從新知教學談教學設計

☉江蘇省梅村高級中學 梅紅

從新知教學談教學設計

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新知教學與復習教學不同，是一種以教材冰冷的線性材料為主體的創編式教學.對每一位教師而言，新知教學背景公平，如何將新知教學演繹到位就需要教師教學設計和教學功底了.新知教學需要講什么？需要向學生傳遞什么？需要讓教師注重什么？有位老師這么說：教師要把簡單的數學教材教得有味道，離不開一定的后期加工.這種加工需要注意三個方面：第一，新知的引入是否合理和到位？牽強的情境會讓整堂課行走在文不對題的道路上；第二，學生是否做到了思考？這種思考可以是探究，也可以是啟發式下的引導，只要針對學情是合理的、恰當的，都是有意義的；最后，學習新知的收獲在哪里？僅僅小結是不夠的，要讓學生頓悟在貌似看不到數學的地方發現了數學知識，用到了數學知識，用數學的眼光看待生活，才是最真的收獲.

筆者以《三角函數誘導公式》一課進行一次新知教學設計，跟大家一起探討這種設計是否合理、高效？從這樣的設計中獲得一些思考，與大家交流.

一、設計流程

1.教材分析

本節課選自普通高中數學課程標準實驗教科書數學必修4第1.3節，三角函數的誘導公式作為高中課程中極為重要的一節內容承接著學生對三角函數的認識，從銳角、鈍角到任意角知識面的擴展，從任意角的三角函數值又回歸到銳角的三角函數值，一放一收體現了數學中的化歸思想，即由已知所學去探究未知的領域，又將未知的知識轉化為已學的知識.在三角函數誘導公式的學習中，化歸思想貫穿始終，無論是在引入任意角的三角函數值，到將其轉化為求銳角的三角函數值，在整個教學中滲透了化歸的數學思想，讓學生在學習中逐步形成化歸的意識.

2.學情分析

本課授課對象為高一學生，他們剛剛掌握任意角、弧度制、任意角的三角函數定義以及三角函數線相關知識，能解決一部分相關問題，具備了繼續探索任意角三角函數值的基本功.通過合理的設計，引導學生將任意角三角函數的求解轉化到銳角范圍內求解，在教學中滲透轉化與化歸思想，讓學生獲得知識形成的過程.

3.重點難點

重點：學會如何將任意角的三角函數值轉化為銳角的三角函數值，體會把未知問題化歸為已知問題的思想方法.

難點：如何發現單位圓的對稱性與任意角終邊對稱性的關系，并利用其關系由此得到三角函數的誘導公式.

4.教學流程

（1）課堂引入

引入1：我們初中的時候學習了銳角的三角函數，知道了一些特殊銳角的三角函數值，如那么對任意的一個銳角你有辦法求出它的三角函數值嗎？

師生互動：學生回答，借助電腦、計算器進行運算可以得到結論，而教師以類比對數中的常用對數表和自然對數表，在沒有這些工具的情況下，也能求解其三角函數值，靠的就是《中學數學用表》，我們觀察下表中的正弦和余弦部分，我們發現表中的角度是從0°到90°，即我們可以查到］內所有角的三角函數.

引入2：在之前的課中我們將角的概念推廣到了任意角，那么任意角的三角函數怎么依靠這個表格來得到.（類比對數的值通過換底公式轉換成常用對數和自然對數然后借助查詢常用對數表和自然對數表得到數值）

師生互動：表中沒有提供銳角以外的角的三角函數

值，那么怎么用這個表格查到任意角的三角函數值呢？這說明了什么呢？我們可以將任意角的三角函數轉化為銳角三角函數.

設計意圖：以此，正式將課程引導到三角函數的誘導公式中，探究如何將任意角的三角函數轉化到銳角的三角函數.

（2）互動探究

探究1：首先，我們回顧下任意角的概念和任意角的三角函數的定義（過程略）.根據上節課所學，“終邊相等的角的同一三角函數的值相等，由此即其中k∈Z，我們可以把任意角的三角函數值轉化到［0，2π）內的三角函數值，我們把這組公式稱為三角函數的誘導公式一.

