梁彎曲正應力公式適用條件探討

韓芳，磨季云，李明方

（1. 武漢科技大學 理學院，湖北 武漢 430081；2. 冶金工業過程系統科學湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430081）

梁彎曲正應力公式適用條件探討

韓芳1，2，磨季云1，李明方1

（1. 武漢科技大學 理學院，湖北 武漢 430081；2. 冶金工業過程系統科學湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430081）

材料力學和彈性力學作為工科類專業的一門基礎課，公式較為復雜.針對材料力學和彈性力學中對梁彎曲正應力推導方式的不同，基于彈性力學有限元理論，采用有限元數值仿真軟件模擬不同跨高比條件下梁彎曲正應力的數值解，并與材料力學近似解進行對比和誤差分析，得到深梁和淺梁彎曲正應力公式的適用條件，為學生更形象直觀地理解知識點提供新的視角.

彈性力學；材料力學；彎曲正應力；力學課程

力學是理工科學生的基礎課，目前在力學課程教學中，材料力學在求解橫力彎曲梁構件的彎曲正應力時沿用了純彎曲時的計算公式，即采用了平面假定和各縱向纖維無擠壓的假定，得出的解是近似的［1］；彈性力學采用半逆解法對均布荷載作用下的梁構件進行了受力分析，結果形式復雜但精度較高［2-3］.一些研究人員對深梁和淺梁的應力分析也展開了討論［4-6］，授課過程中學生也會對2門課的同一個問題的不同解法產生疑慮.為了更直觀地表現應力解隨跨高比的變化規律，本文基于彈性力學有限元理論，采用有限元分析軟件ANSYS對不同跨高比條件下的梁進行受力分析［7-8］，得到其彎曲正應力隨跨高比變化的分布規律，為學生更形象直觀地理解知識點提供新的視角.

1 材料力學解

材料力學在求解橫力彎曲梁構件的彎曲正應力時沿用了純彎曲時的計算公式，即采用了平面假定和各縱向纖維無擠壓的假定，通過應力應變之間的物理關系，找出正應力在橫截面上的分布規律，再利用靜力平衡條件得到彎曲正應力與橫截面上彎矩間的關系，得到近似解［9-10］

其中：M為橫截面上的彎矩；Iz為截面的形心主慣性矩；y為橫截面上正應力計算點處到中性軸的距離.

2 彈性力學解

取單位寬帶的矩形截面簡支梁（高度為h，長度為2l，不計體力）分析在均布荷載q作用下簡支梁的彎曲正應力，經過假設應力分量函數形式，推求應力函數，由相容方程求解應力函數，由應力函數求解應力分量，代入邊界條件等步驟后，得到彎曲正應力解析表達式

3 有限元建模與分析

圖1 跨高比為2時的模型（深梁）

圖2 跨高比為10時的模型（淺梁）

取跨中節點的應力和位移為考察點，得到不同跨高比條件下的應力解和位移解見表1、表2，應力誤差和位移誤差見圖3、圖4.

表1 不同跨高比條件下材料力學解與有限元解應力對比分析

表2 不同跨高比條件下材料力學解與有限元解位移對比分析

圖3 不同跨高比條件下的應力誤差

圖4 不同跨高比條件下的位移誤差

從圖3可以看出，隨著跨高比的增大，材料力學公式解和彈性力學有限元解之間的誤差逐步在減小.當跨高比在1～2.5之間，曲線變化陡降，誤差較大；當跨高比大于2.5時，其應力誤差已小于工程上所允許的最大誤差值5%，在可接受的范圍內，此后誤差保持在一個相當低的水平，這表明跨高比對節點應力的影響較小，可以忽略不計.換言之，采用材料力學應力公式求解梁的彎曲正應力是符合工程精度要求的.

從圖4可以看出，隨著跨高比的增大，位移誤差逐步在減小.當跨高比在1～5之間，曲線變化陡降，誤差較大；當跨高比大于5時，其位移誤差已在工程上所允許的范圍內.

通過對比材料力學解析解和彈性力學數值解的區別，可以為學生這樣解釋：深梁在均布荷載作用下，除受彎矩作用產生變形和應力以外，還因剪力作用梁上任意兩個相鄰截面之間發生了相對錯動，產生附加撓度，同時剪應力沿橫截面高度的非均勻分布使得截面不再保持為平面而引起翹曲，從而影響彎曲正應力的分布，區別于材料力學中的淺梁解.數值計算表明，當跨高比不小于5時，梁中各節點的正應力公式解和有限元解之間相差不大，已在可允許的范圍之內，在工程實際計算中采用材料力學公式解是可行的，但當跨高比小于5時，公式解的誤差太大，必須按照彈性力學求解.

4 結論

針對材料力學和彈性力學中對于梁彎曲正應力的公式推導過程的不同，采用數值仿真技術直觀顯示梁彎曲正應力隨梁跨高比的變化，定量得到公式的適用條件，有助于學生對知識點的理解和記憶.

［1］ 李卓球.工程力學［M］.武漢：武漢理工大學出版社，2009

［2］ 徐芝綸.彈性力學簡明教程［M］.北京：高等教育出版社，2002

［3］ 王潤富.彈性力學簡明教程學習指導［M］.北京：高等教育出版社，2004

［4］ 孫曄青.對橫力彎曲梁的正應力和撓度計算精度的研究［J］.南昌航空工業學院學報，2000，14（4）：56-60

［5］ 梅甫良，曾德順.深梁的精確解［J］.力學與實踐，2002，24（1）：58-60

［6］ 徐禮華，池寅，李榮渝，等.鋼纖維混凝土深梁非線性有限元分析ANSYS中的實現［J］.巖土力學，2008，29（9）：2577-2582

［7］ 董冠文，李宗義，王澤萌，等.工程力學的教學改革研究［J］.高師理科學刊，2015，35（4）：93-97

［8］ 胡清明，李東生，郭建華，等.有限元技術在工程力學教學中的應用探索［J］.高師理科學刊，2014，34（1）：104

［9］ 夏桂云，曾慶元.深梁理論的研究現狀與工程應用［J］.力學與實踐，2015，37（3）：302-316

［10］ 周道祥.用材料力學解的切應力求解彈性力學問題［J］.力學與實踐，2010，32（2）：116-118

Discussion on application conditions of bending normal stress in mechanics

HAN Fang1，2，MO Ji-yun1，LI Ming-fang1
（1. School of Science，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan 430081，China；
2. Hubei Province Key Laboratory of Systems Science in Metallurgical Process，Wuhan 430081，China）

Mechanics of materials and elasticity is an important course for engineering major students as its abstract theory and various formulas. For the different derivation process of the bending normal stress for deep beam and shallow beam in elastic mechanics and material mechanics，does research on the numerical solution for the bending normal stress of beams with different span-depth ratio based on the software and elastic finite element method theory. The simulation results are compared with the analytical solution and the application conditions of bending normal stress of deep beam and shallow beam are obtained applying a new viewpoint for understanding.

elastic mechanics；material mechanics；bending normal stress；mechanics

O34∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.06.027

1007-9831（2016）06-0092-03

2016-05-15

冶金工業過程系統科學湖北省重點實驗室基金項目（Y201519）

韓芳（1980-），女，湖北丹江口人，副教授，博士，主要從事工程力學研究.E-mail：hanfang522@163.com