借一道高考題談核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算

☉江蘇省南京市第九中學(xué) 金玉明

借一道高考題談核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算

☉江蘇省南京市第九中學(xué) 金玉明

新高考方案即將在今年底或者明年初出臺(tái)，相應(yīng)的課標(biāo)制定、課程建設(shè)、學(xué)生評(píng)價(jià)、課堂教學(xué)等一系列規(guī)范要求也即將浮出水面.我們作為一線(xiàn)教師，最為關(guān)注的，也是我們確實(shí)可以作為參與者參與教改的部分就是課堂教學(xué).筆者對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)做了一些查閱和研究，認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的人的關(guān)鍵能力與思維品質(zhì).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中逐步形成的.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既有獨(dú)立性，又相互交融，形成一個(gè)有機(jī)整體.

下面就2016年高考江蘇卷數(shù)學(xué)第14題為例，作以下幾個(gè)方面的分析：

一、高考原題

題目在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是_________.

二、知識(shí)點(diǎn)構(gòu)成及題目來(lái)源

本題考查的知識(shí)點(diǎn)主要是三角變換、解三角形和函數(shù)值域的求解.題目應(yīng)當(dāng)可以認(rèn)為是由必修四課本上的例題（證明：在銳角三角形ABC中，tanA+tanB+tanC= tanAtanBtanC）變形而來(lái).

三、考查意圖

其中三角變換主要考查弦切互化和兩角和與差的正弦、余弦及正切；三角形主要用到三角形內(nèi)角和為180°及三個(gè)內(nèi)角為銳角的條件；函數(shù)問(wèn)題主要用到求導(dǎo)的方法求最值或者換元法求復(fù)合函數(shù)最值.考查的思想方法主要有化歸思想、函數(shù)思想，有些地方也可以認(rèn)為考查到了數(shù)形結(jié)合思想.以上這些方法的應(yīng)用和能力的考查當(dāng)然是一方面，筆者認(rèn)為考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力也是本題考查的重要目標(biāo).如果在解決復(fù)合函數(shù)運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，能夠經(jīng)常思考，并意識(shí)到整體代換（或者稱(chēng)之為換元法）在解決問(wèn)題時(shí)的重要作用，解題時(shí)更加合理使用上述方法，將會(huì)使得運(yùn)算簡(jiǎn)便的多.

四、解題方法

高考結(jié)束后，筆者跟幾位同事一起將該題仔細(xì)研究并查閱相關(guān)資料，找出了幾種解決問(wèn)題的方法，幾種思路都是先使用三角變換，然后再分別使用不同的方法，所以先將三角變換的前期過(guò)程表述如下：

若sinA=2sinBsinC，在銳角三角形ABC中，A=π-（B+ C），所以sin［π-（B+C）］=2sinBsinC，即sin（B+C）= 2sinBsinC.

又sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，得tanB+tanC= 2tanBtanC.

而在銳角三角形ABC中，tanA+tanB+tanC= tanAtanBtanC.

思路一：構(gòu)造基本不等式，解決問(wèn)題.

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

又tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC≥當(dāng)且僅當(dāng)tanA=2tanBtanC時(shí)取等號(hào)，即得到tanAtanBtanC≥，解不等式得到tanAtanBtanC≥8，所以最小值為8.

再往下的步驟又分幾種解法：

（1）基本不等式法：x-1=t（t＞0），變形成基本不等式形式求解，具體解法略.

（3）二次型函數(shù)法：將分子x除到分母，用整體代換（或者換元法）求二次函數(shù)的最值，即g（x）=

具體解法略.

當(dāng)然，思路二的重點(diǎn)在于進(jìn)行換元求解，然后可使思路清晰，方法恰當(dāng).

思路三：消元法解決問(wèn)題. 2tanBtanC，解出tanC=tanB（tanB＞1）. 2tanB-12

思路四：數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題.

五、核心素養(yǎng)在本題中的體現(xiàn)

本題中考查的核心素養(yǎng)，除邏輯推理以外，重點(diǎn)考查的顯然是數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.本題對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力要求是非常高的，學(xué)生在平時(shí)的訓(xùn)練中如果只是搞題海戰(zhàn)術(shù)，讓學(xué)生盲目的做題，顯然學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是不能得到應(yīng)有的提高的，面對(duì)這樣的問(wèn)題也只能繞道而過(guò).只有通過(guò)認(rèn)真地觀察問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，仔細(xì)分析問(wèn)題的常見(jiàn)思路和一般方法、特殊方法，然后用合理嚴(yán)密的邏輯語(yǔ)言對(duì)其表達(dá)，才能準(zhǔn)確快速地解決問(wèn)題.數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中逐步形成的，一方面，數(shù)學(xué)教學(xué)能夠形成這些能力；另一方面，數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中需要培養(yǎng)這些能力.

