不同的問題同一個模型

不同的問題同一個模型

李兆龍

從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義.這些內容的學習有助于初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識.

例1一個轉盤被分成2個半圓，分別標為A、B.甲、乙2人玩轉盤游戲，規則如下：轉動轉盤2次，當轉盤停止運動時，如果指針指向相同的字母，那么甲得1分，如果指針指向不同的字母，那么乙得1分.做10次這樣的游戲，得分高的為贏家.你認為這個游戲規則對雙方公平嗎？為什么？

【解析】P（指針指向相同的字母）=，P（指針指向不同的字母）=，游戲規則對雙方是公平的.

【反思】這個游戲與“拋硬幣游戲：拋擲1枚質地均勻的硬幣2次，如果2次都出現正面朝上或反面朝上，那么甲得1分，否則乙得1分”是同一個概率模型.

【模型應用】甲、乙、丙三位同學打乒乓球，想通過“手心手背”游戲來決定其中哪兩個人先打，規則如下：三個人同時各用一只手隨機出示手心或手背，若只有兩個人手勢相同（都是手心或都是手背），則這兩人先打，若三人手勢相同，則重新決定.那么通過一次“手心手背”游戲能決定甲打乒乓球的概率是.

【解析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與通過一次“手心手背”游戲能決定甲打乒乓球的情況，再利用概率公式即可求得答案.分別用A、B表示手心、手背.畫樹狀圖得：

∵共有8種等可能的結果，通過一次“手心手背”游戲能決定甲打乒乓球的有4種情況，

【反思】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏地列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.上述問題與拋硬幣游戲是同一個概率模型.將“手心手背”看成硬幣的正反面，此游戲相當于將1枚均勻的硬幣拋擲3次.

嘗試練習：交通信號燈，俗稱“紅綠燈”，至今已有一百多年的歷史了.“紅燈停，綠燈行”這是我們必須遵守的交通規則.小剛每天騎自行車上學都要經過三個安裝有紅燈和綠燈的路口.假如每個路口紅燈和綠燈亮的時間相同，那么，小剛從家出發去學校，他至少遇到一次紅燈的概率是多少？不遇紅燈的概率是多少？（提示：可以將上述問題看成是拋硬幣概率模型的應用.不遇紅燈的概率相當于同時拋出3枚硬幣時3個反面都朝上的概率，即，至少遇到1次紅燈的概率是

例2某商場為某品牌冰箱舉辦有獎促銷活動，聘請甲、乙2名員工分別設計抽獎方案，要求是：顧客每購買1臺該品牌冰箱可獲得1次抽獎機會，其中中大獎的概率為0.1，中小獎的概率為0.9.甲員工給出的設計方案是：準備10張相同的紙條，并在其中1張紙條上畫上記號，把它們放在1個盒子中，攪勻后從中任意抽取1張紙條，抽到紙條上畫有記號的顧客中大獎，否則中小獎；乙員工給出的設計方案是：在1個盒子中放入2個紅球和3個白球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出2個球，摸到2個紅球的顧客中大獎，否則中小獎.

（1）甲、乙2名員工的設計方案符合商場的要求嗎？為什么？

（2）請舉出一些事件，它們發生的概率都是0.1.

【解析】（1）根據甲、乙2名員工的設計方案，可求得顧客中大獎的概率都是0.1，中小獎的概率都是0.9，甲、乙2名員工的設計方案都符合商場的要求.

（2）例如，把1個轉盤分為10個面積相等的扇形，其中紅色扇形1個，黃色扇形3個，白色扇形6個，任意轉動轉盤1次，當轉盤停止轉動時，指針落在紅色區域的概率是0.1.

【反思】概率是描述隨機現象的數學模型，不同的問題往往可以歸結為同一個概率模型.

【模型應用】（2015·江蘇徐州）小明參加某網店的“翻牌抽獎”活動，如圖，4張牌分別對應價值5，10，15，20（單位：元）的4件獎品.

（1）如果隨機翻1張牌，那么抽中20元獎品的概率為.

（2）如果隨機翻2張牌，且第一次翻過的牌不再參加下次翻牌，則所獲獎品總值不低于30元的概率為多少？

【解析】（1）隨機事件A的概率P（A）=事件A可能出現的結果數÷所有可能出現的結果數，據此用1除以4，求出抽中20元獎品的概率為多少即可，答案為25%.

（2）首先用樹狀圖法列舉出隨機翻2張牌所獲獎品的總值一共有多少種情況，然后用所獲獎品總值不低于30元的情況的數量除以所有情況的數量，求出所獲獎品總值不低于30元的概率為多少即可.

∵所獲獎品總值不低于30元有4種情況：30元、35元、30元、35元，

【反思】此題主要考查了概率公式，還可以用枚舉法.

課本在估計魚塘內青魚的條數問題中，運用“卡通人”的提示：“把魚塘內的青魚看成‘紅球’”“往魚塘內投放若干條白魚，把白魚看成‘白球’”，對問題進行轉化，讓我們感受到不同的問題往往可以歸結為同一個概率模型的模型思想.同學們，隨著我們知識的學習和積累，我們會認識更多的概率模型，會合理地解釋生活中的概率問題，充分感受到不同的問題往往可以歸結為同一個概率模型.

（作者單位：江蘇省淮安曙光雙語學校）