專業自主增設內容，回看陳題洞察結構
——九年級“探究四點共圓”教學設計與解讀

☉江蘇省蘇州工業園區青劍湖學校 王友峰

專業自主增設內容，回看陳題洞察結構
——九年級“探究四點共圓”教學設計與解讀

☉江蘇省蘇州工業園區青劍湖學校 王友峰

在最近一次教學研討活動中，筆者有機會執教九年級“探究四點共圓”，得到教師的好評.本文梳理該課教學設計，并解讀設計意圖，供研討.

一、“探究‘四點共圓’”教學流程

教學環節（一）從三角形外接圓出發

圖1

圖2

圖3

提問：在⊙O上再取一個點D，觀察、分析四邊形ABCD有什么特殊.（圓的內接四邊形對角互補）

預設活動：學生在上述圖形中分別取一個點D，得出如下圖形：

圖4

圖5

圖6

提問：這三個內接四邊形中，哪一個可能成為平行四邊形？為什么？

預設：圖5中，該平行四邊形此時應該為矩形.

教學環節（二）探究“四點共圓”

逆向思考：怎樣的四邊形能找出它的外接圓？

預設：比如矩形、等腰梯形、共斜邊的兩個直角三角形的四個頂點組成的四邊形的共同特征，對角線并不一定相等，但對角互補.獲得猜想：對角互補的四邊形，過它的四個頂點能作一個圓.

預設：鼓勵學生利用反證法證明命題“對角互補的四邊形，過它的四個頂點能作一個圓.”

已知：如圖7，四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°.

求證：四邊形ABCD內接于一個圓（A、B、C、D四點共圓）.

證明：用反證法，過A、B、C作⊙O，假設D不在⊙O上，則D在圓外或圓內.

若D在圓外，設CD交⊙O于D′，連接AD′，根據圓內接四邊形的性質得∠B+∠CD′A＝180°.又∠B+∠D＝180°，則∠CD′A＝∠D.這與三角形外角性質矛盾，故D不可能在圓外.

類似地，可證D不可能在圓內.

則D在⊙O上，也即A、B、C、D四點共圓.

教學環節（三）例題訓練，鞏固新知

例1下列圖形中，你發現哪四個點共圓？為什么？（1）如圖8，PA、PB與⊙O分別相切于A、B兩點.

圖7

圖8

圖9

圖10

（2）如圖9，⊙O中，點C是弧AB的中點，過點C分別作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D、E.

（3）如圖10，菱形ABCD的四邊中點分別為E、F、G、H.

設計意圖：通過四個學生熟悉的圖形，引導他們發現其中的“四點共圓”.

例2圓在腦中：

（1）如圖11，∠DCE是四邊形ABCD的一個外角，如果∠DCE＝∠A，那么同時過點A、B、C、D能否作一個圓？

圖11

圖12

圖13

設計意圖：考查學生能否由四邊形的對角互補判定該四邊形的四個頂點共圓.

（2）如圖12，經過四邊形ABCD的四個頂點可以作一個圓，若∠A＝120°，則∠C的度數是？

設計意圖：考查學生對圓內接四邊形對角互補的掌握情況.

（3）如圖13，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠CAD＝16°，則∠ABD的度數是？

設計意圖：考查學生對對角互補四邊形四個頂點共圓的應用.

教學環節（四）反思“舊題”，看清“結構”

例3如圖14，四邊形ABCD是一個正方形.點E、F在邊AD、CD上，且AE＝DF，連接BE、AF.

圖14

圖15

（1）圖中哪四個點在同一個圓上？為什么？

（2）如圖15，連接CG、BF，求證：∠FBC＝∠FGC.

例4如圖16，四邊形ABCD是正方形，點E是BC的中點，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分線CF于F.求證：AE＝EF.

圖16

圖17

設計意圖：學生如果基于全等的證法解決問題，則給出追問：有人發現基于構造圓的思考，點A、E、C、F四點在同一個圓上，也能解決這個問題，并引導學生發現圖17這樣的結構.

布置作業（略），下課.

二、教學立意的進一步解讀

1.關注教材活動，專業自主組織“學材”

當前不少版本的數學教材在九年級圓這一章，都沒有安排“四點共圓”作為一個課時來研究，然而我們在很多考題中見到“四點共圓”的結構.是在以后中考二次復習時再安排一節所謂的專題課復習四點共圓，還是在新授課結束之后的單元復習時就增設這一節習題課呢？我們選擇了后者.因為九年級學生解題能力已經達到一定的高度，這里在單元復習時可以選擇由三角形外接圓出發，自然而然地探究四點共圓，也是數學從特殊走向一般、成果擴大化的一種探究取向，是值得教學嘗試的，更是我們一線教師專業自主的體現.想起著名特級教師李庾南老師近年來倡導的“學材再建構”，我們基于數學知識的前后理解，自主研發、組織教學內容，也應該屬于一種積極的“學材再建構”吧.

2.預設開放問題，促進對話互動生成

在上述課例多個活動中，我們設計了多處開放式問題，比如，開課階段安排學生作出不同三角形的外接圓，接著自主添加一個點D，研究四邊形與外接圓問題；在探究新知環節，對于如何證明對角互補的四邊形的四個頂點共圓，引導學生從反證法的角度思考問題，通過追問、對話，促進難點突破.在后續例題（例1、例2）題組的研究中，鼓勵學生先猜想解答，再追問他們解答的依據，暴露思維過程.這樣既使問題的呈現簡約，又在對話、追問過程中追求了“開放的數學教學”（鄭毓信教授語）.

3.回看經典習題，引導回顧反思結構

在例題教學的后半段，例3、例4分別選自八年級教材上的兩道經典習題，在八年級，學生已經能利用四邊形、全等三角形等實現證明，但證明的思路、步驟都較繁雜，而基于“四點共圓”的思路，則可以看清問題結構，獲得更直接、深刻的證明與解答.這事實上也就是所謂的基于“高觀點”下的解題追求.當我們站在區域性制高點俯看一些更初等問題時，往往能看得更全面和清晰.圓這一章作為平面幾何圖形最后的內容，自然有著很多統領性的功能和價值，這節課的學習，也是想讓學生感受這種學習的深度與高度.

三、結束語

有了本次自主研發教學內容的嘗試，我們更加感受到作為教師的專業自主的重要性，事實上就四點共圓的類似課例來說，僅在幾何中就可研發很多類似的課例，比如八年級平行四邊形一章中可以關注“中點四邊形”“探究重心定理”，相似形中可探究“射影定理”等經典圖形及性質.當然，我們的思考還是初步的，期待更多實踐課例的分享與展示.

1.朱金祥.依賴“基本套路”，走向“用教材教”——李庾南老師“反比例函數”課例賞析［J］.中學數學（下），2016（10）.

2.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

3.陳愛軍.預設互動促進對話，課件簡約漸次展現——李庾南老師“函數的圖像”課例賞析［J］.中學數學（下），2016（10）.

4.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.Z