數學實驗在開放數學課程教學中的應用*

趙舜

數學實驗在開放數學課程教學中的應用*

趙舜

（無錫開放大學，江蘇無錫214011）

文章針對開放數學課程教學中的不足，以《微積分初步》課程為例，闡述了在教學中引入數學實驗，促進教學目標的實現，并給出了教學模式的設計方案。數學實驗由數學實驗任務和數學實驗工具兩部分構成，前者由教師設計，用以引導學生學習和考核學生，后者作為學習工具提供給學生使用。為了適應遠程開放教育的需要，還需要借助數學軟件構建虛擬數學實驗室，為遠程操作數學實驗提供支持。

數學實驗；開放數學課程；應用

一、開放數學課程教學現狀和不足

開放教育是為了大眾的教育，是讓人人享有終身接受教育的權利。中國的開放教育原本以電視為載體，隨著計算機技術的發展，開放教育也已經轉型為以計算機、網絡為載體的教學模式。然而這樣的改變并未對開放數學課程的教與學產生實質影響。

以開放數學課程《微積分初步》為例，《微積分初步》是國家開放大學“人才培養模式改革和開放教育試點”數控技術等專業的一門必修的重要基礎課程[1]。通過本課程的學習，使學生對微分、積分有初步認識和了解，使學生初步掌握微積分的基本知識、基本理論和基本技能，并逐步培養學生邏輯推理能力、自學能力，較熟練的運算能力和綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力，為學習其他專業課程和今后工作的需要，打下必要的基礎。

該課程目前已經成功地完成了網絡化，即通過網絡傳遞教學資源，通過網絡BBS進行教學討論，通過網絡完成形成性考核。但是這些改變并沒有改善教學效果，其原因分析如下。

一是教學資源沒有較大變化。該課程的網絡學習平臺上存放的電子稿件，原本大都是紙質的，平臺上存放的視頻資源，雖為新錄制的，但其模式依然是一個人一份講稿，和原本的電視教學模式類似。從教學資源上沒有能充分展示計算機技術的優勢。

二是成人學生時間少、基礎差、自主學習能力低。該課程當前的教學對象多以成人為主。這些學生大部分承擔著三份責任：家庭、工作、學習，其中學習時間很容易被其他兩者擠占，學習時間被碎片化；其次，這些學生的數學功底不扎實，基礎數學知識掌握得不到位，而本課程是屬于高等數學部分，其概念更抽象，接受難度更大；第三，成人學生受傳統教學模式影響，對缺少教師的自主學習模式不適應。

三是學習反饋信息不及時、不到位。開放教育中，學生和教師分離。學生在學習過程中獲得的反饋太少。學生在學習中產生的問題，需要通過面授課或者網絡BBS討論才有可能得到解決。這樣的學習反饋周期太長，不利于學生的學習。而基于網絡的形成性考核，也僅能向學生顯示一個成績，至于每次的練習為何錯，學生也無從得知，這對學習毫無幫助。

可見，雖然課程已經“搬”到了網絡上，但是教學模式未變，學生的學習效果并未有明顯改善，所以在進行教學時必須引入新的教學手段。

二、數學實驗的發展和現狀

（一）計算機技術給數學實驗帶來了新的生命力

隨著計算機技術的發展，借助計算機軟件進行數學實驗成為了新事物。它以數學理論為基礎，以數學軟件為工具，對數學知識進行探索研究。借助計算機技術，學生在進行數學實驗時，可以擺脫繁瑣而又枯燥的操作和數值計算，更快地得到實驗結果，進而可以做出更多的假設和猜想，進行更多次的嘗試，從中獲得更多的發現。1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯利用計算機實驗解決了存在一百多年的世界難題“四色猜想”[2]。

（二）數學實驗在國內外的發展現狀。

目前國內外許多知名大學都建設有自己的數學實驗室，為學生提供實驗環境，并專門開設了數學實驗的課程。如美國大學在20世紀80年代就提出了將計算機數學實驗引入數學教學。美國的M ountH ol yoke Col l ege于1989年開設了數學實驗課，也稱為數學實驗室。我國從1995年起，在數學高等教育的改革中，已經將數學實驗作為數學類專業的主要課程和理科非數學類專業的基礎課程。清華大學、北京航空航天大學、中國科技大學等國內知名高校，都建設了具有特色的數學實驗室。部分高職院校，為了提升學生實踐能力，也建成了一批規模較小的數學實驗室，有了一定的成功經驗[3]。

三、數學實驗能輔助開放數學課程教學完成教學目標

（一）數學實驗可以提高學生的興趣，從根本上提升學生學習的動力

在數學實驗中，學生能通過圖像和動畫等直觀形式來了解數學概念和結論，要比單單通過閱讀文字描述獲得的記憶更為深刻。另外通過數學實驗來學習數學的概念和結論時，要求學生觀察、動手和思考，使學習感受更為具體，對數學知識的認知也更明確，整個過程也更有趣。興趣是學習最好的老師。當學生產生了興趣，那么主動地參與學習也就不再是問題。

