把思考的權利還給學生
——《求三角形內角度數》教學

王仁平

【課堂片斷】

探索三角形的內角和是180°(略)。

師：前面我們已經知道了三角形的內角和是180°。根據這一結論，我們可以解決一些數學問題（課件出示下圖）。你能求出下面三角形中未知內角的度數嗎？

生：∠1=180°-100°-25°=55°。

生：還可以用 180°-（100°+25°）=55°。

生：∠2=180°-70°-50°=60°，還可以用 180°-（70°+50°）=60°。

師：為什么這樣計算？

生：三角形的三個內角合起來是180°，去掉其中的兩個內角后，剩下的就是第三個角的度數。

師：也就是說根據三角形的內角和是180°，知道其中兩個內角的度數，就能求出第三個角的度數，對嗎？（生：對）這樣的問題，是一星級的問題。老師還有一個二星級的問題，你能解決嗎？

（課件出示）如果只知道三角形的一個內角是40°，你能求出未知內角的度數嗎？

學生陷入了沉思，過了一會兒，一個學生大聲喊道：“我能！”

生：在直角三角形中，一個銳角是40°，另一個銳角是50°。

師：你是怎樣想的？

生：180°-90°-40°=50°，還可以用 180°-（90°+40°）=50°。

生：還可以用90°-40°=50°。

師：行嗎？為什么？

生：因為三角形內角和是180°，其中有一個內角是直角，是90°，剩下的兩個銳角合起來是90°。

師：看來只知道一個銳角的度數，也能求出未知銳角的度數。（一個學生插嘴道：“這個三角形是一個特殊的三角形”）是這樣嗎？（生：是）還有不同的想法嗎？

生：等腰三角形的一個底角是40°，它的頂角是180°-40°×2=100°。

生：（迫不及待地說）等腰三角形的頂角是40°，它的一個底角是 （180°-40°）÷2=70°。

師：是這樣嗎？你們怎樣想的？

生：因為等腰三角形的兩個底角相等。

師：在等腰三角形中，只知道一個內角的度數，的確能求出未知內角的度數。二星級的問題我們也解決了。想不想試試三星級的問題？（生：想）

（課件出示）有沒有可能三角形一個內角的度數都不知道，也能求出內角的度數？

很多學生激動地答：“有！”

生：等邊三角形的每一個內角都是180°÷3=60°。

師：為什么？

生：因為等邊三角形的三個內角都相等，所以用180°÷3=60°就知道了等邊三角形內角的度數。

師：大家真了不起！一個內角的度數都不知道，也能求出三角形內角的度數。看來，三星級的問題也難不倒大家！

下課后，學生還在興致勃勃地回味剛才學習的情境，一個學生跑過來問我：“老師，還有四星級、五星級的題目嗎？”

【教學反思】

1．“只知道一個內角的度數，我也能！”——學生能獨立自主地思考。

學生是天生的學習者，學生自身有一種先天的結構支持著他們的學習。如面對問題時，學生總會自覺地調用已有的知識、經驗和智慧去嘗試、去探索、去解決。在本節課的學習中，仿佛已知三角形的兩個內角是求第三個內角度數的必要條件，別說一個內角的度數也不知道，就是知道一個內角的度數求未知內角的度數，好像都是不可能的。但在課堂上，盡管教師未作任何指導，學生依然能從自己的認知庫中調取知識、經驗和智慧將未知變成已知：雖然只知道一個內角是40°，但是可以假設這個角是直角三角形的一個銳角，這時就轉化成了兩個內角分別是90°和40°，求第三個內角的度數；也可以假設這個角是等腰三角形的一個底角，由于等腰三角形兩個底角相等，就轉化成了兩個內角都是40°，求第三個內角的度數；還可以假設這個角是等腰三角形的頂角，則兩個底角的度數和是 180°-40°=140°，一個底角只需要把140°平均分成2份即可。一個內角的度數也不知道時，可以假設這是一個等邊三角形，因為等邊三角形的三個內角相等，把180°平均分成3份，每份就是等邊三角形任意內角的度數。學生通過假設把已知條件置于一個特殊三角形的背景中來解決，說明了學生是一個天生的思考者，面對問題總是會積極主動思考的，學生的這種天性甚至可以說是“人類的一種生存邏輯”。

2.“還有四星級的題目嗎？”——學生的思考需要挑戰性的問題來激發。

學生是天生的思考者，但是課堂中學生為什么總是表現出不愿意思考的一面呢？造成這一現象的原因是教師總是假設學生的學習是被動的，思考較多的是如何講學生能聽懂，很少考慮如何調動學生自身的動力系統、如何激發學生積極主動地思考。久而久之，學生也變得不愿、不會思考了。在本節課的學習中，如果簡單地呈現一組求三角形未知內角度數的條件完備的封閉題，如已知三角形任意兩個內角的度數求未知內角的度數，求直角三角形一個銳角的度數，求等腰三角形的頂角（或一個底角）的度數，求等邊三角形內角的度數等，讓學生依次解決，課堂必然是另一番景象。在教學中，我根據這些問題的內在聯系——都是“已知三角形兩個內角的度數求未知內角的度數”和直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內角的特點，把需要解決的問題設計成一組缺少條件的、開放的、具有一定挑戰性的問題，并根據難易程度確定不同的星級。這樣的問題挑戰著學生的思維，但學生“跳一跳能摘到果子”。因此，很多的學生投入到積極主動的思考中，甚至下課了還在激烈地思考著、討論著。這就是教師對學生學習做出“積極主動的假設”后，通過創設情境，設計挑戰性的問題點燃學生思考的“火把”的結果。

3．“它是一個特殊的三角形！”——學生自主的思考帶來了學習的增值。

思考是人大腦各部分整體聯動的系統行為，帶來的不可能僅僅是問題的解決。在本節課的學習中，學生調動知識、經驗和智慧將已知條件置于特殊三角形的背景中解決的過程，也是學生認知結構的建構、豐富和完善的過程。在這個過程中，學生需要把三角形從角的維度進行“回放”——回憶銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、等腰三角形、等邊三角形的角分別有什么特點，還需要結合已知條件進行判斷和選擇——銳角三角形已知一個內角能求出未知內角的度數嗎？直角三角形呢？等腰三角形呢？……這樣，學生通過解決問題得到的就不僅僅是三角形內角和是180°這一孤立的知識點，圍繞在它四周的還有直角三角形、等腰三角形和等邊三角形等，每類三角形都與它用“學生自己發明的線”連在了一起，這就是屬于學生自己的知識結構。在這個過程中，學生也感悟到了“轉化”的思想方法——面對一個新的問題時，我們首先要考慮的是如何轉化成學過的問題，這就是我們經常說的“把新知轉化為已知”。學生通過自己的思考體驗到學習的快樂，成功的高峰體驗必然會增強數學學習的自信，等等。因此，可以說思考帶來的附加值是全方位的。

把思考的權利還給學生，就是要充分相信學生，相信學生是天生的思考者，就是要設計挑戰性的問題激發學生積極主動地思考。在這樣的課堂中師生必將會體驗到思考帶來的快樂和幸福！