麻疹疫苗接種博弈的動力學模型及分析①

葛靜文， 王穩地

西南大學 數學與統計學院， 重慶 400715

麻疹是一種傳染性極強的呼吸道疾病， 多發生在兒童階段． 疫苗是預防疾病最有效的措施， 可以有效降低易感個體感染的可能性以及死亡的可能性[1]． 此外， 為消除麻疹， 各地區麻疹疫苗接種率需不低于95%， 但我國仍未實現消除麻疹的目標[2-4]． 分析原因可能是： 在實施強制接種疫苗的政策下， 部分地區因經濟發展落后或常規免疫服務薄弱而導致疫苗覆蓋率不足． 這表明， 部分個體可自愿選擇是否接種， 而其接種行為影響著疾病的傳播和控制．

文獻[5]利用博弈理論， 將模仿動力學與麻疹傳播動態結合建立疫苗博弈動態模型， 其中， 通過劃分年齡組來研究個體接種的延遲策略． 就麻疹而言， 發病率變化和疫苗覆蓋率變化之間出現延遲反映的就是延遲接種現象． 文獻[6]在博弈動態模型中引入離散時滯來反映這一現象， 但作者建立的模型表明個體接種變化僅與過去某個時刻的疾病狀態相關， 具有局限性． 實際上， 個體決策不僅與當前的疫苗風險和疾病狀態有關， 還與過去一段時間內的疫苗風險和疾病信息相關， 具有信息依賴性． 另外， 這些文章中假設整個種群中的個體都可進行自愿接種， 與實際的麻疹疫苗接種政策不符．

本文假設個體采納近期一段時間內的疫苗信息和疾病狀態來進行決策， 將信息依賴性應用到疫苗決策過程中， 引入分布時滯， 結合麻疹傳播動態， 在傳染病模型中考慮強制接種和自愿接種， 基于博弈論去分析個體接種行為變化， 分析影響自愿接種個體行為的因素， 為控制麻疹傳播提出更好的建議．

1 模型的建立

首先分析麻疹傳播動態． 用S，I，R，V分別表示易感者、 感染者、 恢復者、 有效接種者所占的比例． 考慮強制接種和自愿接種相結合． 種群中強制接種麻疹疫苗的個體比例為ρ， 其余的個體可自愿接種， 其接種比例為x．σ和φ分別表示疫苗效力和疫苗失效率，β為疾病傳播速率，γ為恢復速率，μ為出生率和死亡率． 然后根據博弈理論分析個體的疫苗決策行為． 這里假設個體根據過去一段時間內的策略收益差來進行決策． 設接種疫苗所需的成本為cv(包括疫苗費用、 路費等)， 未接種個體被感染后所需的成本為ci(包括治療的費用、 造成的損失等)． 另外， 種群中的疾病發生率為βI． 由此， 接種策略和不接種策略的期望收益可以分別表示為：

fv=-cv-(1-σ)βI·ci-σφβI·ci，fn=-βI·ci

(1)

函數g(t)=fv-fn是決策個體在當前狀態下所獲得的信息． 另外， 結合具有伽瑪分布的指數記憶衰退函數Γ(t|1，α)=αe-αt， 建立我們的信息函數：

設υ是個體模仿別人策略的速率， 根據文獻[7-8]中分析疫苗接種行為變化的過程來建立博弈動態模型． 另外， 考慮麻疹傳播過程， 變量R不影響其他變量的變化， 所以接下來不再分析恢復者比例變化情況． 那么， 可以得到以下模型：

(2)

2 平衡點的存在性及穩定性態

(3)

因為時滯不影響平衡點的存在性， 所以， 令方程組中各個方程右端為0， 發現有5種可能情況． 另外， 由S+I+V+R=1及x的生物意義， 需滿足0≤S，I，V，x≤1． 容易發現系統(2)一直存在兩個無病平衡點：

接著， 記無病狀態下種群中的易感者比例為SDEF， 一個感染者進入這個種群后， 在其平均感染周期內可感染的易感者的數量為有效再生數． 根據(3)式的生物意義得到有效再生數的表達式：

(4)

根據表達式(4)， 可以寫出無病平衡點E1，E2狀態下的有效再生數， 分別記為：

(5)