設計意圖：公式一的實質就是當角的終邊轉整圈時，同名三角函數值是周而復始的.

探究2：那么現在問題就轉變到如何將［0，2π）內的三角函數值轉化到］內的三角函數值，根據公式一的啟發，我們尋找三角函數值的關系可以轉化為尋找角的終邊所具有的某些特殊關系.公式一的實質就是“當角的終邊轉整圈時，同名三角函數值是周而復始的，那么我們思考下在一些特殊條件下，是否也能得到一些有用的結論呢？

圖1

問題1：若角的終邊只旋轉半圈，那么旋轉前后的兩個角的三角函數有何關系呢？

師生互動：具體地，如圖1所示，設角α的終邊OP按逆時針方向旋轉180°到OP1這個位置，則以OP1為終邊的角與角α的三角函數有何關系呢？我們利用三角函數線和三角形的全等知識可以得到，

sin（π+α）=-sinα，cos（π+α）=-cosα.

追問1：如果角α的終邊OP是按順時針方向旋轉180°到OP1這個位置，那么得到的結果又是什么？

順時針旋轉180°即相當于求-π+α的三角函數值，由圖像可知，-π+α與π+α角的終邊是相同的，所以由公式一可知，兩者的三角函數值也是相等的，這就巧妙地運用到了公式一.

追問2：那么tan（π+α）與tanα又是什么關系？我們可以利用剛才得到的兩式相除得到其關系.

追問2：在公式四的推導過程中，關鍵因素在于哪里？

關鍵點在于利用了兩個角的終邊OP與OP1關于坐標原點對稱.

總結2：由此，我們可以發現誘導公式實際上就是角的終邊對稱關系的另一種表現形式而已，即在形的方面表現出來的是角的終邊的對稱性，而在數的方面表現出來的就是三角函數的誘導關系.

問題2：那么我們剛才的一系列操作將第三象限角的三角函數值轉化到了第一象限角，那么二、四象限角是否也能轉換呢？根據我們剛才探究的過程，同學們自己來探究下二、四象限角的三角函數值應該如何轉化？

啟發：由公式四的啟發，探究任意角的三角函數值得可以轉化成探究角的終邊的對稱關系，那么當兩個角的終邊分別關于x軸，y軸對稱時，你能總結出什么結論呢？

二、設計反思

本課的設計有幾處值得借鑒之處：

第一，新知的引入樸實無華，卻處處顯示著三角函數誘導公式的“光輝”，因為這里最現實的問題是銳角之外的角，我們如何快速求解其三角函數值？通過前期的三角函數線給了我們指導和方向，這是為什么要將誘導公式的原因！相比有些課，這里的引入筆者以為無需情境化，讓學生思考銳角之外的角如何求解才是最切入主題的引入.

第二，本課探究是承前啟后的，三角函數線是解決本課的重要知識，其重要性不言而喻，讓學生作圖探索既回顧知識有運用知識解決新問題，可謂一舉兩得.

第三，陌生問題轉化為熟悉問題一直是數學學習的方向，本課中我們能夠將任意角的三角函數利用四個誘導公式轉化成銳角的三角函數值，解決了之前無法計算的角的值的問題，在整節課的探究過程中，我們發現了任意角的三角函數轉化的問題，本質上就是角的終邊的對稱關系，以此，在我們數學學習的過程中，應該利用化歸的思想，通過數形結合，將問題形象化，簡單化去解決我們遇到的數學問題.

最后，筆者想說新知教學的設計不一定需要華麗的情境、層出不窮的變式，讓教學靜于心、精于型，讓學生想一想、靜下心才是常態課教學最返璞歸真之處.

1.吳成海.高中數學創新教育應著力于思維培養［J］.新課程（教育學術），2011（7）.

2.周湖平，李陽華.賞析幾道以斐波那契數列為背景的高考題和競賽題［J］.中學教研（數學），2013（1）.

3.王珂.數學設計的返璞歸真［J］.數學教學研究，2014（7）.Z