高中物理習題教學中的圖象轉換策略

金毅 袁海泉

1 剖析“圖象轉換策略”

在中學的物理學習過程中，學生會接觸到大量函數圖象，例如v-t圖象和x-t圖象，它們是對客觀物理量的一種表示.這些函數圖象不僅描述了因變量隨自變量變化而變化的關系，而且由于物理量之間的邏輯關聯，圖象之間還存在著因果關系.在解決某些特定物理問題時，我們將物理量的函數圖象作為條件，根據已知的公理、定理等經過演算和邏輯推理得到目標物理量的函數圖象，在這一過程我們利用的思想方法將其稱為“圖象轉換法”.那么“圖象轉換法”的本質是什么呢？實際上，圖象轉換法就是函數圖象思想與轉化思想的有機結合.這一思維方法不僅以物理規律和定律為基礎，利用函數概念和性質去分析和轉化問題，并且用圖象這種具體和形象的數學語言作為工具，描述物理量的變化，從而解決問題.

在中學物理教學和學習中，“圖象轉換策略”常運用在純運算無法完全解決的物理問題中，借助物理圖象輔助定性呈現物理過程的變化，提高解決問題的效率和準確性.主要的應用流程如圖1所示：

在解決與函數圖象有關的問題時，首先要明確已知條件量與目標量之間的物理邏輯關系：“是線性關系還是非線性關系？有沒有具體的定理明確兩者的關系？”然后要根據條件圖象的特點建立與目標圖象的關系，例如條件圖象的斜率，面積，交點等來決定用何種數學方法分析，例如求導，積分，建立函數關系等等.接下來，根據以上分析結論定性地繪制目標圖象，其中在遇到臨界點和拐點等特殊情況時需要特別注意，判斷其對目標量變化趨勢的影響.最后，根據所求得出結論，問題得到解決.

圖象作為物理量的實際表征，它的生成過程是將具體的物理過程抽象成函數之后再轉化為函數圖象.它是將物理變化由具體轉化為抽象再由抽象轉化為形象圖表的過程，其對于培養學習者的抽象思維和數形結合思想有著極其重要的意義.教師運用圖象轉換的策略，不僅可以直觀呈現物理問題，提高解決問題的效率，而且可以幫助學生通過視覺表征的形式記憶和提煉學習結果，實現教學形式與教學方法的最優化.圖象轉換實際上是函數思想和轉化思想的結合，將數學與物理密切聯系，是幫助學生開發和鍛煉思維，熟練運用所學知識解決問題的良好手段.

2 勻變速直線運動問題的圖象轉換

勻變速問題是高中物理運動學中重要的部分，在這一專題中主要涉及的是v-t圖象和x-t圖象.某對象的v-t圖象的斜率表示加速度a，其v-t圖象與坐標軸圍成的面積表示相應時間的位移x，這與它的x-t圖象正是一種積分關系.相反，x-t圖象的斜率就是表示該時刻的速度v，與v-t圖象是微分關系.

例1 一輛汽車從靜止開始由甲地出發，沿平直公路開往乙地，汽車先做勻加速運動，接著做勻減速運動，開到乙地剛好停止，其v-t圖象如圖2所示，那么

0～t0 和t0～3t0，兩段時間內

A.加速度大小之比為3∶1

B.位移大小之比為1∶2

C.平均速度大小之比2∶1

D.平均速度大小之比為1∶1

圖象轉換優勢分析：圖象轉換可以直觀地表現運動狀態的變化，反映a、v、x三個物理量之間的關系.例如本題中條件量是速度v，則加速度a為v-t圖象的斜率，得到0～t0和t0～3t0，兩短時間內斜率分別是

v0t0和

-v02t0

.因此我們可以根據v-t圖象畫出a-t圖象，如圖3，這實際上是v-t圖象的微分過程.而v-t圖象與坐標軸圍成的面積表示該汽車相應時間的位移x，與它的正是一種積分關系，如圖4.x-t圖象的描繪對思維能力的要求較高，教師如果此時稍加引導，抓住積分關系得到x-t圖象，能幫助學生建立勻變速運動整體模型，是建立運動全局觀的良性訓練.

