防空導彈武器系統可信度建模

趙曰強, 麥 強, 許慶彥

(1.哈爾濱工業大學管理學院, 黑龍江 哈爾濱 150001; 2.中國航天科工防御技術研究院,北京 100854; 3. 清華大學材料學院, 北京 100084)

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防空導彈武器系統可信度建模

趙曰強1,2, 麥 強1, 許慶彥3

(1.哈爾濱工業大學管理學院, 黑龍江 哈爾濱 150001; 2.中國航天科工防御技術研究院,北京 100854; 3. 清華大學材料學院, 北京 100084)

防空導彈武器系統效能通常采用ADC(availability,dependability,capability)模型來評定。隨著裝備的發展和對抗復雜性的提升,系統可信度的建模和分析計算越發關鍵。通過分析裝備本身的功能組成結構,分析系統所有可能的狀態及狀態轉移概率,來建立可信度的求解模型。并用算例進一步驗證了模型,證明了模型的適用性。

防空導彈; 系統效能; ADC模型; 可信度模型

0 引 言

由于防空導彈武器系統組成復雜,在系統效能分析和模型建立時要對導彈系統、探測制導系統、發射系統、指控系統、支援保障系統的工作狀態進行綜合分析與描述,單指標模型有很大的局限。為了準確地評定防空導彈武器的系統效能,需要把影響作戰效能的各種因素進行全面、系統的分析,將各單項效能進行綜合,構成一個能概括武器系統效能各個分量的綜合解析表達式,從而對導彈武器系統進行全面分析。而ADC(availability,dependability,capability)模型是用系統可用性向量A、可信度矩陣D、固有能力矩陣C的乘積表示系統效能,即

E=ADC=(ai)1×n·(dij)n×n·(cjk)n×m=(ei)1×m

(1)

式中,A=(ai)1×n表示系統在開始執行任務時處于不同狀態的概率,其任一元素ai表示系統在開始執行任務時處于狀態i的概率;D=(dij)n×n描述系統在執行任務過程中完成規定功能的概率,其中元素dij表示在執行任務過程中系統由i狀態轉入j狀態的概率;C=(cjk)n×m表示系統在可用、可信條件下達到任務目標的概率,其中元素cjk表示系統在有效狀態j中的第k個能力描述指標。

上述三要素在效能中呈現鏈狀邏輯,即可用性、可信度和固有能力中任一項為零時,系統效能為零。

可信度(dependability)也就是武器系統在開始執行任務時刻處于某一狀態,而執行任務過程中的某時刻轉移為另一種狀態的概率?？尚哦染仃囀窍到y使用過程中,處于可工作狀態的度量,是系統在使用過程中完成規定任務或具備規定性能的量度?？捎眯悦枋龅氖菓饌錉顟B,而可信度描述的是戰斗狀態。

在進行防空導彈武器系統效能評估時,對固有能力的研究比較多,但可信度經常忽略或被過度簡化。因可信度與武器系統的可靠性、維修性及人員等因素有關,包含諸多定量的、定性的和模糊的因素,目前尚無簡便、有效、定量的計算和評估方法。這個問題逐步引起裝備承制和使用部門的重視,本文就是開展這方面研究。

1 系統可信度的量度

若假設系統有n個狀態,在執行任務過程中的t時刻,每一種狀態都可能轉變為這n種狀態中的任意一種狀態,則可信度可以用n×n的狀態轉移矩陣來表示,稱為可信度矩陣D(t)=(dij(t))n×n。即

(2)

式中,dij(t)為系統從Si狀態開始執行任務后,在執行過程中的t時刻處于Sj狀態(有效狀態)的概率。

矩陣D(t)中每個元素都有dij(t)∈[0,1],每行元素和為1,即

(3)

矩陣D(t)中的元素dij(t)按照元素右下角的編號越大則故障越多越嚴重的規則排序,系統在執行任務過程中的狀態轉移可能有以下3種情況。

(1)i>j時,系統狀態變壞。出現這種情況的原因有兩種:一是系統自身變壞;二是沒修好或沒修。

(2)i=j時,系統狀態無變化。出現這種情況的原因有兩種:一是系統性能自身無變化;二是沒修好或沒修。

(3)i

將在執行任務過程中故障可修復的系統稱為可修復系統,故障不能修復的系統稱為不可修復系統。

如果武器系統在執行任務的過程中不能修理,則系統在開始執行任務時出現的故障始終存在,所以可信度矩陣中與這些單元或部件對應的元素都為零。按照元素右下角的編號越大故障越多越嚴重的規則,因而可信度矩陣為一個上三角矩陣,即為

