學(xué)好幾何從明晰幾何概念開(kāi)始
——記“平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）”中部分概念

范船良

學(xué)好幾何從明晰幾何概念開(kāi)始
——記“平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）”中部分概念

范船良

幾何是數(shù)學(xué)中的一個(gè)分支，它將引領(lǐng)我們正確地識(shí)別圖形，進(jìn)一步了解和掌握?qǐng)D形的更多性質(zhì)，更重要的是它將提升我們的空間想象能力和嚴(yán)密的邏輯推理能力，這是我們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)中不可或缺的一面.幾何概念是指人們思維中對(duì)幾何圖形的認(rèn)知（它包括定義、公式、結(jié)論等）.有些同學(xué)對(duì)幾何問(wèn)題判斷不準(zhǔn)，思維混亂，推斷說(shuō)理無(wú)根無(wú)據(jù)，其根本原因是因?yàn)闆](méi)有學(xué)好幾何的基本概念.因此要學(xué)好幾何，一開(kāi)始就要十分重視概念的學(xué)習(xí).接下來(lái)，就以“平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）”中部分概念為例談?wù)勅绾蚊魑鷰缀胃拍睿云鸬绞痉兜淖饔?

一、學(xué)習(xí)幾何概念首先要能正確地?cái)⑹鱿嚓P(guān)的定義，此時(shí)要善于摳字眼、抓主干

1.要摳字眼，抓關(guān)鍵詞.例如，互補(bǔ)角、鄰補(bǔ)角的關(guān)鍵詞是“補(bǔ)”，補(bǔ)成一個(gè)平角（只要補(bǔ)成180°即可），而其中的“鄰”則又有了對(duì)位置上的要求.又如平角的關(guān)鍵詞是“角”，角是有頂點(diǎn)的.

再如平行的關(guān)鍵詞是“平”，平是指兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi).

例1下列說(shuō)法中，正確的是（）.

A.互補(bǔ)的兩個(gè)角若相等，則這兩個(gè)角都是直角

B.直線是平角

C.不相交的兩條直線互相平行

D.和為180°的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角

【正解】A.

2.句子的主干部分就是概念的要點(diǎn)，如“點(diǎn)到直線的距離”可以把句子劃分為：（①?gòu)闹本€外一點(diǎn)到這條直線的）（②垂線段的）長(zhǎng)度叫作（③點(diǎn)到直線的）距離.句子的主干部分就是概念的要點(diǎn)，即“長(zhǎng)度叫作距離”.再?gòu)拈L(zhǎng)度與距離的定語(yǔ)可明確什么樣的（①、②）長(zhǎng)度叫作什么樣的（③）距離.

例2判斷：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短，把這條垂線段叫作這點(diǎn)到這條直線的距離.（）.

【正解】×.

二、學(xué)習(xí)幾何概念要能用字母和符號(hào)表示圖形的名稱、關(guān)系，反映出概念的本質(zhì)

例如，在碰到角平分線時(shí)，寫出OC是∠AOB的平分線的式子：∠AOC=∠BOC=而更容易理解和掌握.

例3下列說(shuō)法中正確的是（）.

A.在∠ABC一邊的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D

B.延長(zhǎng)直線a、b交于點(diǎn)C

C.反向延長(zhǎng)∠AOB的平分線

D.已知線段AB=10 cm，在AB上取一點(diǎn)C，使AC=7 cm，CB=4 cm

【解析】∠ABC一邊本身就是射線，可向一方無(wú)限延伸，不需要延長(zhǎng).而D中的畫(huà)圖語(yǔ)句與兩線段的和不相符，不可操作.故選C.

另外，還要善于分類比較.把容易混淆的概念集中在一起研究，分清其區(qū)別和聯(lián)系，做到準(zhǔn)確地理解概念的實(shí)質(zhì).例如，在表示線段、射線、直線時(shí)，一般應(yīng)在字母的前面注明“線段”“射線”或“直線”.找線段時(shí)可找線段的兩個(gè)端點(diǎn)，找射線時(shí)應(yīng)找一個(gè)端點(diǎn)及延伸方向，而任意兩點(diǎn)確定一條直線.

例4圖1中共有_______條線段，_______條直線，能用字母表示的射線有_______條.

圖1

【解析】同一個(gè)圖形的符號(hào)表達(dá)形式可以不同，例如以點(diǎn)A、B為端點(diǎn)的線段可以表示為線段AB，也可以表示為線段BA，表示的是同一條線段，又如射線AB與射線AC算同一條射線，其他類同.正確填法是：3，1，4.