3 變力做功問題的圖象轉換

在功能關系的知識板塊中，學生經常遇到的變力做功問題.當變力與物體位移線性相關時（例如空氣阻力），我們可以利用F-x圖象來得到該力做功的大小，因為F-x圖象在該段位移里對物體所做的功在數值上正好等于F-x圖象所圍成的面積.同時，利用圖象轉換的方法，我們也可以得到該物體運動狀態的相關的a-t圖象、v-t圖象，這對于學生分析變力作用下物體的運動狀態有很大的幫助.

例2 一顆m=0.1kg的靜止的小球從高達10m的樓層下落，下落過程中有空氣阻力f阻，且f阻=kx，其中k=0.2N/m，x為下落的位移，求下落至地面時小球的速度為多少？（取g=10m/s2）

圖象轉換優勢分析：結合函數圖象以及圖象之間的轉換，可以避免復雜的代數計算，定性的幫助學生分析物理過程.例如本題，對于根據f阻=kx可以得到空氣阻力的f阻-x圖象，如圖5.那么在下落過程中對該物體進行受力分析，利用牛頓定律得mg-kx=ma，由此可知，小球的加速度不斷減小，直到重力與空氣阻力相同時加速度減小為零，因此我們就可以得到a-t 圖象（圖6）.此時，學生得到的結論是：當mg=kx0時，小球加速度為零，勻速運動，所以利用a-t圖象，運動對象的物理情境清晰展現在學生腦海中.令此時的時刻為t0，可得此時位移x0=5m<10m，所以小球在著陸之前就已經勻速運動了.根據f-x圖象在該段位移x0里對物體所做的功在數值上等于f-x圖象所圍成的面積，可以得到空氣阻力做的功Wf=12kx2 ，再利用動能定理，得mgx0-12kx20=12mv2-12mv20就可以得到勻速時的速度大小.而與此同時，利用微積分思想的圖象轉換思路也可以得到v-t圖象（圖7），將該物體運動的狀態用圖象定性描繪出來，由圖能得到的新結論是：該物體做的是變加速運動，它在空中勻速運動時的速度就是物體著陸時的速度.那么此時教師可以引導學生思考，假如該物體下落的高度小于5m，物體下落時加速度和速度是如何變化的？根據a-t、v-t圖象答案就呼之欲出了.這個過程是在引導學生提出問題，發現問題，加深了學生對于此類物理過程本質的理解.

4 電、磁場問題的圖象轉換

帶電粒子在變化的電、磁場中運動的問題涉及到力學和電、磁場知識的綜合運用.在電場中，電場力的改變使得對象受力發生周期性改變，從而運動狀態也隨之改變，因此，我們可以從U-t圖象通過圖象推導得到v-t圖象，進而利用積分關系分析獲得x-t圖象；在磁場問題中，根據法拉第電磁感應定律，磁場的變化也會導致感應電動勢的改變而改變，由此我們也可以定性描繪出電勢或電流的變化圖象.

例3 如圖8，勻強磁場的磁感應強度方向垂直于紙面向里，磁感應強度B隨時間變化圖象如圖9所示，現有一個電阻為R，邊長為l的方框位于磁場中，嘗試畫出其感應電流的變化圖象.

圖象轉換優勢分析：教師利用圖象轉換策略可以拓寬習題講解的思路，例如本題的條件量是磁感應強度B，目標量是感應電流I.根據法拉第電磁感應定律E=

nΔΦΔt=nSΔBΔt，EμΔBΔt，則IμΔBΔt.即I=ER=l2kR，k為 磁場變化圖象斜率.根據B-t圖象的斜率，不需要右手螺旋定則的判定，我們可以很快得到I-t圖象，提高了解題效率，如圖10所示.

