溯根求源：統計與概率應用問題的解題策略和方法

溯根求源：統計與概率應用問題的解題策略和方法

徐愛華

尋找正確的解題方法和策略不僅是解題的需要，也是提高自身能力和水平的一個重要方法，對以后解決同類型的問題有著重要的影響.怎樣在研讀題目時對各類題型的解題思路、方法、技巧和規律進行總結，這是一個亟須解決的問題.下面我們結合統計與概率應用中的實例來展示解題思路的形成過程，談解題方法的歸納總結及解后反思，便于同學們舉一反三，靈活運用.

例1（2016·四川巴中）下列說法正確的是（）

A.擲一枚質地均勻的正方體骰子，骰子停止轉動后，5點朝上是必然事件

B.審查書稿中有哪些學科性錯誤適合用抽樣調查法

C.甲乙兩人在相同條件下各射擊10次，他們的成績的平均數相同，方差分別是s甲2= 0.4，s乙2=0.6，則甲的射擊成績較穩定

D.擲兩枚質地均勻的硬幣，“兩枚硬幣都是正面朝上”這一事件發生的概率為

【策略方法】本題涉及隨機事件與必然事件、普查與抽查、方差的意義、概率計算等相關知識，由隨機事件和必然事件的定義得出A錯誤，由統計的調查方法得出B錯誤，由方差的意義得出C正確，由概率的計算得出D錯誤，即可得出結論.

【解答】A.擲一枚質地均勻的正方體骰子，骰子停止轉動后，5點朝上不是必然事件，應該是隨機事件，選項A錯誤；

B.審查書稿中有哪些學科性錯誤適合用全面調查法，選項B錯誤；

C.甲乙兩人在相同條件下各射擊10次，他們的成績的平均數相同，方差分別是s甲2= 0.4，s乙2=0.6，則甲的射擊成績較穩定，選項C正確；

D.擲兩枚質地均勻的硬幣，“兩枚硬幣都是正面朝上”這一事件發生的概率為，選項D錯誤.

【方法總結】本題考查了求概率的方法、全面調查與抽樣調查、方差的性質以及隨機事件與必然事件，熟悉方法和性質是解決問題的關鍵.

例2某高科技產品開發公司現有員工50名，所有員工的月工資情況如下表：

員工數（名）員工管理人員普通工作人員人員結構總經理部門經理科研人員銷售人員高級技工中級技工勤雜工1 3 2 3 2 4 1每人月工資（元）2 1 0 0 0 8 4 0 0 2 0 2 5 2 2 0 0 1 8 0 0 1 6 0 0 9 5 0

請你根據上述內容，解答下列問題：

（1）該公司“高級技工”有名；

（2）所有員工月工資的平均數-x為2500元，中位數為元，眾數為元；

（3）小張到這家公司應聘普通工作人員.請你回答上圖中小張的問題，并指出用（2）中的哪個數據向小張介紹員工的月工資實際水平更合理些；

（4）去掉四個管理人員的工資后，請你計算出其他員工的月平均工資-y（結果保留整數），并判斷-y能否反映該公司員工的月工資實際水平.

【策略方法】本題涉及的知識點有中位數、眾數、平均數的意義和特殊數值對平均數的影響，根據相關知識就可以解決上述問題.

【解答】（1）16.

（2）因表中數據是按照從大到小順序排列，共有50個數據，第25和第26個數據分別為1800和1600，二者的平均數為1700，則所有員工月工資的中位數為1700元，眾數則易判斷為1600元.

（3）這個經理的介紹不能反映該公司員工的月工資實際水平，用1700元或1600元來介紹更合理些.

【方法總結】本題考查眾數、中位數、平均數的計算及意義，要了解它們在實際應用中的表述方式.

例3某班為了從甲、乙兩同學中選出班長，進行了一次演講答辯與民主測評，A、B、C、D、E五位老師作為評委，對“演講答辯”情況進行評價，全班50位同學參與民主測評，結果如下表：

規定：演講答辯得分按“去掉一個最高分和一個最低分再算平均分”的方法確定；民主測評得分=“好”票數×2分+“較好”票數×1分+“一般”票數×0分；綜合得分=演講答辯得分×（1-a）+民主測評得分×a（0.5≤a≤0.8）.

（1）當a=0.6時，兩人的綜合得分分別是多少？

（2）分別求出兩人的綜合得分關于a的函數表達式；

（3）倘若讓甲做班長，請你確定a的取值范圍.

【策略方法】本題涉及的知識點是加權平均數的計算，利用加權平均數確定得分.

【解答】（1）甲的答辯得分=（90+92+94）÷ 3=92（分），甲的民主測評分=40×2+7=87（分），

甲的綜合得分=92×0.4+87×0.6=89（分）；

乙的答辯得分=（89+87+91）÷3=89（分），乙的民主測評分=42×2+4=88（分），

乙的綜合得分=89×0.4+88×0.6=88.4（分）．

（2）甲的綜合得分關于a的函數表達式為y1=92×（1-a）+87×a=92-5a；

乙的綜合得分關于a的函數表達式為y2= 89×（1-a）+88×a=89-a．

（3）若讓甲做班長，則92-5a＞89-a，解得a＜0.75，

∴a的取值范圍為0.5≤a＜0.75．

【方法總結】會用加權平均數公式進行計算，根據實際情況確定在實際問題中的權重.

例4在一個不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共20只，某學習小組做摸球實驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復，下表是活動進行中的一組統計數據：

（1）請估計：當n很大時，摸到白球的頻率將會接近；

（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是；（3）試估算口袋中黑、白兩種顏色的球各有多少只？

摸球的次數n 摸到白球的次數m摸到白球的頻率1 0 0 1 5 0 2 0 0 5 0 0 8 0 0 1 0 0 0 5 8 9 6 1 1 6 2 9 5 4 8 4 6 0 1 m n 0 . 5 8 0 . 6 4 0 . 5 8 0 . 5 9 0 . 6 0 5 0 . 6 0 1

（4）解決了上面的問題，小明同學猛然頓悟，過去一個懸而未決的問題有辦法了.這個問題是：在一個不透明的口袋里裝有若干個白球，在不允許將球倒出來數的情況下，如何估計白球的個數（可以借助其他工具及用品）？請你應用統計與概率的思想和方法解決這個問題，寫出解決這個問題的主要步驟及估算方法.

【策略方法】本題要熟悉概率的意義、概率的計算方法、根據概率估計樣本中個體的數目.

【解答】（1）觀察表格得摸到白球的頻率將會接近0.6；

（2）摸到白球的概率是0.6；摸到黑球的概率是1-0.6=0.4；

（3）∵20×0.6=12，20×0.4=8，∴黑球8個，白球12個；

（4）①先從不透明的口袋里摸出a個白球，都涂上顏色（如黑色），然后放回口袋里，攪拌均勻；②將攪勻后的球從中隨機摸出一個記下顏色，再把它放回袋中，不斷大量重復n次，記錄摸出黑球頻數為b；③根據用頻數估計概率的方法可得出白球數為

【方法總結】概率意義和概率的估算是有區別的，知道概率意義還要了解它在實際問題中的應用，要能在實際問題運用中應用概率相關知識進行解讀和估算.

解題策略和方法是我們在解題實踐中要仔細感悟的，研讀題目，聯想知識，思考方法，體會策略，只要我們堅持不懈做下去，我們在解題能力上一定會有很大的提高.

（作者單位:江蘇省淮安曙光雙語學校）