以求點軌跡方程為例探究高中數學解題中對九項循證策略的有效應用

福建省泉州市晉江市磁灶中學(362214)

汪水勇●

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以求點軌跡方程為例探究高中數學解題中對九項循證策略的有效應用

福建省泉州市晉江市磁灶中學(362214)

汪水勇●

九項循證策略在高中數學教學中具有重要的運用價值，能能夠有效地提高學習效果、效率及效益，實現教學的有效性.本文以高中數學“求點軌跡方程” 教學為例，探究高中數學解題中對九項循證策略的有效應用.

高中數學;軌跡方程;九項循征策略

九項循證策略是在2001年形成的一個十分獨特的理論，該理論的成熟時間在2012年，該理論體系還是比較年輕的.最早將該理論提出的是美國中部教育研究和學習實驗室的多年試驗成果.

一、九項循證策略的意義

九項循證策略的主要九項關系分別是：第一是目標及反饋，二是努力及認可，三是合作學習，四是線索，問題及先行的組織者，五是非評議的表達，六是概括以及記錄，七是家庭作業及練習，九是對相似問題的區別進行分辨，形成自身的想法最終驗證.

二、九項循證策略在點軌跡方程教學實踐中的運用

1.營造環境

教師首先需要告知學生，學生所學習的這一部分的重要目的，并且給出十分明確的學習目標，幫助學生對其中的重難點進行了解.

2.理解知識運用知識

對原有的知識進行回顧，回憶自己曾經學過的和本節課的聯系相關的知識，在教材內對解題的步驟實行規范，曲線方程以及點的軌跡方程為基本的數學思想，對相應部分的練習進行增加，確保學生能夠在練習中對公式進行理解并實現使用.

設計的主要策略為：在開展設計中，對漸進形式問題的提出要格外注意，通過問題給出學生理解的線索，利用問題促進學生的思考.

a.教材在推導橢圓方程中，是通過建系、設點、列出關系和代入及簡化這幾項基本步驟實現推導的，此外還是這節課中的基礎和拓展點，尤其在設點、列關系式和代入中可能會遇到難點，在這一節課中的主要學習內容需要進行關注.

b.在△ABC中，若是A(-1,0),B(1,0),C(1,2)，可以得知AB⊥BC，那么kABkBC=-1，這一說法對么？若不對，則給出理由.

c.A(-1,0),B(1,0)，平面內的P到A、B兩點的距離之和是2，那么P點的軌跡就是以A、B為焦點的橢圓，對不對？若是不對，則給出理由.

整個設計策略，線索問題及先行的組織者.詳細的來說就是在一節課開始前，要采用線索、問題和先行組織者，促進學生聚焦于即將開展的學習重點上，加強學習的動機.借助問題(1)來對學生進行引導促使學生對本節課的內容實行關注，隨后將推斷性的問題實行提出，從而來提升學生運用原有知識的能力，激發學生的興趣以及學習動機.

(1)直接法求出軌跡方程

變式1 設點A、B的坐標分別是(-1,0)和(1,0).直線AM、BM相交于點M，并且它們的斜率商是2，求出點M的軌跡方程.

變式2 點P和定點F(2,0)的距離及它到定直線x=8 距離之比是1∶2，隨后求出點P點軌跡方程，并且說出軌跡的圖形是什么.

變式1和變式2之間的共同點在于采用直接法求出軌跡方程的基本步驟.并且變式1幫助突破了設點中的范圍確定的方式這一難點.變式2處理采用直接法對步驟強化，同時還根據學生的情況選擇運用橢圓的第二定義求解.

在上述的例1中可以引導學生通過在斜率下畫線作為標記，并且引導學生畫線的目的，引導學生對相應的概念進行聯系.斜率必須存在，因此點M(x,y)的橫坐標無法和A、B兩點的橫坐標相同，也就是x≠±5.

(2)定義法求出軌跡方程

例2 已知△ABC的周長是16，點B(-3,0),點C(3,0)，求出A的軌跡方程.

變式1M為平面內的任意一個點，若M(x,y)在點的運動過程中，滿足下面關系式：

變式2 已知一定圓的方程A：(x+1)2+y2=16，其圓心是A，動圓M過點B(1,0)并且和圓A相切，動圓的圓心M的軌跡標記為C，求出曲線C的方程.

變式3 如圖，圓O的半徑長度是r，A是圓O中的一個定點，P屬于圓上的任意一個點.線段AP的垂直平分線l與半徑OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？

設計思路 對定義法求出軌跡方程的基本步驟進行掌握.例2是定義法最為直接的體現，變式1和變式2的變化都是比較簡單和直接的，可以促進學生對關系的進一步認識和鞏固，變式1是對例2集合關系的代數翻譯，變式1將橢圓的定義關系采用兩圓相切來構建，變式3 的問題情境實行了更新，增加了思維量，目的是要對定義法的遷移使用進行促進，點Q的軌跡將會成為雙曲線，為以后的課程開展打下基礎.

(3)相關點對軌跡方程的求解

變式1 在圓x2+y2=4上任意取一點P，并且過該點做y軸垂線段PD，且D為垂足.點P在圓上運動的時候，線段PD的中點M的軌跡是什么？

變式2 在圓x2+y2=4上任意取一點P，該點關于直線y=x+1的對稱點為M，點P在圓上運動時，M的軌跡是什么？

掌握相關點求出軌跡方程的基本步驟，變式1和例題比較類似，變式1是將例3中的已知點的軌跡和要求的點的軌跡做了交換，變式1就是將例3中的x軸變成了y軸.這樣實現了知識運用的遷移.

三、九項循證策略在點軌跡方程解題中的運用

將上述式子①兩邊都平方后，簡化得到了x2+y2+2x-3=0②.

化成標準式子后是：(x+1)2+y2=4

因而所求的方程②代表的曲線是以C(-1,0)為圓心，半徑是2的圓.

點評 從題目匯總可以知到兩個定點的距離比是常數的軌跡為圓(這個比不是0也不是1).在實際的練習中要記住各個曲線的特點，這樣帶來較大的方便.在對問題進行解答前，要對題目的解法進行判斷和掌握，要確定題目的思路是比較接近哪個方向的，如此在開展更多的相似練習中就可以掌握最基本的最好的解題方法.

九項循證策略是一種十分優良且有效的教學思想，該策略是借助對學生學習產生影響的九個因素展開針對性指導，實現對學習成績和解題能力的提升，從而提升學習質量，這對目前的高中數據教育而言是有著十分強大的指導意義的.

[1]課程教材研究所. 20 世紀中國中小學課程標準·教學大綱匯編 (歷史卷)[G]. 北京： 人民教育出版社,2001.

[2]杭秀，盛群力.做循證教學研究的新范例馬扎諾和迪安的有效教學九項循策略[J].課程教學研究,2013.8

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