（二）數學實驗可以培養學生的自主學習的能力

數學實驗應由教師根據教學目標來設置實驗任務，引導學生一步一步地嘗試和探索，從而去發現數學概念、性質、定理，達到學習的目的。在教師設置好任務后，學習的主導權交到學生手里。學生根據任務要求去操作，對操作結果進行分析整理歸納判斷，最后完成實驗任務。整個過程學生與教師是不需要交流的，所有的決定和判斷都是由學生親自完成，學生真正成為學習的主體，從而提高了自己的自主學習能力。

（三）數學實驗可以培養學生解決問題的能力

數學概念和結論都是從現實生活中抽象、總結出來的，而其最終的目的是解決生活中的實際問題。數學實驗正好能創造這樣的機會，通過讓學生觀察、動手、思考判斷，讓學生經歷發現問題、分析問題和解決問題的過程，為學生積累經驗，從而提升解決問題的能力。

四、引入數學實驗的開放數學課程教學模式設計方案

目前開放課程的教學模式主要包含六項：一是教師選擇教學參考書籍，學生閱讀；二是教師錄制教學視頻，學生觀看；三是教師準備面授課，學生參與并提問獲取解答；四是學生提交作業，教師進行評閱；五是教師上傳學習資料到學習平臺，學生上網通過學習平臺獲取資料；六是教師和學生通過BBS進行實時和非實時的討論答疑。

將數學實驗內容引入課程后，教學模式中增加了兩項：數學實驗任務和數學實驗工具（見下頁圖1）。

圖1 引入數學實驗后的教學模式結構圖

（一）數學實驗與數學工具的基本功能

數學實驗任務需要教師進行設置，由學生完成。數學實驗任務的目的：一是指導學生如何使用數學實驗工具，對于剛接觸數學實驗室的同學，使用說明是必不可少的，這些操作方法就可以通過實驗任務要求逐步指導學生去操作完成，進而熟悉對數學實驗工具的使用；二是可以作為對學生學習考核的一種方式，即對學生完成實驗程度進行打分，作為一項平時成績。

數學實驗工具是為學生在平時學習時提供幫助。當學生通過實驗任務掌握實驗工具的使用方法之后，學生即可在學習中自行使用。例如遇到函數極限問題時，可以借助實驗工具快速地繪制出函數圖像，并調整函數的顯示范圍，觀察圖像得出結果。另外開放教育大多數時間是在進行異步學習，這就有個問題，學生得不到及時的學習反饋。學習反饋的研究表明，及時進行學習反饋有助于改進學習，提高學習效率[4]。學生在學習中遇到的問題，可以立刻進行數學實驗，實驗會給出結果，根據結果學生可以作進一步的猜想假設，然后繼續實驗。通過反復的猜想和實驗，學生可以很快地解決問題，且印象深刻，這比向教師提問更有效。

（二）數學實驗任務的設計

1.合理選擇實驗內容

（1）函數極限部分。設計觀察性實驗，利用計算機軟件繪制有代表性的函數圖像，通過不斷地擴大取值范圍，要求學生觀察函數圖像的變化，得出結論。

（2）函數的連續性。設計驗證性實驗，考察函數的左右極限，利用函數極限與函數連續性的關系，驗證已知函數的連續性。

（3）導數及其應用部分。導數的定義部分，設計觀察性實驗，由割線向切線轉變的過程，以此演示導數中的極限概念。導數的應用部分，如導數與函數的單調性關系，設計驗證性實驗。

（4）定積分及其應用部分。設計觀察性實驗，通過計算機演示，讓學生體會定積分定義中的“分割—近似—求和—取極限”的思想。

具體制定的數學實驗內容如表1所示。

表1 以《微積分初步》課程內容為基礎的數學實驗

2.合理設計實驗任務

在設計實驗任務時，因將每一個任務內容細化。這樣有三點好處。一是任務細化后，所需要花費的時間減少，這就適應了開放教育學生基礎薄弱，學習時間少且分散的特點；二是任務細化后，任務的目的就明確，更能讓學生體會用意；三是任務細化后，操作簡單，便于指導學生操作實驗工具。

大部分地市級傳統媒體還是參照行政化管理模式，專業人才的入編招聘按事業單位統考方式，缺乏人力資源有效合理配置機制，在薪酬分配和績效考核等方面，新媒體部門的管理系統也不夠完善成熟，有的績效考核長期拿傳統媒體崗位做參照系，同工不同酬現象普遍存在。由于體制束縛、機制僵化，一方面新媒體部門人才流失嚴重；另一方面，在傳統媒體崗位人員又新媒體素養不夠，難以有效為新媒體發展輸送優秀人才，導致媒體融合步伐緩慢。

