把握創新背景透析條件關系
——以“集合”為例談創新問題的解答

☉江蘇省栟茶高級中學 吳徠斌

把握創新背景透析條件關系
——以“集合”為例談創新問題的解答

☉江蘇省栟茶高級中學 吳徠斌

由于創新問題能有效考查考生的閱讀理解能力、化歸轉化能力及靈活運用所學知識解答問題的能力，因此成為高考亮點內容，也是必考內容.分析近幾年各省市的高考試題不難發現創新問題的考查，常以壓軸題或把關題的形式出現.大部分考生對此類問題一籌莫展，究其原因，是因為創新問題常以新背景、新定義的形式考查，而學生對新內容的理解不透徹，未能準確把握問題求解的關鍵所致.下面以一道集合創新題為例，從概念理解、條件審視等角度對問題進行分析，以期對同學們處理此類問題有所幫助.

一、題目展示

引例給定正整數n（n≥3），集合Un=｛1，2，3，…，n｝.若存在集合A、B、C，同時滿足下面的三個條件：

①Un=A∪B∪C，A∩B=B∩C=A∩C=?；

②集合A中的元素都為奇數，集合B中的元素都為偶數，所有能被3整除的數都在集合C中（集合C中還可以包含其他數）；

③集合A、B、C中各元素之和分別為SA，SB，SC，有SA= SB=SC.則稱集合Un為可分集合.

（1）已知U8為可分集合，寫出相應的一組滿足條件的集合A、B、C；

（2）證明：若n是3的倍數，則Un不是可分集合；

（3）若Un為可分集合且n為奇數，求n的最小值.

集合是高中數學的基礎概念，也是重要概念之一，以集合為視角的命題背景新穎、構思巧妙、邏輯性強.能有效考查考生的思維能力、運算能力等綜合素質，還對考生的閱讀理解能力、分析和解決問題的能力做出考查.此類創新題型突破常規題型的模式，形式豐富，備受命題人關注.同時，它取材廣泛、時代性強、無固定套路，從側面體現了考試的公平性.所以，在平時的教學或學習中，加強對創新題型的研究和訓練，不但是備考的一項基本內容，也有利于學生自身綜合素質的提高.

此類題的解答，前提是要求學生具備創新意識，對

問題的“觀察、猜測、抽象、概括、證明”是發現問題和解決問題的重要途徑.對數學知識的遷移、整合、融會的程度越高，顯示出的創新意識也就越強，也就越容易找到解決問題的突破口.

二、條件審視

解答此類問題時，學生看到題目后就一臉茫然，甚至有些學生根本沒有看懂題，不知所給的概念有什么涵義、不知所給的條件如何運用.出現這種情況除對自己所學基礎知識掌握不扎實外，一個重要的原因就是閱讀和理解能力較差.因此對于創新問題的求解，理解問題的本質和內涵是問題順利求解的關鍵.

對本題所給概念、條件的理解可從如下幾個角度來審視：

（1）題目中給出了三個條件，其中的已知與未知的根本不同是什么？這里的邏輯關系是什么？三個條件，應該先滿足哪一個或哪兩個？這樣認為的根據是什么？

（2）對于集合問題的處理，要弄清分析集合問題的幾個維度，如元素關系，數量關系等.

（3）對于一個陌生問題的處理，我們可以從動手實驗開始，選擇一些特殊的集合來加深對新定義的認識和理解.

通過充分審視條件不難發現，①、②屬于定義性的條件，條件③反映了集合之間的數理關系.因此，在問題的具體求解中可先使所要判斷的集合滿足條件①、②，再去驗證條件③滿足與否.

具體分析、解答過程如下.

三、問題解答

此類試題的命制一般含有2～3問，難度逐漸遞增.其中第（1）問屬于送分題，只要讀懂新概念的含義、明白所給條件之間的關系，即可順利求解.另外在問題解答中還要注意前后兩問之間的關系，前一問的結論有可能就是后一問的條件.因此解題中要準確把握、合理利用.

（1）依照題意，可以取A=｛5，7｝，B=｛4，8｝，C=｛1，2，3，6｝.驗證可知滿足條件.

第一問為下面的問題做鋪墊，如何體會呢？請同學們思考.

（2）條件中給出具有的數理關系，因此可以抓住集合中元素的和，即SA=SB=SC這一關鍵點尋找思維突破口.對于缺少的具體研究對象，可創造條件，利用反證法得出矛盾，即可證明.

假設存在n是3的倍數且Un是可分集合.

設n=3k，則依照條件②可知｛3，6…，3k｝?C，而集合C中還可能含有其他數，所以

集合Un中的n個數之和為由條件③知SA=與矛盾，所以n是3的倍數時，Un一定不是可分集合.

當n為奇數時，n+1為偶數，而n（n+1）=12m，所以一定有n+1既是3的倍數，又是4的倍數，所以n+1=12k，所以n=12k-1，k∈N*.

定義集合D=｛1，5，7，11，…｝，即集合D由集合Un中所有不是3的倍數的奇數組成；

定義集合E=｛2，4，8，10，…｝，即集合E由集合Un中所有不是3的倍數的偶數組成.