(4)

需要明確,狀態轉移概率矩陣P中的元素(pij)n×n是描述系統在任意時刻由Si狀態經過一次轉移到狀態Sj的概率,是一個與時間無關的量,是用故障率λ和維修率μ來表達的?？尚哦染仃嘍中的元素(dij)n×n是描述系統在開始執行任務時刻處于Si狀態,在執行任務過程中的t時刻,轉移到Sj狀態的概率,其是一個與時間t有關的量,是用故障率λ、維修率μ、可靠度R(t)和維修度M(t)來表示,若不考慮工程中的維修，可用可靠度R(t)來表示,可靠度的計算是基礎。

2 防空導彈武器系統可信度模型

2.1 對防空導彈武器系統的建模條件

在應用Markov過程的狀態轉移矩陣來建立系統可信度矩陣計算模型之前,為了簡化問題,本文對防空導彈武器系統特作如下描述和約定:

(1) 某防空導彈武器系統假設有n種狀態,并約定系統狀態依照其各狀態功能逐漸降低來排序。武器系統各單元全可用、系統正常工作、功能最強的狀態記為S1，武器系統故障、不能工作記為Sn，則武器系統處于狀態Si(1

(2) 防空導彈武器系統的各單元的故障出現和修理時間均服從指數分布,即故障率λ和修復率μ是常數。

(3) 出現故障的單元經修復后,其再發生故障的分布與原系統狀態相同。

(4) 系統的各組成只有正常和故障兩種狀態。

(5) 在極短的時間Δt內,系統中只能有一個單元出現故障或被修復。

2.2 系統的功能組成結構。

考察目前世界的防空導彈武器系統,按邏輯組成可分為如圖1所示的3種結構。圖1中,C為指揮控制車;R為制導雷達車;S為搜索指揮車;Fi(i=1,2,…,n)為導彈發射車,n≥3(I),n≥2(II); Ii(i=1,2,…,m)為跟蹤照射車,m≥3;FUi(i=1,2,…,n)為制導發射車,n≥3; Mi(i=1,2,…,k)為導彈,k為單車(架)載彈量。

以C-75D(SA-2)防空導彈武器系統為例,邏輯組成符合結構I,由1輛C車、1輛R車、6輛F車和6枚導彈(1枚導彈/車)組成,分析其邏輯結構、計算狀態數和可用性向量。將串聯系統合并處理,也就是將其中的串聯系統合并成一個單元來考慮。這樣原系統14個單元就合并為7個單元,大大減少了狀態數,簡化了計算,又不影響計算結果。形成的系統邏輯結構圖,如圖2所示。

圖1 防空導彈武器系統結構框圖Fig.1 Structure block diagram of air defense missile weapon system

圖2 C-75D(SA-2)防空導彈武器系統結構框圖(合并后)Fig.2 Structure block diagram of C-75D(SA-2) air defense missile weapon system (after merging)

再如愛國者防空導彈武器系統也符合結構I,但其每輛發射車裝4枚導彈,4枚導彈并聯后和發射車串聯,就又變得更復雜，如圖3所示。

2.3 確定系統的狀態

如果某幾個不同的狀態對應的系統執行任務的能力相同,則應將這幾個狀態合并為一個狀態。

可信度也就是武器系統在開始執行任務時刻處于某一狀態,而執行任務過程中的某時刻轉移為另一種狀態的概率。可信度矩陣是系統使用過程中,處于可工作狀態的度量,是系統在使用過程中完成規定任務或具備規定性能的量度。

如果系統在工作過程中的任一時刻,出現n個兩兩互斥事件中一個且僅出現一個,則稱這些事件為狀態。

圖3 愛國者防空導彈武器系統結構框圖Fig.3 Structure block diagram of Patriot air defense missile weapon system