圖2 函數局部圖像

圖3 函數局部圖像

圖4 函數局部圖像

圖2、圖3、圖4是借助實驗工具幾何畫板(TheGeom et er’sSket chpad)V5.06繪制。

通過三步任務的設置，首先三次作圖和改變區間的練習，能鞏固學生觀察函數極限的方法；其次通過要求學生逐步完成任務，讓學生認識到在時，是無窮小量，si nx是有界量，它們的積依然是無窮小量，從而掌握“無窮小量與有界量的積是無窮小量”這一性質。

3.數學實驗環境的建立

為了進行數學實驗，需要實驗室。通常數學實驗需要的工具包括三角尺、圓規、白板、幾何體實物模型、平擺線實物模型等。而如今的計算機軟件從功能上已經可以替代這些傳統工具。且針對開放教育的特點，計算機實驗比起實物實驗更適合遠程教學。所以，作為一個針對開放教育的數學實驗室需要具有以下特點。

（1）實驗室是基于互聯網的虛擬數學實驗室

開放教育具有遠程教育的特點，其教學模式是學生通過遠程媒體進行自主學習，以前是通過電視，現在計算機技術發展后，大都是通過互聯網進行學習。學生除了一學期僅有的幾次面授課外，沒有更多的時間到學校來參與別的教學活動。所以，適應開放課程的數學實驗室不會是實體實驗室，而是基于互聯網的虛擬數學實驗室。

基于互聯網的虛擬數學實驗室具有互聯網的特性。在時間與空間上比起實體實驗室有更多的優勢。學生可以在任何時間任何地點，通過客戶端（瀏覽器）訪問虛擬數學實驗室，進行實驗操作。如今的智能手機、平板電腦等移動設備的技術發展成熟，且攜帶方便。這讓學生更方便地進入實驗環境，參與到實驗中。

（2）虛擬數學實驗室需要數學軟件來模擬替代實物實驗

目前當前的數學軟件較多，主要以數值計算、繪圖為主。下面列舉兩類常用的軟件。

（1）以MATLAB為代表的大型計算軟件

MATLAB是matrix laboratory的縮寫。MATLAB是由美國MathWorks公司開發的大型科學計算軟件。它在數學類科技應用軟件中在數值計算方面首屈一指。MATLAB具有強大的數值計算和符號計算功能，擁有龐大而齊全的數學函數庫，能幫助用戶擺脫復雜的數學運算分析[5]。它具有完善的圖形處理能力與集成環境，融計算、可視化和編程功能于一體。豐富的工具箱，讓用戶使用起來更簡便。與MATLAB同類的還有mathem atica和maple，他們被合稱為三大數學軟件。

（2）以輔助數學教學為目的的教學軟件

幾何畫板（The Geomet er's Sketchpad）軟件是由美國Key Curriculum Press公司制作并出版的優秀教育軟件，1996年該公司授權人民教育出版社在中國發行該軟件的中文版。它適用于數學、物理等學科，能夠實現動態作圖、函數作圖等功能，能動態展示幾何對象之間的位置關系和動態變化。與之類似的還有《Z+Z超級畫板》，是由佛山教育局的張景中教授主持的數學智能教與學平臺綜合應用與實踐項目開發研制的數學教學輔助軟件。

在構建虛擬數學實驗室時，可以將數學軟件部署在服務器上，讓學生通過客戶端進行訪問操作，從而替代實物實驗，實現遠程實驗的目的。

五、結束語

將數學實驗引入數學教學是必然趨勢。利用數學實驗輔助開放數學教學是一種新的教學模式。通過數學實驗對數學概念的直觀的展示、演繹和驗證，幫助學生真正理解抽象的數學概念，并培養學生發現問題、分析問題和解決問題的能力，從而讓開放數學課程教學真正完成教學任務。

［1］趙堅，顧靜相．微積分初步［M］．北京：中央廣播電視大學出版社，2006．

［2］韓明．將數學實驗的思想和方法融入大學數學教學［J］．大學數學，2011(4)．

［3］沈澄．國內外數學實驗教學的現狀及對高職數學課程建設的啟示［J］．職教通訊，2014(15).

［4］張大均．教育心理學［M］．2版.北京：人民教育出版社，2003．

［5］章紹輝．數學建模［M］．北京：科學出版社，2010．

G728

A

1008-7656（2016）04-0057-06

趙舜，無錫開放大學講師，研究方向：數學與應用數學。

［責任編輯 王偉］

無錫市教育科學“十二五”規劃2014年度課題“服務于‘微積分初步’課程教學的虛擬數學實驗室的建設研究”（編號：J/ D/2014/031）

2016-03-21