基于太陽陰影軌跡的經緯度估計研究

王　扉，胡永彪，丁　玲

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基于太陽陰影軌跡的經緯度估計研究

王扉，胡永彪，丁玲

（湖南城市學院，湖南益陽 413000）

本文針對視頻文件的拍攝地點及日期的估計問題，根據天文學知識，建立了影子長度和方位角針隨觀測地經緯度、觀測時間變化的參數模型。對已知觀測日期和未知觀測日期的兩種情形，以影子長度的比和影子方位角的差總體誤差最小為目標，分別構建了兩個優化模型。數值試驗驗證了所給模型與算法的可行性。

太陽高度角；太陽方位角；地理位置；多目標規劃

現代科技的發展使得人們能夠更為方便地記錄高質量的視頻文件。在分析視頻材料時，有時需要確定視頻的拍攝地點及日期，而利用天文學知識，對視頻物體中的太陽影子變化進行分析是確定視頻拍攝地點及日期的一種有效方法。

通過對視頻進行圖像處理，可得出各個時刻直桿的太陽影子頂點坐標。難點在于通過所得出的坐標數據找出視頻拍攝的地點和日期。需要我們建立在地球不同地點（經緯度）、不同日期時刻下，描述物體影子長度變化規律的數學模型，進而基于所建模型給出視頻拍攝日期和可能的地點。

1 影子隨時間變化模型

首先，我們建立一個物體影子長度和方位角隨著時間變化的數學模型。

假設地球是圓球體， 觀測點附近地面水平，太陽照射地球為直線照射，不考慮大氣折射所引起的誤差和每日早晨和黃昏時候太陽高度角的假視。

太陽高度角和方位角是表征太陽位置的參數，確定了陽光對于地球表面任意一點的來向。如圖1所示，太陽高度角是太陽(視為一質點O)與地球表面任意一點P的連線與過P點的地平面之間的夾角，記為;太陽方位角是上述連線在過P點的地平面上的投影線與地平面上過P點正南方位線的夾角，記為。

圖1 太陽高度角和方位角的空間視圖

太陽赤緯是指太陽的直射緯度，即地球赤道平面與太陽和地球中心的連線之間的夾角。太陽赤緯角可由下列公式求得[2]，單位為度，準確度＜0.035：

太陽時角是過P點的經度平面和太陽所在經度平面之間的夾角。太陽連續兩次上中天的時間間隔叫做真太陽日，1真太陽日分為24真太陽時。真太陽時12點時，太陽正好通過當地子午線，此時的影長最短。故通常以當地真太陽時12點對應的太陽時角為零，每隔一時區相差15度來計量太陽時角，即

其中為真太陽時。

日常生活中所使用的時間是平太陽時。真太陽時與平太陽時的差值稱為時差。時差的計算方法如下[3]，單位為分鐘：

綜上所述，太陽高度角為

方位角通常以南點為0°，向西為正值，向東為負值。故

(8)

將(6)代入(8)得影長隨時間變化關系：

以直桿底端為原點，水平地面為xy平面，正東方向為x軸正方向，正北方向為y軸正方向，建立一平面直角坐標系。則影子末端點的坐標為

2 經緯度估計模型

下面，我們考慮這樣一個問題：假設一直桿垂直于地面，以直桿底端為原點，水平地面為xy平面建立一平面直角坐標系。已知一組影子末端坐標隨時間變化的數據，如何估算觀測地的經緯度？

我們分兩種情形考慮，問題1：已知觀測日期，求觀測地的經緯度；問題2：未知觀測日期，觀測地的經緯度和觀測日期。

問題1：已知觀測日期的經緯度估計

因為已知觀測年、月、日，則由式(1)-(4)可計算出赤緯度和時差。問題1可轉化為關于影子長度比與方位角差的誤差的加權平方和的優化問題：

由幾何知識易知在同一經線圈上必存在兩點使得它們的太陽高度角相同。以影子長比的誤差為目標函數（），只考慮到影子長度隨著時間變化規律，理論上有兩個不同緯度的最優解；而以影子方位角差的誤差為目標函數（）考慮到影子隨著時間旋轉方向，北半球地平面上影子一般是順時針方向變化，而南半球地平面上影子是逆時針方向變化，故理論上只有唯一解。

該問題的目標函數和約束函數的梯度較難計算，故可以采用直接法求解，例如單純形法，參見[4]。求解模型(11)的具體算法如下：

算法1（已知觀測日期的經緯度估計）

第1步初始化，按(9)和(10)，由給定觀測時間和坐標計算影長比和方位角差；

第2步按(1)、(2)和(4)，由給定觀測日期計算積日，赤緯和時差；

第3步用二次多項式擬合估計初始經度；

第4步用單純形法求模型(11)的近似最優解。

說明：除南北極附近以外，影長隨時間的變化均是由日出時影長無限大縮短到當地正午最短影長，然后再增長到日落時無限大。由于影長的變化規律的對稱性，可以用二次線擬合觀測時間和數據。設影長關于時間的擬合曲線最小值點為，以為當地正午北京時間近似值，則由(5)得，當地經度約為