防空導彈武器系統屬于復雜系統(含串并聯的復合系統),一個火力單元有多個目標通道,一個目標通道有多個導彈通道,狀態非常多。

下面本文整理幾種防空導彈武器系統的狀態數來觀察,如表1所示。

表1 幾種防空導彈武器系統的狀態數

仍以C-75D(SA-2)防空導彈武器系統為例,來說明防空導彈武器系統的狀態及狀態轉移。如表2所示。由表2可以看出,C-75D(SA-2)防空導彈武器共有7種狀態,狀態1～6,系統處于可用狀態,狀態7為故障狀態。

表2 C-75D(SA-2)防空導彈武器系統的狀態表

2.4 建立狀態轉移概率矩陣

系統從Si狀態開始執行任務后,在執行過程中處于Sj狀態(有效狀態)的概率為pij,稱為pij轉移概率,pij的狀態轉移如圖4所示。狀態轉移概率pij只取決于狀態Si和狀態Sj,而與所有以前的狀態無關,這是Markov隨機過程。若假設系統有n個狀態,每一種狀態都可能轉變為這n種狀態中的任意一種狀態,則共有n2個狀態轉移概率pij(i,j=1,2,…,n)。n2個狀態轉移概率,按同一起始轉移狀態排成一行,同一結束狀態排成一列,則按狀態順序可以排成一個n階方陣,稱為狀態轉移概率矩陣P=(pij)n×n,即

(5)

式中,pij為系統從Si狀態經過一次轉移到Sj狀態的概率。

圖4 C-75D(SA-2)防空導彈武器系統狀態轉移示意圖Fig.4 Schematic diagram of state transition of C-75D(SA-2) air defense missile weapon system

特別地,如果系統不可修復,則狀態轉移概率矩陣P是一個上三角矩陣,即

(6)

對狀態轉移概率矩陣P進行檢驗。利用矩陣P的兩條重要性質,來檢驗所建立的矩陣P的正確性。

矩陣中的元素即狀態轉移概率pij只與故障率λ和修復率μ有關。

由圖4可見防空導彈武器系統的狀態轉移非常復雜,如美國的愛國者防空導彈武器系統,每個火力單元有8輛發射車,每輛發射車裝4發導彈;而每個火力單元的配套數量內,如發射車由于陣地配置、防守方位、目標的不同,不能認為沒有差異,因此狀態會更復雜。

2.5 建立系統狀態方程

現在考慮兩種狀態Si和Sj,當系統在t時刻處于狀態Si的概率為pi(t)時,根據狀態轉移概率pij,可知經過Δt時間后,系統轉移到狀態Sj的概率為pijΔt,記系統在t時刻處于各種狀態的概率為

(7)

則在t+Δt時刻系統處于狀態Sj的概率為

Pj(t)=pi(t)pijΔt

(8)

由于t時刻系統可能處于n種的任一狀態,經過Δt時間后每一種狀態都可能轉移到狀態Sj,因此,在t+Δt時刻系統處于各狀態的概率為

(9)

將方程組式(9)的第1,第2,…,第n個等式兩邊分別減去p1(t)Δt,p2(t)Δt,…,pn(t)Δt后,得

(10)

令Δt→0,即得到系統的狀態方程,其是一個一階線性常系數微分方程,用矩陣表示為

(11)

式中,U=[P′-I],P′為狀態轉移概率矩陣P的轉置矩陣,I是與P′同階的單位矩陣;p(t)為列向量。

(12)

2.6 通過狀態方程求解可信度矩陣

在初始時刻系統可能處于n種狀態中的任一種,所以狀態方程式有n個初始條件:

(13)

求出狀態方程的通解后,代入n個初始條件得到n個特解,如式(13)表示。

(14)

式中,d1(t)表示系統在初始狀態為p01于t時刻轉移到各狀態的概率;d2(t)表示系統在初始狀態為p02于t時刻轉移到各狀態的概率;以此類推,dn(t)表示系統在初始狀態為p0n于t時刻轉移到各狀態的概率。

將這n個特解寫成矩陣形式,即得到系統的可信度矩陣

(15)

