武漢作為我國航空新樞紐的數學求解

☉湖北省武昌實驗中學 王藝齡

武漢作為我國航空新樞紐的數學求解

☉湖北省武昌實驗中學 王藝齡

一、問題提出

航空運輸是在具有航空線路和航空港的條件下，利用飛機作為運輸工具進行客運或貨運的一種運輸方式.基于航空運輸對發展國民經濟和促進國際交往的重要意義，大多數國家都很重視發展航空運輸事業.目前，我國航空運輸主要是承擔長途客運任務，航空貨運量占全國貨運量的比重還比較小.隨著物流業的快速發展，航空運輸將在貨運方面扮演重要角色.航空運輸的主要優點是速度非常快，缺點是成本很高.航空運輸的主要成本由線路運輸成本和航空港建設及維護成本兩部分組成，其中航空港的建設及維護成本基本是固定的，而線路運輸成本的最小化取決于航空港網點的地理位置和航線規劃，轉化為數學問題，即航空港網點到航空樞紐港的距離之和最小.

航空樞紐港是指在航空運輸網絡中具有重要中轉功能和組織功能的大型航空港.我國目前已經建成使用、功能成熟、具備眾多國際國內航線的航空樞紐港有北京、上海和廣州，主要還是以客運為主.2016年8月18日清晨，由昆明飛往武漢的CZ3424航班降落在武漢天河國際機場第二跑道上，這是正式啟用第二跑道迎來的首架民航客機.這是自2008年武漢天河機場啟用二號航站樓以來的又一重大突破，意味著機場的容量正在擴大.這些是不是意味著現實中武漢已經發展為我國的航空新樞紐呢？

當我們把視線投向發達國家，比如美國，發現其航空運輸是全國最主要的交通方式，通過采用中樞結構［1］，可以大規模地節約成本.美國自1978年航空放松管制，以亞特蘭大為開始，先后形成了7大航空公司29個中樞網絡，構成一個完整的航運市場和航空資源體系.其中航空樞紐是構成中樞結構的重要結點，選址航空樞紐是優化中樞結構的核心問題之一.本文將利用中學數學理論知識量化地研究武漢在我國成為航空新樞紐的相關問題.

二、數學理論

首先構造一個我國的航空網絡簡化模型，由航空網點組成，需要從這些網點中選取一個中心城市，這個城市就是我們求解的航空新樞紐.假設有n個城市組成一個航空網絡，這些網點的坐標依次為：（x1，y1），…，（xn，yn）.

下面我們利用最小二乘法來計算航空網絡的中心樞紐.假設航空網絡中心的坐標為（x，y），顯然，中心點到各網點的距離總和可以等價為距離的平方和.其中，定義：x—距離平方和=（x-x1）2+（x-x2）2+…+（x-xn）2，目標是得到上式的最小值.

配方

從這組公式可知，如果僅按距離和而論，我們只需計算n個網點坐標的平均值即可得出中心點的坐標.

實際應用中簡單的距離因素不能決定一切，我們還必須考慮網點城市之間的航空運量需要，建立更符合實際情況的數學模型.即除了考慮網點坐標位置之外還應該考慮加權因素，我們定義航空網絡中n個航空網點的權值分別為m1，…，mn，且m1+…+mn=1.

前述距離平方和可推廣定義為：

x—加權距離平方和=m1（x-x1）2+m2（x-x2）2+…+ mn（x-xn）2.

同理可得關于y的計算公式.

即航空網絡數學中心坐標的計算公式如下：

為了得到最小值，作配方：

顯然，第一平方項為零時有最小值，即距離平方和取最小值當且僅當，x=m1x1+m2x2+…+mnxn，同理可得關于y的計算公式.

因此，推廣情形下航空樞紐數學中心坐標的計算公式為：

三、問題求解

序號城市名東經xi北緯yi誤差1 2015年人均GDP（元）權值mimi*ximi*yi誤差2 1北京116.4639.9211.20702510.044.881.679.93 2天津117.239.1311.15704020.044.921.649.88 3上海121.4831.229.98732970.045.311.368.85 4重慶106.5429.599.05273670.021.740.4810.32 5拉薩91.1129.9724.10319810.021.740.5725.37 6烏魯木齊87.6843.7736.37421510.032.201.1037.50 7銀川106.2738.4712.48382950.022.430.8813.61 8呼和浩特111.6540.829.45650840.044.331.5810.58 9南寧108.3322.8414.01270270.021.750.3715.28 10哈爾濱126.6345.7527.20344670.022.600.9425.93 11長春125.3543.8824.05438930.033.281.1522.78 12沈陽123.3841.820.00618910.044.551.5418.73 13石家莊114.4838.037.33334620.022.280.766.06 14太原112.5337.875.62423180.032.840.966.75 15西寧101.7436.5615.10284460.021.730.6216.23 16濟南11736.658.47573940.034.001.257.20 17鄭州113.6534.763.23463690.033.140.962.52 18南京118.7832.046.46625930.044.431.205.33 19合肥117.2731.865.13473960.033.310.904.00 20杭州120.1930.269.65683400.044.901.238.52 21福州119.326.0812.94431210.033.070.6711.81 22南昌115.8928.686.93437700.033.020.755.80 23長沙11328.214.51645510.044.351.095.24

