托盤天平橫梁“反常”轉動原因剖析

王偉民

很多人玩過蹺蹺板.即使目不識丁，從未聽說過“杠桿平衡條件”這一名詞的人，也會知道玩蹺蹺板時所發生的現象：當兩人在蹺蹺板的兩端適當位置平衡時，若其中一人不動，另一人向外移動，則向外移動之人會隨著蹺蹺板而下沉；反之，若人沿蹺蹺板向里移動，則蹺蹺板會帶著人一同向上蹺起.

天平恰如蹺蹺板.可是，對于托盤天平，如果對其天平盤進行“加工改造”，將天平盤變成長條狀，用這樣的“改進型”天平測物體質量或者玩游戲，很可能會發生人們意想不到的“怪”現象.

取一架托盤天平，去掉兩托盤，用透明膠帶將兩把塑料尺（20cm長，鋼尺或木條亦可）的一端分別固定在兩邊的托盤支架上，另一端向天平的外側伸出——這相當于將圓形的天平盤改裝成了“加長”的條狀天平盤.將天平橫梁調節平衡之后，取兩個相同的砝碼（20g的即可），分別放在天平盤支架的中間位置（即條狀天平盤的內側），天平平衡.當一側的砝碼保持不動，而將另一側的砝碼沿“條狀”天平盤向外移動時（如圖1），將會發生不可思議的“反常”現象——向外移動砝碼一端的天平盤不但不會下沉，反而向上翹起，而且砝碼向外移動的距離越大，天平盤翹起的高度也越大.

這究竟是什么原因呢？

實際上，這種“反常”現象的出現，與托盤天平的“特殊”構造是密不可分的.圖2是托盤天平的結構示意圖（實驗室使用的托盤天平大多為這種結構），兩邊的天平盤支架，通過固定在橫梁上兩個截面呈三角形棱柱的刀口A和B（刀口尖端朝上），對稱地架在橫梁兩端，使得在橫梁轉動時兩個天平盤的支架可以繞兩刀口自由的轉動；而橫梁的中間有一個尖向下的三棱柱刀口O，將橫梁支撐于固定在天平底座中間的支柱上；兩個天平盤支架的下端有兩個金屬條CD和DE（在天平底座內部），一端與天平盤支架的下端相連，另一端與底座中間的支柱相連，并且在連接處可自由的轉動，金屬條的作用是使得橫梁轉動時，天平托盤始終處于水平狀態（四邊形ACDO可近似看作平行四邊形，所以，橫梁轉動托盤隨之升降時，AC始終保持與鉛直支柱OD平行）.

如圖2，設天平左右盤中等質量的兩砝碼重力均為G，由于天平是一個等臂杠桿，所以OA=OB，當兩砝碼放在“條狀”天平盤的內側（即天平盤支架的正中間）時，有：G·OA=G·OB.

由杠桿平衡條件可知，此時天平橫梁平衡.

當左盤砝碼不動，右盤砝碼沿條狀“天平盤”向外移到圖3所示的位置時，我們將右盤及其支架作為一個整體隔離出來，單獨進行受力分析.由于兩邊的天平盤及其支架是對稱的，所以，它們的重力相等，兩側天平盤及其支架對天平橫梁的轉動作用，效果可以相互抵消，我們完全不用考慮天平盤及其支架的重力對天平橫梁轉動的影響（即使兩邊的天平盤及其支架的重力不等，通過調節橫梁上的平衡螺母，也可使得橫梁與天平盤的支架作為一個整體的重心，剛好在過中間刀口的鉛直直線上，我們仍不需考慮天平盤極其支架的重力對橫梁平衡的影響.使用天平之前“調節橫梁，使橫梁平衡”的調節步驟，目的就在于此）.以下討論均不考慮天平盤及其支架的重力.

