讓算理與算法同行
——《小數乘整數》教學設計與說明

張冬梅（特級教師）

【教學內容】

蘇教版五年級上冊第55～56頁。

【教學重點、難點】

探索并掌握小數乘整數的計算方法。理解積的小數點的定位。

【教學準備】

教師：①軟性小黑板3塊；②課題；③遙控器。

學生：①每人一個計算器，②每人一份學習單。

【教學過程】

一、創設情境、引入新課

出示情境圖1：

從圖中，你獲得了什么信息？

夏天，是西瓜豐收的季節，那么買3千克西瓜要多少元，怎么列式？

你是根據哪個數量關系式列式的？(單價×數量=總價)

二、主動探究，獲得算法

1.學生探究0.8×3并交流算法。

0.8×3等于多少元呢？為什么？老師想把這個問題交給大家自己來研究。

請同學讀一讀研究提示：

想一想，0.8×3表示什么意思？

試一試，用我們已有的知識計算出結果。

寫一寫，記錄下自己的方法。

說一說，在小組里交流自己的方法。

學生自主探究后，小組內交流，教師巡視。

全班分享，指名到前面介紹不同的方法。

預設：學生可能出現的方法有：

學生互動點評，點評要點：

方法（1）是根據 0.8×3表示3個0.8相加，把乘法轉化成了加法；

方法（2）把小數乘法轉化成了整數乘法；

方法（3）是先算 8×3。（如有學生提出為什么寫豎式時3要與8對齊？那么就引導學生想：計算時是先看成多少乘多少的）

教師提問：這三種方法都正確嗎？哪一種方法最簡單呢？

那我們仔細來研究豎式計算的方法，我們先算8×3得24，那為什么結果是2.4呢？（引導學生講0.8是8個十分之一，乘3，得24個十分之一）

大家可以結合這里的圖來體會他們的說法。

動態演示3個0.8變成24個0.1的過程：

板書：8個十分之一，24個十分之一。

看來，0.8×3真的得 2.4元，集體口答：夏天買3千克西瓜要2.4元。

【說明：在應用已有的知識計算0.8×3的過程中，學生分別從乘法的意義、單位換算以及豎式計算的角度解決了問題，呈現出學生主動建構算法的精彩場景。而其中用豎式計算的方法是以前沒有學過的，因此教師帶著學生一起細究。在細究的過程中，教師注意了“算理直觀”與“算法抽象”的有效聯結，學生在動態的演示中，清晰地理清了為什么是先算8×3，而得到的是24個0.1，也就是2.4。學生在理解算理的基礎上建構起了算法?！?/p>

2.嘗試計算 2.35×3，進一步理解算理。

出示情境圖2：

到了冬天，西瓜的單價發生了變化，還是買3千克，6元夠嗎？10元呢？

那么，到底需要多少元呢？讓我們自己嘗試著用豎式來算一算。

請一學生到前面板演。同學們完成后，請板演同學詳細講解計算過程，并互動質疑，弄清算理。

教師尋找學生的各種不同情況，展示并互動點評。

預設：（1）板演的同學講計算過程，強調先算235×3；追問：為什么是兩位小數呢？結合學生回答，板書：235個百分之一，705個百分之一。

（2）錯誤的。引導學生結合剛才的估算思考。

（3）如出現列豎式時出現小數點對齊的情況，引導學生思考：我們是先看成多少乘多少的。

個別同學訂正后，集體口答：冬天買這3千克西瓜要7.05元。

【說明：在學生嘗試計算前請學生先估算，不僅可以培養學生的數感，也可以幫助學生理解算理。而“嘗試計算”也給了學生更大的學習空間與思考的自由，也讓教師及時地發現學生各種不同的情況，以便學生在互動點評中共同提高。而在板演的學生詳細講解的過程中，學生講到235×3得705時，教師恰當地喊出了“暫?！?，讓學生說一說，這時其實是算了多少乘多少？學生清楚地感受到了計算的步驟；教師接著又追問：那么結果為什么是7.05呢？一個問題指向算法，一個問題落實了算理，算法與算理始終并行?！?/p>

3.比較分析，獲得算法。

完成了兩個問題，我們得回頭來看看。比較這兩題，你發現什么相同的地方？

（1）都是小數乘整數。板書課題：小數乘整數。

（2）在豎式計算時，算法上有什么相同？都是先把它們當成整數乘法算，然后點小數點；

（3）觀察乘數的小數位數和積的小數位數，你又有什么猜想？

照你們的猜想，你能在這幾個豎式的積里點上小數點嗎？

集體校對后，指出：

我們這樣確定積的小數位數的方法正確嗎？誰能說清這個“理”呢？我們還可以怎么證實呢？拿出計算器，檢查一下結果是否正確。

討論：小數和整數相乘，可以怎樣計算？

【說明：兩個問題解決后的靜思與比較，讓學生有了一些想法，而這些“想法”真的可行嗎？教師引導學生既可以從算理的角度去分析，也可以用計算器去驗證，多方考慮后學生獲得了“小數乘整數”的算法。在這里，不僅培養了學生抽象概括的能力，也讓學生經歷到了數學推理的過程，親身感受了數學的思想方法與科學精神。】

4.初用方法，促進內化。

（1）說說下面的算式先看成多少乘多少，再說說積分別是幾位小數。

（2）如果我們想知道14.8×23的積，你只要知道哪道算式的積？

148×23=3404

14.8×23=

148×2.3=

追問：為什么不同的兩題，積相同。

( )×()=34.04

【說明：抽象的方法具體化時，才更具有現實意義，因此教師在學生總結出算法后，及時讓學生說說怎么算，怎么確定積的小數位數，也促進了算法的內化。而根據148×23＝3404，直接寫出相關算式的積，教師改變了教材的呈現方式，而是從有利于培養學生邏輯思維能力出發，先出現 14.8×23，然后讓學生“按圖索驥”：你只要知道哪道算式的積？而“（）×（）＝34.04”又給了學生更開放的空間，學生的思維積極地展開了，高潮一個連著一個?！?/p>

三、拓展延伸

3.5×42，二千多年前的人們是怎么算的？

到底“算表”是怎么算這題的呢？“算表”能直接計算怎樣的小數乘法么？一般的小數乘法，“算表”又是怎樣解決的？我想，我已經無法阻擋大家的好奇了!那就讓我們帶著滿滿的收獲與無限的好奇走出課堂吧！

【說明：課的最后介紹了有關“清華簡”的內容，而到底當時的“算表”是怎么算的？課堂上沒有交待，而也正因為如此，留給了學生無限的好奇，促進學生進一步的行動，主動地去尋找答案，這也正好表達了“促進學生41分鐘發展”的理念。】