漫談函數奇偶性

☉江蘇省高淳高級中學祝輝

漫談函數奇偶性

☉江蘇省高淳高級中學祝輝

初中函數教學并沒有給擁有特殊對稱的函數以性質界定，但在幾何教學中給出過軸對稱和中心對稱的概念.從圖形上來講，軸對稱和中心對稱是學生比較認可的美學特征，但是高中函數奇偶性卻讓不少學生認識到了函數性質的抽象性，成為學生學習不小的障礙.從教學現狀來看，奇偶性教學更多地是依賴判別標準判斷函數奇偶性，而往往缺失了對奇偶性觀察、思考、理解、實驗.而這些卻恰恰是奇偶性性質教學的靈魂.

蘇教版主編單墫先生多次在不同場合對“如何教？為什么這樣教？教學功利性？”等問題提出過不少建議：我們的教學大都是本末倒置的，課堂上應該花百分之七十的時間理解教材，分析例題，想一想為什么選用這樣的例題？如何將濃縮的教材知識給予好好的稀釋.但是現階段教學卻是花百分之三十的時間在教材上草草了事，花更多的時間在做教輔資料，這種教學根本沒有理解數學.筆者認為，從課程標準的角度來說，顯然后者的教學是令人擔憂的.那么如何上好一節課？如何將形式化的函數奇偶性演繹得通俗易懂？本文從案例的角度拋磚引玉跟大家交流，懇求讀者指正.

一、實驗繪制

奇偶性概念是比較抽象的，尤其對于剛剛接觸抽象概念的高一新生來說，直接使用形式化的數學語言會讓學生難以理解.筆者采用了一個課前動手實踐的方式，首先從生活中獲取感性認識.

布置課前預習作業：

（1）請找到生活中四種不同的具備軸對稱、中心對稱特性的物品；

（2）請找到四種不完全對稱的物品；

（3）請繪制四個不同的具備軸對稱、中心對稱的函數圖像；

圖1

（4）繪制四個不具備對稱性的函數圖像.生：找到了一些物品，比如蝴蝶、銀行的標記、中國古代的太極八卦、中國移動的標記，分別存在軸對稱和中心對稱.還用幾何畫板畫了一些函數，比如y=x2，y=x+等等.

師：這些圖形和函數不僅具備了一定的美感，而且在研究這樣的圖形或函數時，我們可以只需要花一半的時間進行研究即可，這也為為我們很多的生活運用，諸如利用對稱建造房屋等減少了設計精力.

設計意圖：圖1為學生找尋的具備對稱美的物品和函數.用學生親身的體驗和思考，感受生活中的對稱美，以及所學函數中具備對稱美的函數.選擇具備對稱性和不具備對稱性都自主探索的原因是，為后續理解奇偶性概念中“任意”兩字作好鋪墊，也暗示了學習奇偶性的目的——花一半的力氣研究整個函數.

二、課堂交流

有了課前的探索和思考，請學生對比交流各自找到的具備對稱性的物品或函數，特別要請學生說一說不具備對稱性的物品或函數為什么不具備對稱性？（給出學生找到的不具備對稱的物品或函數數例）

生：從圖2我們發現，要對稱的物品或函數必須處處存在對稱性，而那些不具備對稱性的物品或函數，只需要某一處不對稱就可以了.比方說，被蟲咬過的樹葉，左邊存在破損處而右邊完好無損，所以顯然是不對稱物品.

師：好.這種不對稱體現在某一處即可，大家觀察得很仔細.相比需要對稱，要說明沒有對稱性顯得非常容易.請同學們來總結下軸對稱和中心對稱的表述.

設計意圖：本課的設計用了大幅學生作品，既從情感上讓學生感到所學所做有一定的價值，又潛移默化中讓學生感受：對稱是需要處處對稱的（即數學語言“任意性”滲透），不對稱只需要找到一處不對稱即可（即數學語言“存在性”滲透）.

三、建構概念

生：軸對稱可以這樣表述：存在一條直線，可以讓圖形關于這條直線翻折完全重合.

師：這是一種感性的表述，我們將其對應f（x）=x2來進行函數軸對稱的數學歸納.

生：只需要函數在對稱軸左邊每一個點關于直線都有對應點，這樣的函數具備了軸對稱.

