“月—地檢驗”之前

周分工

“月-地檢驗”是牛頓發現萬有引力定律的事實依據，是“距離平方反比規律”推廣的前提.為完成“檢驗”，牛頓時代需要知道：地球表面的落體加速度 ，地球自身的半徑 ，月地距離 ，月球公轉的周期 .對這些數據，高中教科書一句話帶過“在牛頓時代，已經能夠比較精確地測定這些數據……”.學生不僅要問：歷史上這些數據是如何測量的呢？另外，教師不了解這些，教學過程中往往會缺乏底氣，甚至邏輯順序顛倒.筆者查閱資料，力圖對這些測量作一介紹.

1 地球半徑R的測量

公元前3世紀古希臘天文學家厄拉多塞內斯（Eratosthenes）首次測出了地球的半徑 .他發現：夏至這一天，當太陽直射到賽伊城的水井S時，在另一城（亞歷山大城，用A表示）觀察到太陽光與豎直方向的夾角θ=7.2°，如圖1所示.太陽離兩城足夠遠，可認為太陽光是平行的，由同位角相等知：兩城間的弧所對的圓心角SOA也是7.2°.又知：商隊旅行時測得S、A間的距離約為5000古希臘里.然后進行如下推算：圓心角360°所對的圓弧長為2πR，所以1°所對的圓弧長為2πR360，那么n°所對的圓弧長l=2πR360n=πR180n，得R=180lπn，代入l=5000古希臘里，n=7.2，算出R=39808古希臘里.現在一般認為1古希臘里約為158.5米，那么他測得地球的半徑為39808×158.5米，約為6310千米.

2 月地距離r的測量

測出地球半徑，為測量月地距離奠定了基礎，公元前3世紀古希臘天文學家阿利斯塔克（Aristarchus）測定了地球到月球的距離.

首先，他發現太陽底下的圓形物體會形成圓形的陰影，如圖2，且離物體越遠，陰影越小，直至縮成一個點，測量發現：物體下方本影區的高度為物體直徑的108倍.

同樣，地球在太陽底下也會形成本影區，如圖3中的ODEF所示，且本影區的長度DO也為地球直徑de的108，即EO=108d；月球進入這個本影區，便是月食現象.觀察月食發現：月球從D點進入本影區開始月食，到F點離開本影區結束月食，DF的長度為月球直徑dm的2.5倍，即

DF=2.5dm.

另外，月球運動到太陽與地球之間時，也會形成本影區，如圖3中的ABC所示，地球上的人進入這個本影區，便會觀察到日全食現象.但發現日全食通常只能在地球上一塊非常小的區域才能看到，這說明：月球的本影區到地球上幾乎縮成了一個點.

可認為，三角形DFO與三角形ABC相似，其中DFO的高為DO-r=108dc-r，ABC的高為r-dc2，由三角形相似規律：高的比等于底邊長的比，即

108de-rr-de2=DFAB=2.5dmdm

解得r=30.5de，即月地間的距離約為地球直徑的30倍，或者說月地間的距離約為地球自身半徑的60倍.

3 月球公轉周期T的測量

天文學上把月亮的圓缺變化，稱為月相變化.遠古時代人們已經注意到了月相的變化，并記錄了月相更替的周期，為29.53天，也是陰歷一個月的時間，但這個時間還不能算作月球公轉的周期.

如圖4，在位置1，月球被照亮的部分，能夠全部被人們觀察到，這是所說的“滿月”狀態，同樣在位置3， 也是“滿月”狀態，從位置1到位置3，便是一個月相更替周期，29.53天.由圖4還可看出，從位置1到位置2的時間內，月球已經繞地球公轉了一圈，這才是月球公轉的周期.

圖4中的角α，為月球繞地球一周之后又多轉的角度，可以寫成ω×29.53-2π，其中ω為月球公轉的角速度，可用公轉的周期T表示為：ω=2πT，即

α=2πT×29.53-2π

圖4中的角β，為29.53天內地球公轉的角度，可以寫成ω′×29.53，其中ω′為地球公轉的角速度，可用公轉的周期365天表示為：

ω′=2π365 ，

即 β=2π365×29.53

顯然α=β，可算得：T=27.31天，即月球公轉的周期為27.31天.

4 落體加速度g的測量

牛頓之前的伽利略對落體運動的規律研究的已經相當完美，加之牛頓對動力學的研究，可以猜測：牛頓時代已經能夠知道g值的大小，但是筆者沒有查閱到：它是由誰最先測出的？又是如何測出的？倒是查閱到1784年利用阿特伍德機比較精確的測量了重力加速，但這已經是萬有引力“發現”之后相當長的時間了.

結語：本文陳述了R、r、T、g這是四個量的測定過程，展現了古人思考問題的巧妙與嚴謹，借以說明人們對自然現象的不斷思考和對未知世界的不倦探索，是物理學發展的原動力.