為了將復雜問題合理簡化,根據防空導彈武器系統執行任務的特點,由于其屬于快速反應系統,每個作戰過程時間很短,射擊中來不及對失效部件進行修復,也就可以不考慮在執行任務的過程中的修理,即其可信度矩陣的某些元素為零。因為在開始執行任務后(或執行任務時)處于故障狀態的單元不可能再開始工作,所以其中這些單元對應的元素都等于零。而且,狀態序號越大(時間越靠后)故障越多,這時可信矩陣為一個三角矩陣。如果系統是一個不可修復系統,則其狀態轉移概率矩陣P是一個上三角矩陣,對應的狀態方程系數矩陣是一個下三角矩陣,狀態方程和求解過程都可簡化,而較容易得到可信度矩陣D，即

D=(dij)n×m,i>j時dij=0

(16)

3 算例

下面研究兩個例子,第一個是最簡單、最典型的防空導彈武器系統的模型,借此說明計算的步驟和方法應用,第二個繼續研究第2節討論的C-75D(SA-2)防空導彈武器系統例子,通過算例來對模型進行豐富完善。

算例 1 某防空導彈武器系統A只有正常和故障兩種狀態,系統的故障率為λ,修復率為μ。按可修復和不可修復分別計算工作中t時刻系統的可信度矩陣;若系統的MTBF=40 h,計算不可修復情況下連續工作2 h是系統的可信度矩陣。

下面進行分析,將系統A的正常狀態記為S1,故障狀態記為S2。

(1) 如果防空導彈武器系統A是一個可修復系統。

首先來分析該系統狀態轉移矩陣P每一個元素的取值:

系統由狀態S1狀態轉移到狀態S1,即維持正常狀態不變,也就是未出故障。由于系統的故障率為λ,因此未出故障的概率為1-λ,故有p11=1-λ;

系統由狀態S1狀態轉移到狀態S2,即由正常狀態轉變為故障狀態。由于系統的故障率為λ,故有p12=1-λ;

系統由狀態S2狀態轉移到狀態S1,即故障狀態經修理后轉變為正常狀態。由于系統的修復率為μ,故有p21=μ;

系統由狀態S2狀態轉移到狀態S2,即維持故障狀態不變,也就是故障未修復。由于系統的修復率為μ,因此未修復的概率為1-μ,故有p22=1-μ。

于是,該系統的狀態轉移概率矩陣P為

(17)

利用矩陣P的兩條重要性質對狀態轉移概率矩陣P進行檢驗，建立的矩陣是正確的。

由狀態轉移概率矩陣建立狀態方程的系數矩陣U為

(18)

狀態方程為

(19)

可求得方程的通解為

(20)

該系統有兩種狀態,因此狀態方程有兩個初始條件

(21)

將這兩個初始條件分別代入通解,得到兩個特解為

(22)

于是,工作中t時刻系統的可信度矩陣D(t)為

(23)

式中,t為執行任務的持續時間;λ為故障率;μ為修復率。

(2) 如果防空導彈武器系統A是一個不可修復系統,即修復率為μ=0。

于是,該系統的狀態轉移概率矩陣P為

(24)

建立狀態方程的系數矩陣U為

(25)

狀態方程為

(26)

可求得方程的通解為

(27)

有兩個初始條件

(28)

將這兩個初始條件分別代入通解,得到兩個特解為

(29)

于是,工作中t時刻系統的可信度矩陣D(t)為

(30)

式中,t為執行任務的持續時間;λ為故障率。

系統的可靠度為

R(t)=e-λt

(31)

則可信度矩陣D(t)可記為

(32)

(3) 設該防空導彈武器系統MTBF=40 h,是一個不可修復系統,計算連續工作到2 h的可信賴矩陣。由條件可計算得

再由t=2 h,可求出工作到2 h時刻的系統可信度矩陣為

(33)

本例是一個最簡單、最典型的也是比較實用的防空導彈武器系統可信度矩陣的計算模型,因為相當數量的系統本身就是由多個部件串聯而成的系統,或者可簡化為由多個單元串聯而成的系統,而這類系統就只有正?；蚬收蟽煞N狀態,可直接參照本例進行可信度矩陣的計算。

算例 2 C-75D(SA-2)防空導彈武器系統由1輛C車、1輛R車、6輛F車和6枚導彈M(1枚導彈/車)組成,如圖2所示;如果C車MTBF:TC=120 h,R車MTBF:TR=55 h,F車MTBF:TF=350 h,導彈的可靠度RM=0.9;計算戰斗狀態持續t=0.25 h時,過程中不修復,單次射擊任務的可信度矩陣。