數(shù)學(xué)教育的核心目標(biāo)有三點(diǎn)：會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界；會(huì)用數(shù)學(xué)思維分析世界；會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界.數(shù)學(xué)思維指的是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算，其數(shù)學(xué)特征是數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的要求，將不只是學(xué)生能將算術(shù)題算對(duì)，也不僅僅是將數(shù)學(xué)運(yùn)算問(wèn)題算正確，而是需要通過(guò)實(shí)踐和探究，尋找解決問(wèn)題的多種途徑、方法，最終選擇一個(gè)最合適的方法.

六、對(duì)教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的反思

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程.內(nèi)容應(yīng)當(dāng)主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等（以上為概念內(nèi)涵）.數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段.數(shù)學(xué)運(yùn)算也是一種演繹推理，是計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的基礎(chǔ)（以上為學(xué)科價(jià)值）.

數(shù)學(xué)運(yùn)算應(yīng)當(dāng)是在提出問(wèn)題的前提下，著手去解決問(wèn)題的過(guò)程.數(shù)學(xué)運(yùn)算就是“演繹推理”，是在對(duì)“數(shù)”的概念、運(yùn)算及關(guān)系的公理體系下，并在由此導(dǎo)出或“規(guī)定”的運(yùn)算法則下展開(kāi)演繹推理的過(guò)程.如果不是連貫地書(shū)寫(xiě)的話(huà)，完全可以用“三段論”的格式進(jìn)行表達(dá).

教師教學(xué)中往往從多個(gè)角度來(lái)引進(jìn)和理解數(shù)學(xué)知識(shí)，說(shuō)明大多數(shù)教師更看重變式教法在教學(xué)中的作用.教師普遍認(rèn)為變式的使用是學(xué)生理解、練習(xí)的需要，是課前有意識(shí)設(shè)計(jì)的.在學(xué)習(xí)空間的創(chuàng)設(shè)上，優(yōu)秀教師更能創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)淖儺惥S度.筆者認(rèn)為，應(yīng)用變式教學(xué)法是培養(yǎng)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的一種好方法.

七、推廣的意義——舉一反三能力的提高

如果想要提高學(xué)生的運(yùn)算能力，培養(yǎng)舉一反三的能力將是比較重要的手段.而舉一反三的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，需要平時(shí)多加訓(xùn)練.除教師在教學(xué)過(guò)程中對(duì)一些問(wèn)題進(jìn)行變式教學(xué)外，讓學(xué)生主動(dòng)參與到問(wèn)題的變化中來(lái)，更為有效.當(dāng)然，變式過(guò)程中，一定要遵循以下幾個(gè)原則：第一，合理性；第二，變異性；第三，相似性；第四，漸進(jìn)性.下面筆者舉一例說(shuō)明.

該問(wèn)題的證明過(guò)程并不復(fù)雜，所以筆者在此不贅述了.而我們讓學(xué)生研究的，絕不只是將這個(gè)三角形的面

積公式記住，而是用它來(lái)解決非常單一的求解三角形面積問(wèn)題！而是讓學(xué)生理解本問(wèn)題的求解方法及過(guò)程.那么我們?nèi)绾螌?duì)此問(wèn)題進(jìn)行變式，以達(dá)到讓學(xué)生真正掌握這一知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)運(yùn)算的方法呢？不妨先分析一下本題考查的主要知識(shí)點(diǎn)：解三角形中的余弦定理、三角形面積公式、橢圓定義及三角變換.方法主要是整體代換.

當(dāng)然我們還有很多的變化方式，比如添加參數(shù)將求值問(wèn)題變成求范圍問(wèn)題等.

為了訓(xùn)練不同的知識(shí)點(diǎn)或者解決問(wèn)題的方法，我們可以采用舉一反三的方法進(jìn)行變式教學(xué)，相信這樣的教學(xué)方式對(duì)學(xué)生的訓(xùn)練，就不是呆板的、重復(fù)的、無(wú)聊的純代數(shù)計(jì)算題，而把它變成符合數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要求的、培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的有效教學(xué)方法.

希望我們能夠幫助學(xué)生通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，能有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)；通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成程序化解決問(wèn)題的品質(zhì)；養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.F