淺析初中數學教學中的全等三角形解題策略

謝瑤謀

（福建省晉江市陶英中學）

淺析初中數學教學中的全等三角形解題策略

謝瑤謀

（福建省晉江市陶英中學）

全等三角形的內容是初二數學中的重點知識，也是教學中的難點。許多學生由于基礎知識薄弱或無法進行邏輯推理等原因，造成了在學習中遇到重重障礙的困境，致使全等三角形的教學工作難以有實質性的跨域，針對這些實踐中出現的問題提出了幾點解題策略，望對各位同仁有所裨益。

中學數學；全等三角形；解題策略

全等三角形這類題目在考試中多以大題形式出現，要求證明兩三角形全等或根據已知的三角形求另一三角形的某個邊長，這樣的大題若失分則成績難以提高，因此，在初中教學中，數學教師應當將此問題重視起來。

一、全等三角形在實踐解題中出現的問題

1.基礎概念掌握不牢固

所謂全等三角形是指經過翻轉、平移后，能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形，而該兩個三角形的三條邊及三個角都對應相等。驗證兩個全等三角形一般用邊邊邊（SSS）、邊角邊（SAS）、角邊角（ASA）、角角邊（AAS）和直角三角形的斜邊，直角邊（HL）來判定。有些初中生在學習全等三角形時，認為概念類的知識根本用不著記憶，只要在實踐中多加練習自然就能明白，因此，忽略了概念的重要性。在證明兩個三角形全等的過程中根本不清楚需要用到哪些條件，如此，怎能學好全等三角形知識。

2.思路不清，邏輯混亂

證明兩個三角形全等的過程，是邏輯推理、分析、整合的過程，如果在大腦中不能形成一個嚴密的邏輯推理程序是無法解決三角形全等問題的。這一點具體體現在，有些學生不清楚要證明A問題需要先證明B還是先證明C，或者是將B和C證明出來后，又如何與A產生聯系，這種思路不清、邏輯混亂的現象成了學習全等三角形知識的絆腳石。

3.思維固定，無法舉一反三

在教學實踐中，有很多學生出現過類似的現象，教師教給一種方法后，在學生的腦海中形成了固定的思維模式，當題目換了另外一個說法后，學生就無法理解其中的意思了，當然在解題時也就會顯得很慌亂。

二、關于全等三角形的解題策略

在解決數學三角形全等的相關問題時，教師首先要教導學生將基礎性的概念牢牢掌握，因為只有在充分理解概念的基礎上才能實現證明、計算的過程，否則，無異于空談。其次，是培養學生嚴密的邏輯推理能力，理清思路，不管要證明的圖形樣式有多么復雜，唯記住一點萬變不離其宗，一定要找到自己所要求的三角形。最后是教導學生要做到活學活用，培養學生一題多解的能力，通過多種渠道達到求解的目的。以下筆者將舉出幾個經典解題方法，簡要分析。

1.如圖1，已知△ABC中，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求證：DC⊥AC。

解題思路：如圖1，在AB線段上取一中點E，因為AD=BD，AE=BE，DE=DE，所以，△ADE≌△BDE，所以，∠BED=∠AED=90°，又因為，AB=2AC，所以，AC=AE，∠DAB=∠CAD，AD=AD，所以，△AED≌△ACD，所以，∠ACD=∠AED=90°，所以DC⊥AC。這道題中，是典型的中線法證明求解過程，通過連接中點和頂點的方法構造出兩個全等的三角形，并以公共邊為突破點實現證明求解的目的。對于學生來說，只要能想到做輔助線ED，基本就可以達到求解的目的了。所以，在實踐教學中，教師應當教導學生學會做必要的輔助線來求解。

圖1

2.見圖2，在△ABC中，線段BD平分∠ABC，點E、F分別是AB、BC邊上的一點，∠EDF+∠EBF=180°。求證：DF=DE。

這道題可以有三種方法來解，分別是：截長法、補短法和以“角平分線上的點到角的兩邊距離相等”這一法則來證明DF= DE。限于篇幅原因，第二種和第三種本文只給出相應的圖示，以下具體講解第一種方法。