(1) 將串聯系統合并處理,這樣可靠度RC+R=RC·RR,RF+M=RF·RM。原系統就合并為7個單元,分別有可用和故障兩種狀態,如果不考慮不同發射車和導彈的差異則該武器系統有7種狀態,如表2所示，狀態轉移如圖4所示。那么可信度矩陣為7階方陣。

(2) 可以直接分析可信度矩陣中每一行元素的意義。

第1行表示系統初始狀態為S1,即指控雷達系統、發射車導彈都正常,系統正常,工作到t時刻,系統轉移到各狀態的概率:

d11為指控雷達系統、發射車導彈都正常,系統狀態仍為S1,表示為

d12為其中1個發射車導彈故障,系統狀態轉移到S2,表示為

d13為其中2個發射車導彈故障,系統狀態轉移到S3,表示為

d14為其中3個發射車導彈故障,系統狀態轉移到S4,表示為

d15為其中4個發射車導彈故障,系統狀態轉移到S5,表示為

d16為其中5個發射車導彈故障,系統狀態轉移到S6,表示為

d17為所有6個發射車導彈都故障或指控雷達故障,系統狀態轉移到S7,表示為

d17=RC+R·(1-RF+M)6+(1-RC+R)

第2行表示系統初始狀態為S2,即系統中1個發射車導彈故障,指控雷達系統、另外5個發射車導彈都正常,工作到t時刻,系統轉移到各狀態的概率:

d21=0為其中一個故障的發射車導彈在工作期間不可修復,系統狀態不能由S2轉移到S1。

d22為指控雷達系統正常,其中1個發射車導彈故障,系統狀態仍為S2,表示為

d23為其中2個發射車導彈故障,系統狀態轉移到S3,表示為

d24為其中3個發射車導彈故障,系統狀態轉移到S4,表示為

d25為其中4個發射車導彈故障,系統狀態轉移到S5,表示為

d26為其中5個發射車導彈故障,系統狀態轉移到S6,表示為

d27為所有6個發射車導彈都故障或指控雷達故障,系統狀態轉移到S7,表示為

d27=RC+R·(1-RF+M)5+(1-RC+R)

第3行表示系統初始狀態為S3,即系統中2個發射車導彈故障,指控雷達系統、另外4個發射車導彈都正常,工作到t時刻,系統轉移到各狀態的概率:

d31=d32=0為其中有故障的2個發射車導彈在工作期間不可修復,系統狀態不能由S3轉移到S1或S2。

d33為2個發射車導彈仍然故障,系統狀態仍為S3,表示為

d34為其中3個發射車導彈故障,系統狀態轉移到S4,表示為

d35為其中4個發射車導彈故障,系統狀態轉移到S5,表示為

d36為其中5個發射車導彈故障,系統狀態轉移到S6,表示為

d37為所有6個發射車導彈都故障或指控雷達故障,系統狀態轉移到S7,表示為

d37=RC+R·(1-RF+M)4+(1-RC+R)

第4行表示系統初始狀態為S4,即系統中3個發射車導彈故障,指控雷達系統、另外3個發射車導彈都正常,工作到t時刻,系統轉移到各狀態的概率:

d41=d42=d43=0為其中有故障的3個發射車導彈在工作期間不可修復,系統狀態不能由S4轉移到S1、S2或S3。

d44為3個發射車導彈仍然故障,系統狀態仍為S4,表示為

d45為其中4個發射車導彈故障,系統狀態轉移到S5,表示為

d46為其中5個發射車導彈故障,系統狀態轉移到S6,表示為

d47為所有6個發射車導彈都故障或指控雷達故障,系統狀態轉移到S7,表示為

d47=RC+R·(1-RF+M)3+(1-RC+R)