根據集合A、B、C的性質知道，集合A?D，B?E，此時集合D，E中的元素之和都是24k2，此時Un中所有3的倍數的和為

顯然必須從集合D，E中各取出一些元素，這些元素的和都是2k，所以從集合D=｛1，5，7，11，…｝中必須取偶數個元素放到集合C中，所以2k≥6，所以k≥3，此時n≥35.

而令集合A=｛7，11，13，17，19，23，25，29，31，35｝；集合B=｛8，10，14，16，20，22，26，28，32，34｝；

集合C=｛3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，1，5，2，4｝.

檢驗可知，此時U35是可分集合，所以n的最小值為35.

注意：“反證法”是邏輯推理證明中常用且有效的方法，應用中要準確假設、合情推理.另外解答中在得出n= 12k-1，k∈N*后，利用窮舉法，由k=1，2，3，…，得n=11，23，35，…，在說明11，23不滿足，35滿足條件時，注意必須要嚴格地說明11、23為什不行.

四、變式演練

變式已知集合Ωn=｛X|X=（x1，x2，…，xi，…，xn），xi∈｛0，1｝，i=1，2，…，n｝，其中n≥3.

?X=（x1，x2，…，xi，…，xn）∈Ωn，稱xi為X的第i個坐標分量.若S?Ωn，且滿足如下兩條性質：

①S中元素個數不少于4個；

②?X，Y，Z∈S，存在m∈｛1，2，…，n｝，使得X，Y，Z的第m個坐標分量都是1.則稱S為Ωn的一個好子集.

（1）若S=｛X，Y，Z，W｝為Ω3的一個好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），寫出Z，W；

（2）若S為Ωn的一個好子集，求證：S中元素個數不超過2n-1；

（3）若S為Ωn的一個好子集且S中恰好有2n-1個元素時，求證：一定存在唯一一個k∈｛1，2，…，n｝，使得S中所有元素的第k個坐標分量都是1.

解析：（1）Z=（1，0，0），W=（1，1，1）.

（2）對于X?Ωn，考慮元素X′=（1-x1，1-x2，…，1-xi，…，1-xn）.

顯然，X′∈Ωn，?X，Y，X′，對于任意的i∈｛1，2，…，n｝，xi，yi，1-xi不可能都為1，可得X，X′不可能都在好子集S中.

又因為取定X，則X′一定存在且唯一，而且X≠X′，且由X的定義可知?X，Y∈Ωn，X′=Y′?X=Y.

這樣，集合S中元素的個數一定小于或等于集合Ωn中元素個數的一半，而集合Ωn中元素個數為2n，所以S中元素個數不超過2n-1.

（3）?X=（x1，x2，…，xn-1，xn），Y=（y1，y2，…，yn-1，yn）∈Ωn，定義元素X，Y的乘積為XY=（x1y1，x2y2，…，xn-1yn-1，xnyn），顯然XY∈Ωn.

證明：“對任意的X=（x1，x2，…，xn-1，xn）∈S，Y=（y1，y2，…，yn-1，yn）∈S，都有XY∈S.”

假設存在X，Y∈S，使得XY?S，則由第（2）問可知（XY）′=（1-x1y1，1-x2y2，…，1-xn-1yn-1，1-xnyn）∈S.

此時，對于任意的k∈｛1，2，…，n｝，xk，yk，1-xkyk不可能同時為1，與題目條件矛盾，所以XY∈S.

因為S中只有2n-1個元素，我們記Z=（z1，z2，…，zn-1，zn）為S中所有元素的乘積.

根據上面的結論，我們知道Z=（z1，z2，…，zn-1，zn）∈S，顯然這個元素的坐標分量不能都為0，那么不妨設zk=1.

根據Z的定義，可以知道S中所有元素的k坐標分量都為1.

下面再證明k的唯一性：

若還有zt=1，即S中所有元素的t坐標分量都為1，所以此時集合S中元素個數至多為2n-2個，矛盾.

所以結論成立.

注：本題雖然形式新穎，但通過準確閱讀理題意，不難發現我們熟悉的面孔.以n維坐標系為背景，以集合為形式.問題的求解中除注意新定義的本質外，要準確把握全集、子集、元素之間的關系進行推理.

綜上，解答好集合創新問題要重視數學核心概念的理解與準確運用，教師在評時的解題教學中可通過為學生創設一些理解概念的情境，訓練學生充分理解概念，學會用概念解題，進而不斷培養其對新概念、新知識的閱讀和理解能力.這里的新知識可以是新的定理、新的方法、新的公式、新的圖式、新的規則等.當然這里所說的“新”，往往只是新在形式，解題中只要把握集合的本質，即可化生為熟、化抽象為具體.通過這樣的內容來訓練學生對題目信息進行收集、提煉、加工、整理的能力.對閱讀的內容進行概括和理解，看清問題的本質，運用合情推理和演繹推理等方法解決一些新的數學問題.另外要加強創新意識的培養，教學中以問題為出發點，通過對典型試題的分析，讓學生體會創新試題的解決途徑和思考方法，并歸納出解題步驟，即從新情境問題中獲取信息——分析處理信息——轉化為數學問題——獲得原問題答案.隨著高中數學課程改革的不斷推進，考查學生獨立獲取新知識的學習型試題仍會不斷地出現在高考命題中，望廣大師生給予足夠的重視.

1.石深敏.高考集合題的創新方式與復習對策［J］.中學數學（上），2012（7）.F