從高考試題說有相對運動的連接體模型

石有山

常見的連接體問題，大多是兩個沒有相對運動的連接體，但2016年海南卷考查了一道有相對運動的高考題.

高考真題 （海南卷13）水平地面上有質量分別為m和4m的物體A和B，兩者與地面的動摩擦因數均為μ.細繩的一端固定，另一端跨過輕質動滑輪與A相連，動滑輪與B相連，如圖1所示.初始時，繩處于水平拉直狀態.若物塊在水平向右的恒力F作用下向右移動了距離s，重力加速度大小為g.求

（1）物塊B克服摩擦力所做的功；

（2）物塊A、B的加速度大小.

由于繩子的長度不變，故A前進距離s時，AB間的繩子上面部分長了12s，下面部分短了12s，由于繩的固定端位置不動，B的位移為12s，AB兩物體發生相對運動.

解析 （1）物塊A移動了距離s，則物塊B移動的距離為

s1=12s（1）

物塊B受到的摩擦力大小為

f=4μmg （2）

物塊B克服摩擦力所做的功為

W=fs1=2μmgs（3）

（2）設物塊A、B的加速度大小分別為aA、aB，繩中的張力為T.由牛頓第二定律得

F-μmg-T=maA （4）

2T-4μmg=4maB （5）

由A和B的位移關系得

aA=2aB （6）

聯立（4）、（5）、（6）式得

aA=F-3μmg2m （7）

aB=F-3μmg4m （8）

從上面的高考題可以看出，解決有相對運動的連接體問題，要找到連接體中物體間的位移關系、速度關系和加速度關系，要充分考慮兩物體的受力關系.下面從物體間的運動關系對有相對運動連接體模型進行分類.

模型一 相向運動類

例1 如圖2所示，輕繩連接兩物體m1、m2，已知m1>m2由靜止釋放后，繩中拉力為多大？

運動關系：m1向下加速，m2向上加速，兩物體加速度大小相等，方向相反，在任一時刻速度大小相等，方向相反.

受力關系：由于繩為輕繩，因此繩對m1、m2的作用力大小相同，方向也相同.

解析 對m1：m1g-T=m1a，對m2：T-m2g=m2a，因此a=m1-m2m1+m2g，T=2m1m2m1+m2g.

點評 該實驗裝置可以驗證機械能守恒定律，考查牛頓第二定律等，是物理學常考的基本模型.

模型二 垂直運動類

例2 如圖3所示，A物體的質量是m1，放在光滑的水平桌面上，用輕繩拴系，繩子繞過桌邊的定滑輪后，掛一質量為m2的物塊B，滑輪的摩擦不計，問繩子對A物體的拉力多大？

運動關系：A向右加速，B向下加速，兩物體加速度大小相等，在任一時刻速度大小相等.

受力關系：由于繩為輕繩，因此繩對A、B的作用力大小相同.

解析 A物體和B物塊的加速度大小為a，繩子的張力大小為F，對A物體應用牛頓第二定律得

F=m1a，

對B物體應用牛頓第二定律得m2g-F=ma，

由以上兩式得a=m2gm1+m2，

繩子的拉力F=m1m1+m2m2g.

點評 利用該裝置常考驗證牛頓第二定律實驗，由連接體模型可以看出繩的拉力不等于B的重力，二者近似相等是有條件的.

模型三 動滑輪關聯類

例3 如圖4所示，在光滑斜面上，AB兩物體通過一個定滑輪N和動滑輪M相連，已知A向上加速，B向下加速，AB兩物體的質量分別是m1m2，滑輪質量不計，求繩作用于AB的力分別多大？

運動關系：由圖示關系可知，當A上滑距離s時，B下落距離為2s，因此在任一時刻vA=2vB，aA=2aB.

受力關系：考慮到滑輪M質量不計，因此有繩子作用于A、B兩物體的作用力關系為FA=2FB.

