一題多解，體味數學魅力——一道平面幾何證明題教學所感

一題多解，體味數學魅力——一道平面幾何證明題教學所感

張云

證明一個幾何問題，就是從所給的前提出發，利用定義、公理和已知定理推出欲證明的結論。對一個具體問題，我們首先要仔細考察題目的特征，理解題意，分清條件和結論，盡量發掘題目中涉及的一些概念的內涵，在細致周密考察的基礎上，嘗試展開豐富的聯想，以求喚起對有關舊知識的回憶，開啟思維的大門。這個過程其實是將新問題轉化為自己所探究過的問題。其中豐富的聯想建立在對題目條件的分析以及條件與結論關系的探討上，在此基礎上再多角度思考問題，就可能產生多種解法。

如圖1，凸五邊形ABCDE中，AB=AC，AD=AE，且∠CAD=∠AEB+∠ABE，點M為BE的中點。

證明：CD=2AM。

圖1　

分析：CD，AM可謂天各一方。思考這樣的問題，一般的思路有兩條：一是將長線段CD折半，顯然要取CD中點F，只要證明DF=AM即可；二是證明CD=x，x=2AM。如何尋找x就成為解決問題的關鍵。順著這樣的思路，可以得到下面的證明。

一、截長補短

思路1取線段CD的中點F，連接AF并延長至點G，使得AF=GF，連接DG。（如圖2）易證△ACF△GDF，所以GD=AC，∠G=∠CAF，則∠G+∠GAD=∠CAD=∠ABE+∠AEB。

圖2　

又AM，DF分別為EB，AG兩邊的中線，所以AM=DF，故CD=2AM。

此證法為“截長法”，轉化了其中的邊角關系，找到了目標三角形，利用全等三角形中的對應邊上的中線也相等得出了要證的結果。

思路2考慮結論要證明CD是AM的2倍，果斷作出AM的相應倍數進行“補短”，得到新的線段，再通過三角形全等完成證明。

延長AM至點N，使得AM=NM，連接BN。（如圖3）易證△AME△NMB，所以∠ABN=∠CAD，再證△ABN△CAD，得到CD=AN=2AM。

圖3　

圖4　

二、旋轉重組

將△AEM繞點M旋轉180°（順時針、逆時針均可），得到△A′BM。（如圖4）

則∠ABM+∠A′BM=∠ABE+∠AEB，即∠ABA′=∠CAD，可證△ABA′△CAD，所以AA′=CD，故CD=2AM。旋轉后將題中兩個分開的角拼到一起，產生了一對新的對應角，如此全等三角形也構造出來了。此法與前面延長AM進行“補短”有異曲同工的效果。

三、補出中位線

題中結論是CD=2AM，考慮作出2AM的線段，由點M是中點，故可考慮延長EA至點F，使得點A為中點，AM為中位線，連接BF。（如圖5）再證BF與CD相等，可通過證明△AFB和△ADC全等實現。

而延長BA至點F，使得點A為中點，AM為中位線，連接EF，證出△ABF△ACD，結論可類似得出（如圖6）。

圖5　

圖6　

四、向量來幫忙

細致分析題目中的條件可以發現，其中的角度關系可改為：∠CAD+∠BAE=180°。而邊之間的長度關系是兩點間距離關系，對應著平面向量的模，由此考慮將要求的線段用向量表示，利用平面向量知識求解。

所以，CD=2AM。

數學中的邏輯推理與證明對思維的嚴謹性要求較高，一串串由“因為……所以……”構成的看似樸實無華的文字，實則每一步的推導都是合理和必然的。這其中的曲折與艱難時常讓人心生“山重水復疑無路”之感，而經過思索后“柳暗花明又一村”的解題靈感，以及最終到達成功彼岸時那種“驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”之感，怎能不讓你更加愿意“為伊消得人憔悴”呢？

通過對題目的思考分析，我們還可以得到如下事實：

（1）利用正弦定理，可得S△ABE=S△ACD。

（2）凸五邊形這個條件對結論沒有影響，滿足題中的邊角關系均可得到所求的線段倍數關系，即有一個三角形的中線長等于另一個三角形第三邊長的一半。

圖7　

圖8　

（3）若E與C、B與D（或者E與D、B與C）分別重合，則點M是線段CD的中點，且△ABC為直角三角形。

圖9　

圖10　

（4）若僅有E與C重合，由線段相等關系，易知點A為線段BD的中點，AM為中位線，所以AM=CD，且∠BCD=90°。

圖11　

平面幾何證明題對學生思維訓練很有幫助，特別是輔助線的做法技巧性較強。在解決問題時，可以利用題目中出現的旋轉、翻折、對稱等圖形變換，以及適當添加的輔助線構造出新的圖形，實現問題的轉化，再利用全等三角形、相似三角形、勾股定理等知識求解。學生在解題中展開豐富的聯想，找出問題本質，嘗試一題多解，既可以啟發思維，也能體會到數學的無窮魅力。

（作者單位：長沙市一中岳麓中學）