第5行表示系統初始狀態為S5,即系統中4個發射車導彈故障,指控雷達系統、另外2個發射車導彈都正常,工作到t時刻,系統轉移到各狀態的概率:

d51=d52=d53=d54=0為其中有故障的4個發射車導彈在工作期間不可修復,系統狀態不能由S5轉移到S1、S2、S3或S4。

d55為4個發射車導彈仍然故障,系統狀態仍為S5,表示為

d56為其中5個發射車導彈故障,系統狀態轉移到S6,表示為

d56=2RC+R·RF+M(1-RF+M)

d57為所有6個發射車導彈都故障或指控雷達故障,系統狀態轉移到S7,表示為

d57=RC+R·(1-RF+M)2+(1-RC+R)

第6行表示系統初始狀態為S6,即系統中5個發射車導彈故障,指控雷達系統、另外1個發射車導彈都正常,工作到t時刻,系統轉移到各狀態的概率:

d61=d62=d63=d64=d65=0為其中有故障的5個發射車導彈在工作期間不可修復,系統狀態不能由S6轉移到S1、S2、S3、S4或S5。

d66為5個發射車導彈仍然故障,系統狀態仍S6,表示為

d66=RC+R·RF+M

d67為所有6個發射車導彈都故障或指控雷達故障,系統狀態轉移到S7,表示為

d67=RC+R·(1-RF+M)+(1-RC+R)

第7行表示系統初始狀態為S7,即系統中所有6個發射車導彈都故障,或指控雷達系統故障,系統不能工作,由于系統不能修復,到t時刻,仍不能工作。即d71=d72=d73=d74=d75=d76=0，那么d77=1。

(3) 由條件計算得

那么

RC(0.25)=e-λC×0.25=0.997 9

RR(0.25)=e-λR×0.25=0.995 5

RF(0.25)=e-λF×0.25=0.999 3

由

R1=RC+R=RC·RR=0.993 4

R2=RF+M=RF·RM=0.899 4

(34)

(4) 經檢驗,矩陣D(t)中每行元素和為1。

4 結 論

防空導彈武器系統可信度矩陣的計算步驟,通過系統的狀態方程,是一個一階常微分方程,求通解,再由初始條件求特解,得到可信度矩陣,算例1就是采用這種方法計算的。也可以看出,對于系統狀態較多時,計算過程復雜,可利用Matlab編程采用龍格庫塔法求解微分方程。

算例2采用的是分析法,把可信度矩陣中的元素用可靠度表達出來,比較易于理解。這需要對系統及各單元的可靠度比較清楚。

研究與評定武器系統的作戰適應性問題越來越引起高度重視,其受武器系統的可靠性、維修性、測試性、保障性、可用性、安全性、兼容性、互用性等多種因素的綜合影響,即綜合考慮完成任務的能力高低、生存能力的強弱與武器系統互操作性等,可信性量化計算困難。本文研究通過解析計算利用定量分析方法,使問題明確化,比較直觀,便于決策。

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Dependability modeling research of air-defense missile weapon systems

ZHAO Yue-qiang1,2, MAI Qiang1, XU Qing-yan3

(1.SchoolofManagement,HarbinInstituteofTechnology,Harbin150001,China; 2.DefenseTechnologyAcademyofChinaAerospaceScience&IndustryCorporation,Beijing100854,China;3.SchoolofMaterialsScienceandEngineering,TsinghuaUniversity,Beijing100084,China)

Effectiveness of the air defense missile weapon system is usually evaluated by the ADC (availability,dependability,capability) model. With the development of equipment and the promotion of confrontation complexity,the modeling and analysis of the system dependability is one of the key issues. By analyzing the functional structure of the equipment, analyzing all possible system states and state transformation probability, the solution model of the dependability is established. The model is further proved by a numerical example, and the applicability of the model is verified.

air defense missile; system effectiveness; ADC model; dependability model

2016-05-04;

2016-09-13;網絡優先出版日期:2016-11-22。

TJ 761.1, N 945.17

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.12.15

趙曰強(1970-),男,研究員,博士研究生,主要研究方向為航天系統總體、系統工程管理。

E-mail:zhyqng@hotmail.com

麥 強(1977-),男,副教授,博士,主要研究方向為航天系統工程。

E-mail:maiqianghit2003@126.com

許慶彥(1971-),男,教授,博士,博士研究生導師,主要研究方向為材料建模與仿真。

E-mail:scjxqy@tsinghua.edu.cn

網絡優先出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20161122.1347.022.html