三、學(xué)習(xí)幾何概念一定要能正確地畫(huà)出反映概念的圖形，能畫(huà)出不同形式、不同位置的圖形

例5如圖2，已知△ABC，

圖2

（1）量取線段BC的中點(diǎn)D，并連結(jié)AD；

（2）過(guò)點(diǎn)A畫(huà)BC的垂線，垂足為E；

（3）過(guò)E畫(huà)AB的平行線交AC于點(diǎn)F；

（4）畫(huà)∠ABC的平分線，交AC于G.

【解析】“連結(jié)AD”是指畫(huà)線段AD；“垂線”在幾何概念中專指“垂直的直線”，而不是指垂線段或垂直的射線；其中的“角平分線”是專指射線，而不是其他線.這說(shuō)明對(duì)概念的理解不能有任何的偏差.

例6判斷：若AC=BC，則點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn).（）.

【解析】題中的點(diǎn)C可以在線段AB上，也可以在線段AB外，故此判斷為“×”.

例7平面內(nèi)有兩個(gè)角∠AOB=50°，∠AOC=20°，OA為兩角的公共邊，則∠BOC為（）.

A.30°B.70° C.30°或70°D.無(wú)法確定

【解析】根據(jù)題意可知要分兩種情況，一種是OC在∠AOB內(nèi)部，另一種是OC在∠AOB外部.畫(huà)出圖形并結(jié)合圖形計(jì)算可得∠BOC等于70°或30°，故選C.

四、學(xué)習(xí)幾何概念要能在復(fù)雜的圖形中正確地識(shí)別表示某個(gè)概念的那部分基本圖形，也能把幾個(gè)簡(jiǎn)單的圖形組合成一個(gè)較復(fù)雜的圖形

例8如圖3，能表示點(diǎn)到直線（或線段）的距離的線段有（）.

A.2條B.3條C.4條D.5條

圖3

【解析】本題考查的是點(diǎn)到直線的距離的基本圖形，例如圖中有表示點(diǎn)C到線段AB距離的線段CA和點(diǎn)C到線段AD距離的線段CD，其他也可以這樣類似地去找基本圖形，本題答案：D.

五、學(xué)習(xí)幾何概念要能運(yùn)用概念進(jìn)行簡(jiǎn)單的判斷、推理和計(jì)算，要在運(yùn)用中強(qiáng)化和鞏固概念，進(jìn)而形成概念系統(tǒng)化

例9在例8圖中∠C與∠DAB相等的理由是___________________.

【解析】在本章中，要學(xué)會(huì)用“因?yàn)椤浴钡姆绞竭M(jìn)行簡(jiǎn)單推理，關(guān)鍵是弄清“因”與“果”的關(guān)系，逐步形成思維的邏輯性和條理性.例如，這兩個(gè)角沒(méi)有直接的關(guān)系，但都與∠B互余，因此填的理由應(yīng)為：同角的余角相等.

例10如圖4，已知直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OE、OF分別是∠BOD、∠AOD的平分線.

（1）∠DOE的補(bǔ)角有______________；

（2）若∠BOD=62°，求∠AOE和∠DOF的度數(shù)；

（3）判斷射線OE與OF之間有怎樣的位置關(guān)系？并說(shuō)明理由.

圖4

【解析】本題考查余角與補(bǔ)角、角平分線的定義、角度的計(jì)算，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖，找出圖中各角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.填（1）中的空（求補(bǔ)角而不是求鄰補(bǔ)角），必須概念清晰，才能有條理思考問(wèn)題，而對(duì)于（2）、（3）則要掌握用符號(hào)來(lái)進(jìn)行有條理的推理的格式.

答案：（1）∠COE，∠AOE；（2）∠AOE= 149°，∠DOF=59°；（3）互相垂直.

一位清華大學(xué)學(xué)生在學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)交流中就提及數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是從概念的學(xué)習(xí)開(kāi)始的，要更好地了解和掌握概念有一個(gè)辦法就是適量做一些與概念有關(guān)的判斷題和選擇、填空題，這會(huì)從各個(gè)不同的角度來(lái)辨析它.要學(xué)好幾何就讓我們從正確理解幾何概念開(kāi)始吧.

（作者單位：江蘇省吳江區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）