首先選取我國的主要航空網點城市構成航空網絡，這些航空網點包括直轄市、省會城市和重要沿海航空港深圳、廈門和寧波等，共計35個重要城市，見下表.（說明：表中的城市坐標“東經xi”、“北緯yi”和“2015年人均GDP”三列數據源自互聯網百度文庫wenku.baidu.com.）

24武漢114.3130.523.51563670.033.841.032.38 25廣州113.2323.169.79834950.055.641.1510.06 26臺北121.525.0516.17--0.000.000.0015.04 27海口110.3520.0214.81288610.021.900.3416.08 28蘭州103.7336.0312.58304300.021.880.6513.71 29西安108.9534.275.60382800.022.490.786.73 30成都104.0630.6710.45395180.022.450.7211.72 31貴陽106.7126.5711.90259410.021.650.4113.17 32昆明102.7325.0417.41329660.022.020.4918.68 33深圳114.5822.0712.23918220.056.271.2111.10 34廈門118.124.5413.28581570.034.100.8512.15 35寧波121.5329.8211.43673940.044.881.2010.30 36理論中心坐標及最小誤差112.7332.453.23113.9332.522.38

首先應用公式（1），代入上表35個城市的坐標，計算出中心城市的理論坐標位置為（112.73，32.45）.對照該理論位置坐標，在航空網絡中并沒有一個完全吻合的航空網點城市，因此我們需要找出位置誤差最小的實際城市.誤差的計算公式為：|xi-x|+|yi-y|，具體各城市坐標位置的誤差分布為表中的“誤差1”數據.經過比較，得出與理論中心坐標位置誤差最小的城市是鄭州，鄭州的坐標為（113.65，34.76）.

再應用公式（2）考慮加權的情況.城市人均GDP指標是城市總GDP與總人口數的比值，是能夠客觀反映一個城市的綜合經濟實力的，而經濟越發達的城市對于航空運輸的運量需求越大.本文取各大城市（不考慮臺北市）2015年人均GDP指標作為各個航空網點城市的權值計算樣本，2015年人均GDP指標經過歸一化得到各個城市網點的權值mi，2015年人均GDP及計算權值mi具體數據見上表.這里的歸一化處理是為了滿足公式（2）的條件，即m1+m2+…+mn=1，可通過計算第i個城市的人均GDP指標與所有城市人均GDP指標總和的比值獲得.應用公式（2），結合經濟指標作為權值mi計算得到理論中心城市坐標位置為（113.93，32.52）.對照此中心位置，計算與之的距離誤差，數據詳見表中“誤差2”.與理論中心坐標位置誤差最小的城市正是武漢，武漢的坐標為（114.31，30.52）.

綜上，純粹從地理位置考慮，武漢作為中心城市位置并不是絕對最優的，地理位置最優的是鄭州；當結合經濟指標進行加權計算，武漢是在我國的經濟發展體系中作為航空新樞紐的最佳選擇.

四、結論

本文對當前的航空運輸中樞紐熱點城市之一——武漢市的航空新樞紐地位進行了討論，通過最小二乘法對航空網絡的樞紐港進行了具體計算.文中巧妙地采用配方法簡化了距離平方和計算公式，推導出航空網絡中心坐標的公式，也推導了更符合實際情況的加權公式；然后結合我國35個重要大城市的地理位置、經濟指標，分別應用不同的公式進行了對比計算.計算結果表明，結合當前具有重大現實意義的經濟指標人均GDP作為加權，武漢作為航空新樞紐是適應我國經濟發展形勢下的最佳選擇.

當然，能夠作為權值的還有其他指標，比如人口因素可能影響航空客運，因此公式（2）可以往多權值上繼續推廣.另外，航線規劃也是直接影響航空樞紐地位的重要因素，可以通過公式（2）反向求解權值mi，即如果要讓武漢市站穩航空樞紐的位置，考慮哪些因素和如何規劃航線對武漢航空樞紐作用的發展最有利.此處不贅述.

1.賈銳軍.從美國機場發展經驗看中國航空樞紐建設的前景［J］.上海綜合經濟，2004（Z1）.Z