師：好！“每一個點”這句話說得很到位！今天我們先給對稱軸為y軸的函數抽象成精準表述：對任意的自變量x∈D（定義域），都有f（-x）=f（x），稱函數f（x）為偶函數.（需要注意：偶函數是一種特殊的對稱函數，其關于y軸對稱）同樣，你能表述中心為原點的中心對稱函數的概念嗎？

生：對任意的自變量x∈D（定義域），都有f（-x）= -f（x），稱函數f（x）為中心在原點的中心對稱函數.

師：是的.中心在原點的中心對稱函數，我們稱其為

奇函數.有了這兩種最為特殊的對稱函數模型，以后研究其他對稱函數模型，無非是平移的問題了.任意性這三個字，同學們從圖形中都理解到位了，那么轉換為更通俗易懂的數學知識對應了你學過的哪一個知識點呢？

生：左右兩邊要完全一樣！應該是每一個點對應！也就是三要素中最基本的定義域需要滿足對稱性！

師：說得很好！即定義域需要關于原點對稱！這是解決奇偶性的第一步！若定義域為［-2，1］呢？你想想會怎么樣？

生：圖形肯定不對稱！從上面我們舉出的一系列物品和函數圖像就可以知道！

設計意圖：這樣的作法讓學生對于概念中“任意”兩字的理解迅速到位，為后續解決奇偶性問題作好鋪墊.

四、小試牛刀

試題類型（一）

①f（x）=x3，x∈R；②f（x）=x2，x∈［-2，2］；

③f（x）=x2-1，x∈［-2，2）；④f（x）=x3-x，x∈（0，+∞）.

設計意圖：從概念出發，判別基本初等函數的單調性.從兩個方面入手：第一是定義域的觀察；其次是概念代數屬性運用：f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x），也可以從圖形的角度作圖判斷.

試題類型（二）

設計意圖：從復合函數的角度入手，給出了幾個復雜函數模型，從定義的角度入手，利用f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x）的變形式解決問題.對于學生而言，復雜函數或復合函數奇偶性需要善于應用表達式的變形，讓學生靈活體會不同函數模型選擇不同表達式變形的處理技術.

試題類型（三）

①f（x）=g（4+x）+g（4-x）（x∈R）；

設計意圖：試題選擇的最高層次是面向抽象函數和分段函數的使用，我們知道在抽象函數中使用奇偶性定義判斷是一個難點，鑒于具體表達式的缺失，導致學生判斷時易出現問題；分段函數更是難點，因為對于表達式f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x）而言，每次需要選擇不同的表達式，這一點學生往往缺乏正確的判斷，教學中將這一環節弄清楚，可以破解分段函數奇偶性.下面給出簡要分析：

①它具有對稱性，因為（f-x）=g（4-x）+g（4+x）=（fx），所以（fx）是偶函數，不是奇函數.

五、后續

奇偶性是函數性質的難點和重點，通過上述感性認知——理性總結——鞏固訓練，我們不難發現，學生對于奇偶性概念的理解和運用比傳統啟發式教學有了更高的認識，主要體現在：

（1）實驗探索來說，讓學生感受了數學背景下的物品，體現了數學之用，更讓學生感受了生活中無處不在的對稱美；從感受中又提煉了隱藏于物理屬性下數學本質——軸對稱和中心對稱，讓學生理解上升了一個思想層次.

（2）任意性理解來說，奇偶性定義中最難的是任意性的理解，通過實驗我們發現，學生對于“任意性”的理解非常到位，即判斷奇偶性第一準則需要考查定義域的對稱性，若定義域沒有對稱性，則一定是非奇非偶函數.

（3）教學的新思考：以往的教學往往是在課堂上探索對稱性，筆者并不認同，從教學成熟性角度來說，筆者建議這些探索以二十分鐘實驗的方式作為預習階段實現，這樣的好處既不用匆匆忙忙在課堂教學中去實現這一探索，也讓整個教學不處在一直“追趕”的環節中，實現了課堂教學的充分性.

1.楊玉東，范文貴.高中數學新課程理念與實施［M］.海口：海南出版社，2011.

2.柴賢亭.數學教學中的問題設計［J］.教學與管理，1999（10）.

3.沈恒.淺談中學數學課堂教學的適度形式化［J］.中小學數學，2010（5）.Z