截長法解題思路：如圖，在線段AB上取一點G，可得BG= BF，由此可知，△BDF≌△BDG，所以，DG=DF，又因為，∠EDF+∠EBF=180°，所以，在四邊形BEDF中∠4+∠3′=180°，∠4′+∠3=180°，∠3′=∠3，所以，∠4=∠4′，所以，△DEG是等腰三角形，所以DG=DE，又因為DF=DG，所以，DF=DE。這道題是通過將原有的線段經過截斷，達到與另一個三角形實現全等的解題過程，進而使問題得到解決，另外，此題還涉及了四邊形的內角和與等腰三角形的知識點，對于中學生來說又是一次知識的提高。

圖2

3.在圖3中，△ABC的∠ABC=20°，AB=BC，BI=AC，則求解∠AIC的度數。

解題思路：如圖3，以AC為邊向△ABC內部做等邊三角形AOC，可知∠BAO=∠BCO=∠ABC=20°，AC=AO=CO=BI，AB=BC，所以，△BIC≌△BOA≌△BOC，所以，∠BOA=∠BOC，所以，∠BOA+∠BOC+∠AOC=360°，所以∠BOA=∠BOC=∠BIC=150°，所以∠AIC=180°-150°=30°。這一種典型的從被求解的三角形內部再次構建特殊三角形以達到證明三角形全等的求解方式，在全等三角形解題實踐中也是較為常用的一種，教師要教導學生在答題時靈活運用此方法。

圖3

4.已知△ABC的兩條邊AC=10，BC=4，那么，第三條邊上的中線長m的取值范圍是（ ）。

解題思路：如圖4，只要將題意理解透徹，并快速在腦中能構建出相應的全等三角形，將要求解的問題轉化到一個待定的三角形中就可以輕松解決了。在圖4中原本是沒有△ACE部分的，這是為了實現解題添加的必要性輔助線，教師在講解此類題目時，必須教導學生在做題前將必要的輔助線段在圖上畫出來，便于理解題目，審清題意。如圖4，延長CE至CC′使EC′=EC，進而很容易得到△CBE≌△C′AE，所以，AC′=CB，在△C′AC中，10-4

圖4

5.這一點，主要講的是在解題中利用平行線來構造出兩個全等三角形，進而實現解題的方法。如圖5，在△ABC中，∠A=∠C，D是線段AB上的一點，AD=EC，求證：DF=FE

圖5

解題思路：如圖5，做線段DG∥BC并與AC交于點G，所以∠FDG=∠FEC，∠DGF=∠FCE，∠BCA=∠DGA，又因為∠BCA=∠A，所以，∠A=∠DGA，所以DA=DG,又因為CE=DA，所以DG= CE，所以△DGF≌△ECF，所以DF=FE。在這道題中，通過做平行于BC的平行線DG，繼而使相對較散的結論集中起來，使要求解的問題降低了難度，在實踐中要好好把握這一解題策略。

總而言之，全等三角形的知識點在初中數學測試和考查中占據著重要的地位，教師應予以重視并開展重點教學，積極運用以上幾點實踐策略對數學教學質量的提高能起到很好的幫助作用。除此之外，數學教師還要肩負起培養全面社會型人才的重擔，為國家實現“科教興國”偉大目標貢獻一份力量。

［1］聶亞晶.淺析初中三角形全等教學策略與技巧［J］.新課程（中學），2016（1）.

［2］吳光華.初中數學教學中最近發展區的確定及利用策略：以“三角形全等”知識教學為例［J］.數學教學通訊，2014（4）.

［3］吳玉龍.初中數學證明題常見的幾種解題錯誤與糾錯辦法：以“全等三角形”的教學為例［J］.語數外學習（初中版上旬），2014（7）.

·編輯 李琴芳