一道課本例題的教學探究

☉江蘇省如皋市第二中學 何敏

一道課本例題的教學探究

☉江蘇省如皋市第二中學 何敏

在高中數學課堂教學中，教材中的例題、習題的解答是學生獲得系統知識的主要來源.因此，如何充分展示每道例習題的教學功能成為了擺在每位數學教師面前的一個核心課題.筆者認為，教師要充分發揮每道例習題的教學功能，應該深入挖掘例習題的內涵，引導學生對教材中的一些典型例習題進行一題多解、變式推廣、歸納猜想、類比遷移等多方面的探究，調動每一位學生學習數學的積極性，使不同層次學生的數學思維能力都得到提升，從而逐步培養學生探究精神和創新意識.筆者在教學實踐中，從一道課本例題出發，對此題進行了推廣探究，希望能給高三復習提供一些思路.

一、例題呈現

例1已知O是直角坐標原點，點A，B是拋物線y2= 2px（其中p＞0）上異于頂點的兩個點，且OA⊥OB，OM⊥AB并相交于點M，求點M的軌跡.（人教A版4-4第33頁）

原題解答是用參數方程，筆者給出另一種解法，并就此推出一般結論.

解：設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為x=ky+n.代入y2=2px并整理，得y2-2pky-2pn=0，因此y1+y2=2pk，y1y2=-2pn.從而x1x2=-2pnk2+2pnk2+n2，因為OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，即n2-2pn=0，因為n≠0，所以n=2p.因此直線AB經過定點（2p，0），由OM⊥AB可知，點M的軌跡是圓（x-p）2+y2=p2.

二、推廣探究

若將原題中的拋物線改為圓，其余條件不變，又有什么結論？經過推理論證可得：

命題1若O是直角坐標原點，點A、B是圓C：x2+y2= R2上的兩個點，且OA⊥OB，OM⊥AB于點M，則點M的軌跡是圓

圖1

證法1：如圖1，連接OB，OA則由已知可知OM是等腰直角△的斜邊AB上的高，所以OM=R.故點M的軌跡是圓x2+，

證法2：設A（x1，y1），B（x2，y2），AB的方程為x=ky+n，代入圓C的方程并整理，得（1+k2）y2+2kny+n2-R2=0，因此

若將原題中的拋物線改為橢圓、雙曲線，其余條件不變，則結論又如何？仿上面的證明可得：

證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為x=ky+ n，代入橢圓L的方程并整理，得（a2+b2k2）y2+2knb2y+b2（n2-a2）=0，因此y1+y2=-

由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，

命題3若A、B是雙曲線L

其證明與命題2的證法完全類似，故此處略去.

由上面的證明可知：直線AB始終是點M的軌跡的切線，因此可以得到：

命題4過圓C1：x2+y2=R2上任一點A作圓C2：x2+y2=的切線交C于另一點B，則OA⊥OB.

1

命題5過拋物線L：y2=2px（p＞0）上異于頂點的任一點A作圓C：（x-p）2+y2=p2的切線交L于另一點B，則OA⊥OB.

命題7過雙曲線L的切線交L于另一點B，則OA⊥OB.

命題4～7的證明留給讀者自己去完成.

經過探究發現，命題4～7的逆命題也成立，即有：

命題8過圓C1：x2+y2=R2上任一點A作直線l交C1于另一點B，若OA⊥OB，則l是圓C2：x2+y2=的切線.

命題9過拋物線L：y2=2px（p＞0）上異于頂點的任一點A作直線l交L于另一點B，若OA⊥OB，則l是圓：（xp）2+y2=p2的切線.

作直線l交L于另一點B，若OA⊥OB，則l是圓C：x2+y2=的切線.

命題8～11的證明請讀者自己去探究完成.

三、應用舉例

（1）求b2的值；

（2）求|AB|的取值范圍.

四、幾點思考

對課本中典型例、習題的探究，不僅能豐富我們的研究資源，而且能獲得與之相關的新命題，從而達到培養學生的探究能力和應變能力的目的，起到使學生重視課本中例、習題的作用.下面結合筆者的教學實踐，談談自己對數學復習的幾點思考.

