凹凸率與平均值
——琴生不等式的推廣：凹凸率不等式

胡卿瑞

（同濟大學土木工程2016級 200092）

凹凸率與平均值
——琴生不等式的推廣：凹凸率不等式

胡卿瑞

（同濟大學土木工程2016級 200092）

根據johan jensen的琴聲不等式，從均值與函數及其導數之間的聯系中，推導出了與均值有關的不等式及其判定定理，提出一個新的數學概念“凹凸率”，以及與它有關的重要結論“凹凸率定理” 。這個定理揭示了導數、函數與均值的內在聯系，給具有均值關系的問題帶來很大方便。從本文例題可以看出，這一發現推廣了一般均值的定義，這個理論有很大活力，比如：如果一個輪換對稱不等式的二元形式成立，則其n元形式必定成立。這是十分有趣而且很有價值的發現，它將給研究輪換對稱不等式等問題帶來許多便利之處。

均值 凹凸率 函數

一、均值的推廣

二、凹凸率與凹凸率函數

1．定義：對定義域內任0x ，可導函數 )(xf 在任意一點處的凹凸率為而為該函數的凹凸率函數。

下面給出證明:

①不妨設x1＜x2，令? 1(x)=g(x)?(k1x+b1)，?2(x)=f (x)?(k2x+b2)，使得

由數學歸納法不難將①②推廣至n元的情況，就把①稱為凹凸率不等式吧。

3．應用

①用于證明凹凸率不等式

②用于證明均值不等式

當 x＞0時，它們均單調遞增，且凹凸率函數滿足

由此可判斷

故不等式得證。從上可以看出凹凸率不等式在證明輪換對稱不等式中的應用:首先將不等式兩端化為均值形式，再找到兩端均值對應的函數，再比較原函數凹凸率的大小，最后證明命題。理論上，任何形式的均值均有與其對應的凹凸率函數，但是尋找的方法還需作進一步探究。