關于運動分解的幾個實例分析

姜彩連

在學習必修二第五章曲線運動時常常會遇到關于繩末端速度分解的類型題，有的老師也把這類問題叫做關聯運動，關鍵問題就是在繩拉動下物體運動的分解，通過沿繩方向速度大小相等找出繩子連接的兩個物體的速度關系.那么關于物體運動的分解都應該遵循怎樣的規律呢.筆者在這里總結一二.

1 基本類型分析

例1 如圖1所示，做勻速直線運動的小車A通過一根繞過定滑輪的長繩吊起一重物B，設重物和小車速度的大小分別為vB、vA，則

A.vA>vB

B.vA

C.繩的拉力等于B的重力

D.繩的拉力大于B的重力

解析 小車A向左運動的過程中，小車的速度是合速度，可分解為沿繩方向與垂直于繩方向的速度，關聯速度起源于不可伸長的繩或桿上，盡管兩端點的速度不同，但兩端點速度沿繩或桿方向的分速度一定相同.如圖2所示，由圖可知vB=vAcosθ，則vB

在學習中，學生會有一些困惑，第一，為什么分解的是小車的速度而不是繩的速度，也常常在作題時不清楚究竟分解誰；第二，根據平行四邊行定則，已知一個合運動求它的兩個分量是有無數種情況的，為什么一定是沿繩和垂直于繩呢？如果說是按效果分解，那么這兩個效果又是什么呢？

首先我們要先清楚什么是物體的合運動和分運動，物體同時參與了兩個實際獨立存在的運動，這兩個分運動所造成的物體的運動效果就是物體的合運動.通常以地面為參考系，那么最后的合運動就是物體相對地面的運動.在例1中A車相對地面的運動是水平向左的，所以，它水平向左的速度vA就是它的合運動，可以被分解.

其次，運動的效果是有很多種不同情況，如果說成按照解決問題的需要來分解可能更確切些，比如說例1中A車是通過繩與B車連接，由于在不可伸長的繩方向速度相等，B的速度是沿繩的，所以對于A車的運動分解為兩個分運動，其中一個方向就是沿繩方向，A車也就是繩末端還參與了哪個運動呢？我們發現滑輪左側的繩除了沿繩方向在伸長之外還在順時針轉動，繩末端轉動速度應與繩（半徑方向）垂直.那么兩個分速度的方向便確定了——沿繩方向與垂直繩方向.與繩末端相連的物體，如果其運動不沿繩的話，往往就要把它的合運動向這兩個方向分解.

解決該類問題的關鍵就是要冷靜的找出物體相對地面的運動是什么，也就是合運動，再確定兩個分運動的方向，通過沿繩方向運動來關聯，就可以找出兩端物體運動關系了.

辨析1 如圖3所示，用一根長桿和兩個定滑輪的組合裝置來提升重物M，長桿的一端放在地上通過鉸鏈聯結形成轉軸，其端點恰好處于左側滑輪正下方O點處，在桿的中點C處拴一細繩，繞過兩個滑輪后掛上重物M.C點與O點距離為l.現在桿的另一端用力.使其逆時針勻速轉動，由豎直位置以角速度ω緩緩轉至水平位置（轉過了90°角），此過程中下述說法中正確的是

A.重物M做勻速直線運動

B.重物M做勻變速直線運動

C.重物M的最大速度是ω1

D.重物M的速度先減小后增大

解析 由題知，去除其它裝置，C點的對地運動是圓軌跡，所以它的速度大小為vC=ωl，設vC與繩之間的夾角為θ，因為M的運動是沿繩的，所以把vC沿繩和垂直繩方向分解可得，v繩=vCcosθ，在轉動過程中θ先減小到零再反向增大，故v繩先增大后減小，重物M做變加速運動，其最大速度為ωl，C正確.

辨析2 A、B兩物體通過一根跨過定滑輪的輕繩相連放在水平面上，現物體A以v1的速度向右勻速運動，當繩被拉成與水平面夾角分別是α、β時，如圖4所示.物體B的運動速度vB為（繩始終有拉力）

A.v1sinα/sinβ

B.v1cosα/sinβ

C.v1sinα/cosβ

D.v1cosα/cosβ

解析 物體B的運動速度為vB，此速度為物體B合運動的速度，根據它的實際運動效果兩分運動分別為：沿繩收縮方向的分運動，設其速度為v繩B ；垂直繩方向的圓周運動，速度分解如圖5甲所示.

則有 vB=v繩B cosβ （1）

物體A的合運動對應的速度為v1，它也產生兩個分運動效果，分別是：沿繩伸長方向的分運動，設其速度為v繩A ；垂直繩方向的圓周運動，它的速度分解如圖5乙所示.

則有 v繩A =v1cosα （2）

由于對應同一根繩，故

v繩B =v繩A （3）

根據（1）、（2）、（3）式解得：

vB=v1cosα/cosβ

選項D正確.

辨析3 如圖6，人沿平直的河岸以速度v行走，且通過不可伸長的繩拖船，船沿繩的方向行進，此過程中繩始終與水面平行.當繩與河岸的夾角為α，船的速率為

A.vsinα B.

vsinα C.vcosα D.vcosα

解析 題中已知，船的運動方向是沿繩的，所以不用分解，人的那端點沿河岸向右，很顯然不沿繩，所以將人的運動分解為沿繩方向的分運動v1和與繩垂直方向的分運動v2，如圖7所示.船的速率等于沿繩方向的分速度v1=vcosα，C正確.

