解析幾何解題訓練中的幾點注意

☉浙江省杭州市余杭實驗中學 王國軍

解析幾何解題訓練中的幾點注意

☉浙江省杭州市余杭實驗中學 王國軍

解析幾何是高中數學主干內容之一，在歷年各省市的高考命題中常以中、高檔題型出現，處理此類問題的常用策略主要有：（1）幾何問題直接代數化；（2）先把幾何問題利用幾何方法進行適當處理后，再代數化.學生在解題中常因為對平面幾何的幾何特征把握不準，造成解題過程過于煩瑣，使解題半途而廢.本文對此提出以下幾種建議，供參考.

一、注意積累幾何特征代數化的經驗

在對解析幾何問題的分析中不難發現隱藏于其中的平面幾何身影，準確利用平面幾何的幾何性質是問題順利求解的關鍵.其中涉及較多的平面幾何中的圖形有平行四邊形、菱形、等腰三角形等.

圖1

（1）當B是W的右頂點且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積.

（2）當B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由.

解析：菱形的幾何性質綜合起來主要有以下幾點：

①對邊平行；②對邊相等；③對角線平分；④對角線垂直；⑤對角線中點重合；⑥對角線平分其面積；⑦菱形面積|等.

解題中只要準確把握上述幾何特征，即可準確將幾何問題代數化.如第（2）問判斷四邊形OABC是否可能為菱形，可從菱形的幾何特征入手：先假設對角線互相平分，再判斷對角線是否垂直.

如果題目中涉及的是平行四邊形，菱形這個條件可

以弱化為平行四邊形，結論①、②、③、⑤、⑥不變.若將點C去掉，將菱形這個條件改為△ABO為等腰直角三角形呢？（請讀者思考）

二、注意從多角度分析，預測多種途徑的繁簡，以優化解題思路

圖2

對于同一道問題，可能有多種處理方式，有的煩，有的簡，因此，在解題訓練中要善于從不同角度分析、解決問題，并從中選擇最優策略.

例2如圖2，設AB、A′B′分別是圓O：x2+y2=a2和橢圓C的弦，端點A與A′、B與B′的橫坐標分別相等，縱坐標分別同號.

（2）方法1：先入為主、直奔主題.

由（1）得圓O的方程為x2+y2=4.

設A（x1，y1）、B（x2，y2）、A（′x1，m）、B（′x2，n）.因為點A在圓O上，所以+=4①.

（x-x1），即y

直線A′B′的方程為y

該解法從題意出發，設出關鍵點的坐標，再結合共線原理，找到定點，思路簡潔、易入手.但對學生的運算求解能力、推理論證能力提出了更高的要求.

方法2：先猜后證，峰回路轉.

由（1）得圓O的方程為x2+y2=4.

設A（x1，y1）、B（x2，y）2.

又kA′M′=結合①式，得kA′M′=kB′M′，所以A′、M′、B′三點共線，即弦A′B′必過定點M

此解法充分利用圓與橢圓之間的關系，即圓經過壓縮可轉化為橢圓、橢圓通過相反的變化過程可轉化為圓，大大簡化了計算.在探究弦A′B′是否也必過某個定點時，巧妙利用“先猜后證”的策略，降低了問題求解的難度.

三、注意綜合運用合情推理與演繹推理、綜合法與分析法探索問題解決思路

解析幾何問題具有較強的綜合性，著重考查直線與橢圓的位置關系、橢圓的定義、弦長公式、平行線的性質、勾股定理、三角形面積等知識，能有效考查考生分類與整合的思想綜合運用能力，以及運算求解能力和推理論證能力.

別為（-2，0），（1，0）.過R作不平行于x軸的直線交橢圓于A，C，直線AP交橢圓于B，連接BR交橢圓于D.證明直線AB與直線CD的斜率之比為定值，并求出該值.

圖3

解析：題中所涉及的點均在橢圓上.因此可設變量直接將所有點的坐標表示出來，再進行計算化簡.

設直線AC：y=k（x-1），A（x0，kx0-k）.將直線AC：y= k（x-1）代入橢圓方程得（1+5k2）x2-10k2x+5k2-5=0，由根與系數的關系可知xC=將AP：y=（x+2）代入橢圓方程得x2+，再代入直線方程求出yB，類似地，求出點D坐標，再由斜率公式代入化簡求比值.

這種方法思維直接，容易操作，但對運算的準確性要求高，需要有扎實的基本功.真正能解出來的同學寥寥無幾.

若仔細挖掘隱含條件，不難發現題中4個點都是由兩條過點R的直線與橢圓相交產生，對稱性不言自明.故設直線BD和AC的方程，得如下簡潔解法.

設直線BD：x=m1y+1；直線AC：x=m2y+1.

將x=m1y+1代入，則.同理

無疑，通過此類問題的求解訓練，可以有效地檢測和提高學生分析問題、解決問題的能力.

四、注意數形結合、函數與方程、化歸轉化思想在解決問題中的作用

數形結合思想、函數方程思想、轉化與化歸思想是高中數學常規數學思想，滲透于高中數學各知識模塊中，解析幾何也不例外.

例4如圖4，已知拋物線C：y2= 8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若，則|QF|=（）.

C.3D.2

圖4

解法1：（代數法）F（2，0），P（-2，a），Q（x，y），得到x=1，代入拋物線方程得到，|QF|=3.

解法2：（幾何法）過Q點向準線l作垂線，垂足為H，設|QF|的長度為x，由拋物線的定義，|QH|=|QF|=x，由，得到，所以x=3.

數形結合就是把代數上的“數”與幾何上的“形”，結合起來認識問題、理解問題的思想，它包括兩個層面，即以“形”助數，和以“數”解形.解題中要靈活應用.

總之，我們在處理解析幾何問題時既要從“大處著眼”，即在整體上把握問題的綜合信息和處理問題的策略，又要從“小處著手”，即在細節上能熟練運用各種數學方法與技巧.注意掌握一些優化解析運算的策略，進而提高我們分析問題與解決問題的能力.F