下面考慮其余3種情形并利用(5)式來分析平衡點的存在條件． 首先考慮x=0，I≠0的情形， 計算得到

顯然，

如果S3>1或V3>1， 那么，I3<0． 因此，I3>0， 就有

S3<1，V3<1

最后， 用同樣的方法分析x≠0，I≠0的情況， 記

接下來分析系統(2)各平衡點的穩定性． 記系統(2)的平衡點為En=(Sn，In，Vn，xn)． 在平衡點附近作線性化變換， 分析得到其特征方程為：

(6)

其中：

經分析， 有以下定理成立：

定理1系統(2)的邊界平衡點的穩定性如下：

(ii) 無病平衡點E2一直不穩定．

(iii) 邊界平衡點E3局部漸近穩定的條件是：

(7)

證以平衡點E3為例， 分析邊界平衡點的穩定性． 這里不再分析平衡點E1，E2，E4的局部穩定性．

將平衡點E3的值代入特征方程(6)， 可以得到特征根有如下關系：

可以知道，λ3<0，λ4<0． 若λ1<0， 即

下面分析時滯τ對內部平衡點E5穩定性的影響并證明Hopf分支的存在． 當τ>0時， 將其代入方程(6)， 可整理為

λ5+f1λ4+f2λ3+f3λ2+f4λ+f5+(f6λ+f7)e-λτ=0

(8)

其中：

在方程(8)中令λ=iω， 并分離實部和虛部， 得到下面兩個超越方程：

(9)

將超越方程兩邊分別平方， 并將兩個超越方程相加， 令z=ω2， 可以得到：

h(z)=z5+g1z4+g2z3+g3z2+g4z+g5=0

(10)

其中：

如果方程(10)滿足Routh-Hurwitz判據[9]， 即

(11)

則方程(10)不存在正實根， 即不存在滿足超越方程(9)的正ω． 總結以上過程， 可以得到以下定理：

定理2當τ>0時， 如果(11)式成立， 那么系統(2)的內部平衡點E5是局部漸近穩定的．

那么， 當τ=τ(j)時， ±iω是特征方程(8)的一對純虛根．

設

由Butler引理[11]可知， 當τ<τ0時， 特征方程(8)的所有根都有負實部， 平衡點E5局部漸近穩定．

其中：

那么， 若h′(z*)≠0， 則橫截條件成立， 系統(2)在τ=τ0處發生Hopf分支． 總結以上過程， 有以下定理成立：

定理3如果方程(10)有正根且h′(z*)≠0， 那么在τ=τ0處系統(2)發生Hopf分支． 當τ∈[0，τ0)時， 平衡點E5局部漸近穩定； 當τ>τ0且在τ0附近時， 系統(2)不穩定， 存在從平衡點E5分支出來的周期解．

取參數σ=0.8，μ=0.1，β=0.5，γ=0.1，ρ=0.6，φ=0.01，cv=10，ci=2 000，υ=0.01，α=0.4， 這時， 存在內部平衡點E5=(0.4， 0.012 6， 0.574 7， 0.475 7)． 另外可以得到τ=1.18時， 方程(10)有正根， 即特征方程(8)有純虛根且有z*=0.024 5，h′(z*)=1.43×10-5≠0， 由定理3可知， 系統在τ=τ0=1.18 處發生Hopf分支．

3 總結

本文建立麻疹疫苗接種博弈的動力學模型來分析個體的疫苗接種行為． 其中， 我們考慮影響個體決策的是過去一段時間內的疾病信息和疫苗信息． 分析得到了有效再生數Rv的表達式， 分析了系統的平衡點并證明了其局部穩定性， 還得到了Hopf分支的存在性． 觀察模型(2)和策略收益的表達式(1)， 基于博弈論分析自愿接種比例x隨信息參數和時間的變化時， 疫苗效力σ的增大、 疫苗失效率φ的減小和疫苗接種風險成本cv的降低都會增大接種策略的收益， 這也就有利于提高自愿接種意愿， 即提高自愿接種個體的疫苗水平x， 進而更好地控制麻疹的傳播． 另外， 根據內部平衡點E5穩定的條件(11)， 模仿率υ越大， 平衡點越趨于不穩定狀態， 即個體決策在接種和不接種之間來回切換． 依據Hopf分支周期解的存在性分析， 當個體采納的信息區間長度τ>τ0時， 系統存在不穩定的情況， 個體決策會出現反復， 疾病可能會再次爆發．