2 是不是所有用繩相連的物體運動分解都是沿繩和垂直于繩

我們來看下面這道例題：

例2 圖8所示，一塊橡皮用細線懸掛于O點，用釘子靠著線的左側，沿與水平方向成30°角的斜面向右以速度v勻速運動，運動中始終保持懸線豎直，下列說法正確的是

A.橡皮的速度大小為2v

B.橡皮的速度大小為3v

C.橡皮的速度與水平方向成60°角

D.橡皮的速度與水平方向成45°角

解法一 兩個分運動是獨立存在的，不相互影響.從沿繩方向上看，繩子在縮短，且縮短的速度等于釘子沿斜面運動的速度（繩子長度不變）；如果繩子不縮短，物體的運動是沿斜面斜向上運動.也就是釘子沿斜面勻速運動時，橡皮具有向上的分速度v，同時具有沿斜面方向的分速度v，根據運動的合成可知，橡皮的速度大小為3v，速度與水平方向成60°角，選項B、C正確.

解法二 對物體的運動做水平豎直方向的正交分解，那么水平方向的速度vx=vcos30°

豎直方向：vy=v+vsin30°

v合=v2x+v2y

設v合與x軸方向夾角為θ，則有vy/vx=tanθ

可以解出v合=3v tanθ=3， 即θ=60°

3 在其它很多情況下我們都會用到運動的合成分解，關鍵在于抓住對地運動也就是合運動是什么運動，才能確定各運動之間的關系.

例3 寬9 m的成型玻璃以2 m/s的速度連續不斷地向前行進，在切割工序處，金剛割刀的速度為

10 m/s， 為了使割下的玻璃板都成規定尺寸的矩形，則：

（1）金剛割刀的軌道應如何控制？

（2）切割一次的時間多長？

（3）所生產的玻璃板的規格是怎樣的？

解析 題目中提到“金剛割刀的速度為10 m/s”通常情況下默認的參考系為地面，所以10 m/s就是割刀的合運動的速度.要保證割出的玻璃都為矩形，那么在沿玻璃板前進方向的分運動的速度與玻璃板的速度應該相等，這樣在玻璃板上的割痕才能垂直玻璃，即割出的玻璃板都成規定尺寸的矩形.

（1）設割刀的速度v的方向與玻璃板速度v1的方向之間的夾角為θ，如圖9所示，要保證割下的是矩形的玻璃板，則由v是合速度得v1=vcosθ，

所以cosθ=v1v=15，

即θ=arccos15，

所以，要割下矩形玻璃板，割刀速度方向與玻璃板速度方向夾角θ=arccos15.

（2）切割一次的時間：

t=dvsinθ=910×1-125s=0.92 s.

（3）切割出的矩形玻璃板的規格為：

長度：d=9 m，

寬度：l=v1t=2×0.92 m=1.84 m.

關于合運動的判斷，需要確定研究對象的以地面為參考系的運動.例如，高H處一激光發射器發射激光，同時以角速度ω轉動，如圖10當激光束與地面成θ時，光點沿地面的速度是光點的合運動，分運動為沿光線和垂直光線.則有

vsinθ=ωH/sinθ

辨析4 如圖11所示，長為L的直棒一端可繞固定軸O轉動，另一端擱在升降平臺上，平臺以速度v勻速上升，當棒與豎直方向的夾角為α時，棒的角速度為

A.vsinαL B.vLsinα

C.vcosαL D.vLcosα

解析 棒與平臺接觸點的實際運動即合運動，棒端點的運動軌跡為圓軌跡所以速度方向是垂直于棒指向左上，大小為ωL.它的兩個分運動一個是隨平臺以速度v向上勻速上升，另一個則是沿平臺向左運動，所以合速度沿豎直向上方向上的速度分量等于v，即ωLsinα=v，所以ω=v/Lsinα.

本題答案為B.

4 運動的合成分解不僅僅包括速度的合成分解，運動的其它參量，比如加速度、位移都可以根據平行四邊形的規律進行分解或合成的.

例4 如圖12所示，將一傾角為 θ=37°板狀斜面體豎直固定在水平地面上，另一 “Π”型物體B緊靠在斜面體上，且能在水平面上自由滑動而不會傾斜，一根光滑細圓柱體A放在B的豎直面和斜面之間.現用水平外力推動B使其以加速度a=4 m/s2水平向右做勻加速直線運動，同時B推動A沿斜面向斜向上運動.不計所有摩擦，g=10 m/s2. （sin37°=0.6，cos37°=0.8），試求圓柱體A的加速度；

解析 由于斜面體固定不動，故A的合加速度方向沿斜面向上，其水平向右的分加速度和B的加速度相同，由圖13中幾何關系可得

a=aAcosθ

aA=5 m/s2

總的來說，解決問題的關鍵要抓住問題的本質，運動的合成分解，要認清兩點，一是誰是研究對象，也是同學們在解題過程中易混淆的地方，所以要值得注意.二是研究對象的合運動是誰，同學們在解決相關問題時往往受到其各個分運動的影響，這時要仔細觀察，排除干擾素，找出研究對象以地面為參考系的運動就是合運動.既然是運動的合成分解，就不能停留在速度的合成與分解，它的另外兩個參量加速度、位移也可以按照平行四邊形定則進行合成與分解.