例4 將如圖11所示的交變電壓加在平行板電容器A、B兩極板上，交變電壓如圖12所示，開始B板電勢比A板電勢高，這時有一個原來靜止的電子正處在兩板的中間P處，它在電場力作用下開始運動，設A、B兩極板間的距離足夠大，下列說法正確的是

A.電子一直向著A板運動

B. 電子一直向著B板運動

C.電子先向A板運動，然后返回向B板運動，之后在A、B兩板間做周期性往復運動

D.電子先向B板運動，然后返回向A板運動，之后在A、B兩板間做周期性往復運動

圖象轉換優勢分析：如本題，根據公式a=

Fm=Uedm

，不難確定電子所受電場力的變化，從而獲得加速度a變化圖象，如圖13所示，進而得到速度v變化圖象，如圖14.從圖中可知，電子在第一個T/4周期時向B板做勻加速運動，T/4到T/2時勻減速運動，T/2到3T/4時反向加速運動，3T/4到T時勻減速運動.所以電子是在極板之間周期往復運動.因此，學生在利用圖象再現物理情景的同時，利用圖象轉換思路可以拓寬解決問題的思維，由原問題得到新推論.

例4變式 此時如果利用微積分思想思考粒子運動位移的問題，就可以通過v-t圖象定性描繪出x-t圖象，電子在第一個T/4周期時向B板運動斜率為正不斷增大，T/4到T/2時斜率為正不斷減小，T/2到3T/4時斜率為負不斷增大，3T/4到T時斜率為負不斷減小，如圖15所示.因此，我們得到的新結論就是：粒子從中點出發后是在P點的右半側運動，不會運動到P點的左半側.

5 波動問題的圖象轉換

在簡諧振動問題中，我們經常會遇到振動圖象和波動圖象.波動圖象（y-x圖象）是所有質點某時刻時在空間內的分布圖象；而振動圖象（y-t圖象）是描述某一質點的位移隨時間變化而變化的圖象.在研究簡諧振動問題時，我們要將兩個圖象相互結合對質點振動進行分析.通過已知的條件量的圖象，將y-x圖象與y-t圖象的相互轉換，可以順利解決簡諧振動的圖象問題.

例5 介質中坐標原點O處的波源在t=0時刻開始振動，產生的簡諧波沿x軸正向傳播，t0時刻傳到L處，波形如圖16所示.y-t圖中能敘述x0處質點振動圖象是

圖象轉換思路：題中所給條件圖為t=t0時刻的波動圖象，t0時刻波傳到了L=3λ處，所以波動是從左向右傳播的，且起振方向是向下的.而對于x處的質點來說，在t0時刻之后運動趨勢應與x0左邊的質點一致，即向下運動.所以在振動圖象中t0右側時刻質點的位置應該低于t0時刻質點的位置，因此只有C選項是正解.本題的難點在于如何從y-x圖象轉換到y-t圖象，所以，抓住宏觀的波動傳播方向，再聚焦到某個質點的振動趨勢上，是此類問題圖象轉換的關鍵.

例5變式 一列簡諧橫波沿直線傳播，該直線上平衡位置相距9 m的a、b兩質點的振動圖象如圖17所示，下列描述該波的圖象可能正確的是

圖象轉換思路：該題考查的是學生將y-t圖象轉換為y-x圖象，剛接觸此題時，學生很難把握，不知道a、b點是哪個離波源更近，因此先假設簡諧波由a向b傳播，從振動圖象看，b與a相差34+n個周期，所以a、b距離為c=（34+m）λ=9 m（n=0，1，2……）.若假設波由b向a傳播，a與b相差14+n個周期，所以a、b距離c=（14+n）λ=9 m（n=0，1，2……）.本題解決的關鍵是要在兩種假設下分別明確a、b的相位差，并且要認識到簡諧振動的周期性.

由以上的實例可以看出，圖象轉換策略是教師和學生需要重視的一種思維模式，在高中學習中涉及面較廣，對學生知識能力的考查也很深入.這一策略不僅能夠幫助學生簡潔快速地解決問題，并且對于學生完善物理知識體系，深化物理思想，提升思維能力都有重要的意義.