經過實驗發現，當觀測到的影長變化率成線性（10-14點左右太陽）時，擬合二次曲線的極小點與當地正午誤差較小，當觀測到的影長變化較顯著（8-9點或15-16點太陽）時，擬合二次曲線的極小點可以加上或減去1小時的修正量來估計當地正午時刻，當觀測到的影長變化特別顯著（6-7點或17-18點太陽）時，二次曲線擬合就會嚴重失真。

問題2：未知觀測日期的經緯度估計

類似于問題1的討論，問題2可歸結為如下非線性優化問題：

由于一年中太陽在南北回歸線來回擺動，赤緯角和時差的變化呈周期性，一年中通常存在兩日太陽的赤緯角和時差相同，從而太陽高度角和方位角也相同，使得模型(12)存在兩個局部極小值點。

模型(12)是一個整數混合優化問題，很難直接求解，我們采用對積日雙層遍歷搜索方法。

算法2 （已知觀測日期的經緯度估計）

第一步按積日從6開始每增加10日調用算法1，求得總體誤差最小和次小對應的經緯度和積日；

第二步再分別對該兩個積日前后5天進行搜索，并以第一次搜索所得經緯度為初值調用算法1，最終得出總體誤差最小的經緯度和積日。

3 數值實驗

為了驗證我們前面所提出的模型和及其求解方法的可行性。我們對三次不同測量數據進行了驗證，數據來源于2015年全國大學生數學建模競賽A題。

例1設直桿垂直于地面，坐標系以直桿底端為原點，水平地面為xy平面。測量時間為北京時間，坐標單位為米。

測量1：日期2015年4月18日，地點是(109.5°E， 18.3°N)；

測量2：日期2015年7月20日，地點是(79.75°E， 39.52°N)；

測量3：日期2015年1月20日，地點是(110.25°E， 29.39°N)。

觀測數據參見2015A題附件[5]。算法1中單純形法可用MATLAB中指令fminsearch實現。

算法1的結果如表1所示，數值實驗結果表明在已知觀測日期時，除對于測量2，μ=1以外，算法1能有效反求出觀測地點。

表1 算法1求出的測量地點（經緯度單位：度）

算法2的結果如表2所示，數值實驗結果表明，算法2能較好地估計出觀測地經緯度，而對于觀測日期的估計，以影子方位角差的誤差為目標函數（）結果比以影子長比的誤差為目標函數（）的結果要好，而綜合考慮兩者（）的結果最佳。

表2 算法2求出的測量日期和地點（日期：月/日，經緯度單位：度）

結果的誤差主要來源于模型中太陽高度角和方位角計算忽略了大氣對太陽光線的折射影響和赤緯與時差的近似計算。

4 結束語

本文研究了利用太陽影子軌跡確定觀測地點和觀測日期的問題，當已知觀測日期時，構建了一個關于經緯度的非線性多目標規劃模型，當示知觀測日期時，構造了一個混合整數規劃模型。針對兩個模型，提出了相應算法，數值實驗驗證了模型的可行性和算法的有效性。模型構建過程中作了適當簡化假設，但對結果的影響可以忽略。

[1]王炳忠，劉庚山.日射觀測中常用天文參數的再計算[J]，太陽能學報，1991，12(1)，27-32.

[2]John A.Duffie， William A. Beckman. solar engineering of thermal processes[M]. Hoboken， NJ :John Wiley & Sons，2006.

[3]G.N. Tiwari. Solar energy :fundamentals， design， modelling and applications[M]. Boca Raton， FL:CRC Press，2002.

[4]袁亞湘. 非線性優化計算方法[M]. 科學出版社，2008.02.

[5]2015年全國大學生數學建模競賽賽題， http://www.mcm.edu.cn/html_cn/ node/ac8b96613522ef62c019d1cd45a125e3.html， 2015-09-12.

Geo-location estimation from the solar shadow

WANG Fei, HU Yong-biao, DING Ling

(Hunan City University, Hunan Yiyang 413000)

The paper is to estimate the location and date of the video file. According to the knowledge of astronomy, a parameter model of the length and azimuth angle of the shadow is established. For two cases of known observation date and unknown date, two optimization model of minimizing the total error of the ratio of the shadow length and the difference of the shadow azimuth is presented. Numerical experiments verify the feasibility of the models and the algorithms.

Solar altitude; Solar azimuth; Geographical location; Multi-objective programming

（責任編輯：雷 君）

P127

A

10.3969/j.issn.1672-7304.2016.06.016

1672–7304(2016)06–0033–04

王扉（1971-），男，湖南益陽人，博士，講師，研究方向：最優化理論與方法。