解析 由圖示關系可知，當A上滑距離s時，B下落距離為2s，因此在任一時刻vA=2vB，aA=2aB.

考慮到滑輪M質量不計，因此有繩子作用于A、B兩物體的作用力關系為FA=2FB.

對A：FA-m1gsinθ=m1aA，對B：m2g-FB=m2aB，解得aB=2m2g-m1gsinθ2（m1+m2）， FB=2m1m2g+m1m2gsinθ2（m1+m2），FA=2m1m2g+m1m2gsinθ（m1+m2）.

點評 該題為海南高考試題的變式，屬于一類重要模型，分析受力關系和運動關系是解決問題的關鍵.

模型四：追及和相遇類

例4 如圖5所示，兩質量相等的物塊A、B通過一輕質彈簧連接，B足夠長、放置在水平面上，所有接觸面均光滑.彈簧開始時處于原長，運動過程中始終處在彈性限度內.在物塊A上施加一個水平恒力，A、B從靜止開始運動到第一次速度相等的過程中，下列說法中正確的有

A.當A、B加速度相等時，系統的機械能最大

B.當A、B加速度相等時，A、B的速度差最大

C.當A、B的速度相等時，A的速度達到最大

D.當A、B的速度相等時，彈簧的彈性勢能最大

受力特點：彈簧彈力逐漸增大，對A是阻力，對B是動力

運動特點：A做加速度逐漸減小的加速運動，B做加速度逐漸增大的加速運動，如圖6所示，當t=t1時，aA=aB；當taB；當t>t1時，aAvB.

解析 對A、B在水平方向受力分析如圖6，F1為彈簧的拉力；當加速度大小相同為a時，對A有F-F1=ma， 對B有F1=ma，得F1=F2，在整個過程中A的合力（加速度）一直減小而B的合力（加速度）一直增大，在達到共同加速度之前A的合力（加速度）一直大于B的合力（加速度），之后A的合力（加速度）一直小于B的合力（加速度）.兩物體運動的v-t圖象如圖，t1時刻，兩物體加速度相等，斜率相同，速度差最大，t2時刻兩物體的速度相等，A速度達到最大值，兩實線之間圍成的面積有最大值即兩物體的相對位移最大，彈簧被拉到最長；除重力和彈簧彈力外其它力對系統正功，系統機械能增加，t1時刻之后拉力依然做正功，即加速度相等時，系統機械能并非最大值，選項B、C、D正確.

點評 一條直線上的A、B兩物體的距離發生變化，屬于追及和相遇問題.兩物體的加速度時刻變化，利用該裝置可以考查牛頓的第二定律、機械能等.

模型五：速度分解類

例5 在圖7中，若物體B在水平恒力F作用下向左運動，使物體A保持勻速上升，那么在運動過程中

A.物體B受到的合外力不斷增大

B.地面摩擦力不斷增大

C.繩的拉力不斷增大

D.物體B也作勻速運動

運動特點：B物體的速度分解圖如圖8所示，由圖可知vB=vAcosθ，θ減小，vA不變，因此vB減小.

受力特點：A物體受兩個力，即繩的拉力和A的重力，B物體受力圖如圖9所示.

解析 根據vB=vAcosθ，θ減小，vB減小，B物體做向左的減速運動，加速度方向向右，選項D錯誤；由于A物體勻速上升，因此繩的拉力FA=mAg，恒定不變，選項C錯誤；考慮到B物體在豎直方向的受力平衡FAsinθ+FN=mBg，當B向左運動時，θ減小，因此FN增大，地面摩擦力不斷增大，選項B正確；B的水平方向F合=Ff+FAcosθ-F，因此物體B受到的合外力不斷增大，選項A正確.選項A、B正確.

點評 本題的連接體問題牽涉到運動的合成與分解，利用速度的分解，判斷速度的變化，從而得到加速度的方向是解決問題的關鍵.