1.揭示概念本質，提升學生認知水平

由于課本中不少數學概念，反映了數學知識的本質屬性，蘊含著思維的細胞，是數學內容的基石.高三數學復習中教師要揭示數學概念的本質，對課本中的概念給予足夠的重視，并結合學生主體認知功能，立足于理解好概念，用好概念，才會使我們復習數學的目的明確、方法對頭，提升學生的認知水平，才能使數學復習質量得以提升.

教師在概念復習時需要要幫助學生足夠重視課本，揭示概念的本質，拓展概念的內涵和外延，關注其基本特征和概念表征的多元化，引導學生加強對數學知識背景及數學本源的挖掘.在概念本質探究中力爭透過紛繁的現象看清問題的本質，要從變的現象中發現不變的本質，從不變的本質中探究變的規律，只有這樣的復習教學才能使解題更具有深度和廣度，才能提升學生的認識水平，實現數學復習質量的提升.

2.再現知識形成過程，提升學生思維能力

數學概念是數學理論的核心，故教學時就要突出數學定義、公式、定理的來龍去脈和表達形式，了解它們的區別和聯系，再現知識的形成過程.雖然高一、高二都有所涉及，但經過這么長時間，學生都有些遺忘，這些都需學生復習時重視課本，拓展思路，并逐步學會如何運用這些知識來分析和解決問題.關注對數學本質的考查，這能在一定程度上有效的規避模式化的解題，抑制題海戰術，實現數學復習質量的提升具有重要作用.

對于聯系密切的公式群，一定要讓學生經歷公式的推導和建構，對于數學復習起到事半功倍的作用，是解決問題的根本.在復習教學時，要足夠重視課本，對課本中的定義、定理、公式等基礎知識和基本技能，做到知其然知其所以然，探究他們的形成過程，提升學生的思維能力，方能實現數學復習質量的提升.

3.典型例題重點分析，提升學生解題策略

課本是課程標準的具體體現，課本中的例習題是教材編寫組專家精挑細選出來的精品，不少高考試題都是命題人員對課本例習題加工改編而成的.數學復習中要有目的地選擇課本中的例習題，對其條件和結論進行重點分析，剖析思維方法形成過程，有效幫助學生提升解題策略.

例題教學是復習課的主旋律，如何用好課本的典型例題是復習數學能否更加優質、實效的關鍵，發揮例題的思維策略，達到“做一題、帶一類、連一片”的效果，能有效實現課本典型例題的示范性功能，提升解題的質量.

4.滲透數學思想方法，提升學生數學綜合能力

多年來結果表明，高考數學試題都在體現“考查基礎知識的同時，注重對數學思想方法的考查，注重對數學能力的考查”的命題指導思想，常常涉及的思想方法有：函數與方程的思想、數形結合的思想、分類討論的思想和轉化與化歸的思想.而試題相當一部分來源于課本，即使是綜合題也是課本例習題的組合、改編和拓展，充分體現了課本的基礎作用.數學題的解答一般不需要高深的數學知識和高難度的變形技巧，而需要一定的創新意識和發散意識，因此我們有必要深入地探究課本中的習題，把握例習題的思想性的本質，提高數學素養，學會思考數學問題，提升學生數學綜合解題能力，使課本中的例習題的作用發揮到極致，以達到最佳提升數學復習的質量.只有重視課本中的例習題，理解、領會它們蘊含的思想方法，通過系統的歸納總結、變式訓練，才能觸類旁通、由此及彼積累足夠的題型，形成數學解題能力，提升學生數學綜合能力，實現數學復習質量的提升.

正如數學教育家波利亞所說：“沒有一道題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經過充分的探討與研究，總會有點滴的發現，總能改進這個解答，而且在任何情況下，我們都能提高自己對這個解答的理解水平.”筆者從一道課本習題出發進行深入探究及引申推廣得到了一系列優美的結論.在教學中經?！把蓄}”，有助于促進教師專業知識的增長，通過研究習題可以提高學生的數學解題能力，培養良好的數學興趣，提高課堂教學的有效性.Z