以圓為背景的最值問題探究

☉江蘇省常熟市滸浦高級中學 唐雪芳

以圓為背景的最值問題探究

☉江蘇省常熟市滸浦高級中學 唐雪芳

處理解析幾何中的最值問題的常規方法：將幾何問題代數化后構造目標函數，再利用函數最值問題的方法求解.圓既是平面幾何的重要圖形，也是解析幾何的重要曲線，解決與圓有關的問題既可以利用幾何法，也可以利用代數法.此類問題能有效考查考生靈活應用所學知識解決問題的能力.本文以圓的有關最值問題的求解為例，就其中所涉及的方法舉例分析.

一、引例說明

例目（2016年上海）在平面直角坐標系中，已知A（1，0），B（0，-1），P是曲線y=上的一個動點，則的取值范圍是____________.

本題是以圓為背景、以向量為視角的最值問題.坐標法是解決向量問題的重要方法，通過引出點的坐標，利用向量坐標的數量積公式，將幾何問題代數化，進而將所求最值問題轉化為函數最值問題處理.三角換元法、均值不等式法、導數法是求解函數最值問題的重要方法.下面從幾個不同的視角解答此題.

二、解法探究

1.利用圓的參數方程

方法1：將曲線方程變形得x2+y2=1（y≥0），即為圓心在坐標原點，半徑為1，在x軸上方的半圓.故由圓的參數方程可設P

2.利用均值不等式

評析：利用坐標法將所求最值轉化為函數最值處理，根據函數的特征，將函數平方后，轉化為可利用均值不等式的類型.本解法在構造均值不等式過程中，通過將函數的局部進行平方，構造出和為定值的形式.利用均值不等式求最值時，要注意不等式成立的三個條件.

3.利用導數法

評析：導數法是研究函數性質問題的有力工具.對于常規最值方法不易求解的問題，可借助導數方法解答.

三、變式演練

變式1在平面直角坐標系xOy中，以點A（2，0），曲線y=上的動點B，第一象限內的點C，構成等腰直角三角形ABC，且∠A=90°，則線段OC長的最大值是_______.

欲求線段OC長的最大值，應先確定點C的坐標，而點C由定點A與動點B確定，故可從A、B入手，尋找點C的軌跡.

圖1

分別過點B、C作x軸的垂線BC、CE.由∠BAC=90°，得∠BAD+∠CAE=90°.而在Rt△CAE中∠ECA+∠CAE= 90°，所以∠ECA=∠BAD.

又在Rt△BAD與Rt△ACE中，AB=AC，所以Rt△BAD≌Rt△ACE，所以BD=AE，AD=CE.

設點B的坐標為（m，n），且m2+n2=1，則點C的坐標為（2+n，2-m），所以|OC|=

評析：本題通過充分挖掘題目條件中幾何圖形的幾何性質，構造目標函數，進而將問題轉化為函數最值問題處理.

圖2

△AOB點O到直線l的距離

評析：本題考查圓的標準方程、直線與圓的位置關系，意在考查考生的數形結合的數學思想及運算能力.

變式3設直線l：mx+ny-1=0（m，n∈R*）與x、y軸相交于A、B兩點，且l與圓x2+y2=19相交所得弦長為2，O為坐標原點，求△AOB面積的最小值.

因為直線l與圓相交所得的弦長為2，圓心到直線的距離d滿足d2=r2-1=19-1=18，所以d=32，即圓心（0，0）到直線mx+ny-1=0（m，n∈R*）的距離為，所以

又因為

評析：本題求解中利用了均值不等式m2+n2≥2mn的形式，由弦長為定值得出“和”的定值，而面積可表示為“乘積”的形式，進而求得面積的最小值.

變式4滿足條件AB=2，AC=?BC的△ABC的面積的最大值是_________.

△ABC

AB=2為定值，BC是變量.

評析：本解法由我們熟悉的解三角形中正、余弦定理和三角形面積公式切入是本題的一個自然的解法，但過程煩瑣，要有較高的運算能力.

圖3

由已知得A（-1，0）、B（1，0），設C（x，y），由AC=2BC，得，化簡得（x-3）2+y2=8（x≠0）.所以C點的軌跡為以點（3，0）為圓心為半徑的圓（不包括圓與x軸的兩個交點）.

評析：由于AB邊是定值，為求其面積的最大值，只須求出頂點C到AB邊的最大值即可.而，說明點C是運動變化的，那么它的軌跡是什么呢？到此我們的思維“進入了”解析幾何的領域.

綜上，通過對一道題目的多角度分析，既能有效考查學生對所學知識的鞏固程度，也能考查靈活應用所學知識分析問題、解決問題的能力.F

方法2：以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立如圖3所示的直角坐標系.則