圖3中，在鉛直方向上，右盤支架受到砝碼對其豎直向下的壓力F4和刀口A對它豎直向上的支持力F3，由于在該方向上，不考慮自身重力時，支架只受這唯一的一對力的作用，所以這兩個力大小相等，同為砝碼重力G.因為右邊的砝碼所放位置不是正對著刀口A在“條狀”天平盤的內側，而是向外偏移了一段距離，所以，如果不是因為天平底座內部金屬條CD的支撐，“條狀”天平盤與支架作為一個整體將會繞刀口A按順時針方向轉動.但由于有金屬條CD的支撐，右邊的天平盤及支架是沒法繞A轉動的，這樣，右盤支架的底端C處必然會受到金屬條CD對其水平向右的作用力F1，而與天平右盤支架相連的除所放砝碼外（砝碼對支架只有豎直向下的壓力），僅有C和A兩點，所以，天平右盤支架平衡時（實際上，就托盤天平而言，不光橫梁是一個杠桿，天平托盤的支架也是一個杠桿，支撐它的刀口便是支點），它必將受到刀口A對其向左的作用力F2，大小與F1相等；這就是說，橫梁通過刀口A不僅給右盤支架一個豎直向上的托力F3，同時還會給支架一個水平向左的作用力F2，由于物體間力的作用是相互的，所以，右盤支架將會通過刀口A在給天平橫梁一個豎直向下壓力F3′（大小為G，圖中未畫出）的同時，還會給橫梁一個水平向右的作用力F2′.因為托盤天平橫梁上的三個刀口不在同一條直線上，圖3中，中間刀口點O在兩端刀口A、B兩點連線的上方（調查發現，不同廠家生產的、不同規格的托盤天平，三刀口均不共線，經測量，中間刀口點O到兩邊刀口所在直線AB的距離大都為2mm左右.將托盤天平拿起，從其一端觀察，使兩端的刀口與人眼在一條線上，可以明顯的看到中間刀口與兩端刀口之間有一2mm左右寬的夾縫），所以，對于以O為支點的等臂杠桿橫梁AB來說，在不考慮盤及支架的重力時，除支點O處的受力之外，它還受到三個力的作用，左右兩托盤支架對其豎直向下的壓力，大小相等均為砝碼重力G，和右邊的托盤支架對其水平向右的作用力F2′，由于力F2′的作用線未通過橫梁中間的刀口——支點O，而是在支點O的下方，所以，天平橫梁所受三個力的力矩之和不再為零，由力F2′的方向可以判斷，橫梁將失去平衡而繞支點按逆時針方向旋轉，即天平橫梁左端下沉，右邊上翹.

我們不妨通過一個例子來看一下，當右盤砝碼向外移動的距離較遠時，對橫梁平衡的影響程度.

圖3中，當右盤砝碼向外運動時，為使天平橫梁重新平衡，我們可在天平右盤中刀口的正上方位置，添加一個質量合適的小砝碼.假如兩側原有的砝碼質量均為20g，量得天平橫梁兩端刀口間距AB=10cm，AC=4cm，O到直線AB的距離約為2mm，當右盤砝碼向外移到刀口A的外側12cm處時，假設在天平右側天平盤支架刀口的正上方位置，再添加一個質量為x克的砝碼，天平方能平衡，我們看一下x的大小.

對于可繞刀口A轉動的右側天平盤這個變形的杠桿而言，它共受5個力的作用（仍未考慮盤自身的重力）：F1、F2、F3、F4及添加砝碼對其豎直向下的壓力F5（圖中也未畫出），其中的F2、F3和F5三個力的作用線過支點A，對杠桿（天平右盤）的轉動不產生影響，由杠桿平衡條件可得：

F1·4cm=F4·12cm

所以F1=3F4=3G 所以F2=F1=3G

所以F2′=F2=3G

而對饒中間刀口轉動的橫梁來說，由杠桿平衡條件得：

x·10-3 g·5cm=F2′·0.2cm

（兩邊天平盤支架對橫梁豎直向下的壓力相等，其力矩之和為零，故不再考慮）

所以x·10-3 g·5cm=20·10-3 g· 0.2cm

所以x=0.8

已經平衡的天平，當一側的天平盤增添或減少0.8g 的砝碼時，將會對天平橫梁的平衡產生很大的影響，難怪對于“加長”的天平盤，當物體向外移動較大的距離時，已平衡的天平會明顯的失去平衡而向上翹起.

而通常的天平盤都不大，即使將物體或砝碼放在天平盤的邊緣，偏離中心點的距離一般不超過2cm，如果仍用上面的方法計算的話，以20g的砝碼在天平盤中偏離中心點1.2cm為例，為使天平重新平衡，經計算可知，天平盤中心處所增添砝碼的質量僅為0.08g，該數值小于天平的感量0.2g，我們不會明顯看出已平衡的天平會因在盤中移動物體或砝碼位置而失去平衡的現象.

從上面的分析我們可以看出，在制作天平時，如果能保持橫梁上的三個刀口嚴格在一條直線上，即便天平盤做得很大，因兩邊的物體或砝碼沒有放在天平盤的中間位置，而使橫梁受到天平盤支架水平力的作用時，該水平力的作用線也會通過橫梁中間刀口的支點，對橫梁的轉動不會產生絲毫的影響.