響，可能體現(xiàn)在它與豬肉（雞肉）產(chǎn)量的關(guān)系上，豬肉（雞肉）產(chǎn)量的增長間接降低了羊肉消費(fèi)。可見該羊肉需求模型還有改進(jìn)的余地。

3　異方差情形的失擬檢驗(yàn)

這里wi是某個(gè)回歸因子或其他變量，而α和δ都是待估未知參數(shù)。由，得其中可以認(rèn)為[10]對做普通最小二乘法就得到α和δ的一致的漸進(jìn)有效估計(jì)。

4　社會物流總額函數(shù)的失擬檢驗(yàn)

作為失擬檢驗(yàn)在宏觀經(jīng)濟(jì)中的一個(gè)應(yīng)用，現(xiàn)在研究楊琳，劉忠波[11]提出的全社會物流總額與GDP之間一元二次模型與一元一次模型設(shè)定問題。

本文選取1991—2014年中國國內(nèi)生產(chǎn)總值GDP與全社會物流總額TVSL的數(shù)據(jù)（單位：萬億元）：

GDP=[2.16,2.66,3.46,4.68,5.85,6.79,7.45,7.83,8.19,9.00, 9.73,10.52,11.69,13.65,18.23,20.94,24.66,31.40,33.50,39.80, 47.16,51.93,56.80,63.65]；

TLV=[3.02,3.91,5.43,7.92,10.20,11.03,12.37,12.87,13.89, 17.06,19.45,23.26,29.55,38.38,48.01,59.60,75.23,89.89,96.65, 125.40,158.40,177.30,197.80,213.50]；（來源：1991—2014年《中國第三產(chǎn)業(yè)統(tǒng)計(jì)年鑒》、全國物流運(yùn)行情況通報(bào)（中華人民共和國國家發(fā)展和改革委員會）、《中國統(tǒng)計(jì)年鑒》及中國物流采購與聯(lián)合會網(wǎng)站等。）

首先擬合全社會物流總額TVSL與國內(nèi)生產(chǎn)總值GDP間的簡單回歸方程，得：

模型估計(jì)結(jié)果見表5所示，表明方程擬合較好。

其次進(jìn)行異方差檢驗(yàn)，同時(shí)采用Breusch-Pagan檢驗(yàn)、White檢驗(yàn)、及White與Wooldridge特別情形檢驗(yàn)。

在White檢驗(yàn)的輔助回歸方程中最小二乘估計(jì)的殘差平方需在所有原始自變量及它們的平方項(xiàng)、交叉乘積項(xiàng)上回歸；Breusch-Pagan檢驗(yàn)是White檢驗(yàn)的特殊情形，殘差平方只在原始自變量上回歸；而White與Wooldridge特別情形檢驗(yàn)是殘差平方在因變量的擬合值及擬合值平方項(xiàng)上回歸。

三種檢驗(yàn)的p-值是，White檢驗(yàn)的pValW=0.4002，Breusch-Pagan檢驗(yàn)的pVal BPK=0.2162，Breusch-Pagan檢驗(yàn)的pValWs=0.4002，說明沒有異方差。

最后模型適定性檢驗(yàn)：

為了獲得自變量上的重復(fù)觀測值，把GDP數(shù)據(jù)每連續(xù)三年求平均，并以該平均值代替原值，得到點(diǎn)(GDP, TLV)18個(gè)重復(fù)觀測值：(4.12,2.16)，(4.12,2.66)，(4.12,3.46)，(9.72,4.68)，(9.72,5.85)，(9.72,6.79)，(13.04,7.45)，(13.04, 7.83)，(13.04,8.19)，(19.92,9.00)，(19.92,9.73)，(19.92, 10.52)，(38.65,11.69)，(38.65,13.65)，(38.65,18.23)，(74.91, 20.94)，(74.91,24.66)，(74.91,31.4)。據(jù)此做失擬檢驗(yàn)，結(jié)果見表3所示。

表3　自變量重復(fù)觀測的回歸模型失擬檢驗(yàn)

表3表明，在0.01，0.05顯著性水平下，均接受H0:E(TLV|GDP)=-12.281+3.548GDP的假設(shè)，說明社會物流總額作為GDP一次函數(shù)是合適的。

如果選擇把GDP數(shù)據(jù)每連續(xù)五年求平均，失擬檢驗(yàn)的結(jié)果仍是接受原假設(shè)。把變量觀測值調(diào)整為重復(fù)觀測值，原則上要求它們相差不顯著，也不應(yīng)定要求每個(gè)重復(fù)觀測值是等重復(fù)的。

賈國強(qiáng)[12]利用199l—2010年樣本數(shù)據(jù)證實(shí)社會物流總額與GDP互為Granger因果關(guān)系，本文把樣本數(shù)據(jù)擴(kuò)展為199l—2014年后發(fā)現(xiàn)，無論是滯后1期，還是滯后2期，在5%顯著性水平下，結(jié)果都是：GDP是TLV的Granger原因，但TLV不是GDP的Granger原因。GDP2期對TLV的預(yù)測能力似乎比其1期的強(qiáng)(0.0079＜0.0282)，參見表4。

表4　成對Granger因果檢驗(yàn)

這個(gè)結(jié)果是可以接受、可以解釋的。從TLV的構(gòu)成及GDP的定義看，TLV只是GDP的小部分，從我國社會物流發(fā)展歷程看，是國內(nèi)生產(chǎn)總值發(fā)展到一定程度后，才有物流發(fā)展，這與方程(9)的常數(shù)項(xiàng)為負(fù)值是吻合的。通常GDP數(shù)據(jù)發(fā)布滯后1～2年，實(shí)際上不可能用當(dāng)年GDP預(yù)測同年的TLV。因而，預(yù)測本年TLV應(yīng)該是利用GDP的前年值或上前年值，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)可靈活選擇。使用不同滯后期GDP預(yù)測TLV的模型信息見表5，其中模型的調(diào)整-R2=都很高，模型顯著性檢驗(yàn)的p-值及回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)的p-值均接近0，表明各個(gè)方程擬合也好。

表5　TLV對不同滯后期GDP的回歸結(jié)果

5　結(jié)語

失擬檢驗(yàn)本質(zhì)上是利用來自于組內(nèi)變異的額外信息，因變量在至少自變量的一個(gè)水平上有重復(fù)觀測值，純誤差源于這些重復(fù)。失擬檢驗(yàn)可以給出獨(dú)立于模型之外的參數(shù)σ2的估計(jì)，是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動檢驗(yàn)方法。由于失擬檢驗(yàn)要求有重復(fù)試驗(yàn)的數(shù)據(jù)，不及某些模型設(shè)定準(zhǔn)則及模型選擇準(zhǔn)則應(yīng)用普遍。但是，本文對失擬檢驗(yàn)的勢函數(shù)模擬分析表明失擬檢驗(yàn)?zāi)苡行?yōu)化模型，只要對經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)適當(dāng)歸為重復(fù)觀測的情形，失擬檢驗(yàn)就能更多地應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)擬合研究中。

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（責(zé)任編輯/浩天）

F224.7

A

1002-6487（2016）22-0073-03

張學(xué)新（1966—），男，湖北宜城人，博士，副教授，研究方向：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用。