“分類討論”：需要，但不能“失控”——以兩道繁雜分類討論考題為例

☉江蘇省如皋市搬經(jīng)鎮(zhèn)高明學(xué)校 黃志峰

“分類討論”：需要，但不能“失控”
——以兩道繁雜分類討論考題為例

☉江蘇省如皋市搬經(jīng)鎮(zhèn)高明學(xué)校 黃志峰

每年上半年是中考復(fù)習(xí)的關(guān)鍵時期，這段時間學(xué)生會經(jīng)歷多次的模考練習(xí)，然而有些模考試題由于隨意復(fù)制、粘貼，簡單的拿來主義，為了在最后一題追求所謂的壓軸題，為了難住優(yōu)秀學(xué)生，往往容易選取一些需要分類討論的考題，但也有一些考題由于命題者個性化喜好，考題的分類討論陷入失控、無度的范圍，使得備考師生茫然無措，本文列舉兩道模考題，并跟進批判與商榷，提供研討.

一、兩道繁雜分類討論的模考題

考題1（2014年浙江湖州中考卷）如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點，以P（1，1）為圓心的⊙P與x軸、y軸分別相切于點M和N，點F從點M出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，連接PF，過點P作PE⊥PF交y軸于點E，設(shè)點F運動的時間是t秒（t＞0）.

圖1

（1）略；

（2）在點F運動的過程中，設(shè)OE=m，OF=n，試用含m的代數(shù)式表示n；

（3）作點F關(guān)于點M的對稱點G，經(jīng)過M、E和G三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，連接QE.在點F運動的過程中，是否存在某一時刻t，使得以Q、O、E為頂點的三角形與以P、M、F為頂點的三角形相似？

思路概述：限于篇幅，我們不準(zhǔn)備詳細講評思路突破，只是簡略提及該題的分類討論的要點.

（2）所配圖形只是示意圖，需分別思考點E在y軸負(fù)半軸或正半軸或原點時的情況.

（3）需要分很多種情況討論，一級分類可以從1＜t＜2，t＞2開展，然后二級分類再從不同的三角形相似對應(yīng)邊的情況進行考慮，列出相應(yīng)的比例式構(gòu)造方程求解，求解關(guān)鍵是用含t的式子表示點Q的坐標(biāo)及OQ的長.

考題2（2014年吉林長春中考卷）如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，O為對角線BD的中點，點P從點A出發(fā)，沿折線AD-DO-OC以每秒一個單位長度的速度向終點C運動，當(dāng)點P與點A不重合時，過點P作PQ⊥AB于點Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN，設(shè)正方形PQMN與△ABD重疊部分的面積為S（平方單位），點P運動的時間為t（秒）.

圖2

（1）求點N落在BD上時t的值；

（2）直接寫出點O在正方形PQMN內(nèi)部時t的取值范圍；

（3）當(dāng)點P在折線AO-DO上運動時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）直接寫出直線DN平分△BCD的面積時t的值.

圖3

圖4

圖5

思路概述：這道考題以運動變化為背景，在點P沿折線運動時，伴隨一個正方形的變化而增加解題層次，從第（2）問就需要考慮不同的運動位置，數(shù)學(xué)直覺的理解要求漸高.而第（3）問則需要分當(dāng)0＜t≤＜t≤3，3＜時，對應(yīng)著圖3、圖4、圖5的三種情況.最后一種情況運算量漸大，待求S即為梯形PQME的面積，即S=S梯

第（4）問首先要想清點N落在△BCD的中線DE上.然后再分不同情形構(gòu)造圖形，當(dāng)點P在線段AD上（如圖6）；當(dāng)點P在線段DO上（如圖7）；當(dāng)點P在線段OC上（如圖8）.

圖6

圖7

圖8

值得一說的是，如果檢索網(wǎng)絡(luò)上傳播的該題答案，筆者下載后以5號字打印規(guī)范過程，使用了5頁A4紙，實在讓人驚訝！這樣的冗長解答的試題是怎樣通過層層打磨、審題，最后成為一道中考試題，而且又在各級模考試題中頻繁出現(xiàn)的？難道這種流行題型代表了當(dāng)前的一種壓軸題命題方向？以下就圍繞全卷命題時對分類討論的考查展開一些反思.

二、全卷命題時“分類討論”考查的思考

1.分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想方法，全卷命題時需要考查

進入初中之后，數(shù)系進一步擴充，歐氏幾何上場，很多數(shù)學(xué)概念都存在多種表現(xiàn)形式和可能的情況，這時分類討論的解題方法就頻繁登場，從初一到初三各級考試中，幾乎每份試卷都會涉及分類討論的考查，這是值得肯定的.具體來說，有理數(shù)引入之后，用一個字母a表示一個數(shù)時，就需要引導(dǎo)學(xué)生分類思考數(shù)a是正數(shù)、零、負(fù)數(shù)；將其對應(yīng)在數(shù)軸上的點A，就需要引導(dǎo)考慮點A與原點的位置關(guān)系，而這些都是后續(xù)平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)圖像問題研究的基礎(chǔ).根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗，學(xué)生在中考時一道綜合題中沒有分類討論，深究起來，往往由他在初一時對一個點與原點位置關(guān)系的分類理解不深導(dǎo)致.這也就要求我們在初中起始階段只要有分類討論的必要，就要在全卷設(shè)計時進行考查和關(guān)注，以使讓學(xué)生重視分類討論的思想方法.

2.分類討論考查學(xué)生思維的縝密性，全卷不宜多次考查

分類討論思想方法主要考查學(xué)生思維的縝密性，不重不漏地思考所有情況，不但是教學(xué)中要重視的訓(xùn)練方向，同時在全卷命題時也要充分考慮.但是全卷考查要求覆蓋知識點的全面性，考查數(shù)學(xué)思想方法的多樣化，包括數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模、分類討論、待定系數(shù)、整體思想、抽象分離、排除干擾等數(shù)學(xué)能力都在考查范圍，可以根據(jù)全卷考查范圍而有所側(cè)重，但不可偏廢，特別是在全卷30道小題的考查中，出現(xiàn)4道或以上考題都需要分類討論，這就值得商榷了.事實上，從測量學(xué)角度上說，如果學(xué)生在思維縝密性上偏弱時，全卷考查時多次考查這個維度，造成該考生反復(fù)失分，對該考生也是一種反復(fù)“傷害”，這是值得命題時注意的.

3.分類討論考查數(shù)學(xué)核心概念理解，注意適當(dāng)切忌“失控”

如上所述有理數(shù)范圍的分類討論那樣，關(guān)注數(shù)學(xué)核心概念的理解是全卷考查的重點，除了代數(shù)領(lǐng)域有很多分類討論的案例，在幾何學(xué)中也有很多這樣的案例.比如圖形位置關(guān)系的領(lǐng)域中，以初一所學(xué)的點和直線位置關(guān)系來說，分兩種：點在直線上、點在直線外；初三所學(xué)的點與圓的不同位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系等，都是“一脈相承”的，屬于同一類型的研究套路，全卷命題時要注意兼顧這些數(shù)學(xué)概念的考查，考查學(xué)生分類討論的掌握情況.但是像上面模考1就陷入了失控的狀態(tài)，即分類討論無需累加到如此地步，要知道對于當(dāng)下“時間緊、題量大”的考試來說，如果平心而論，也許120分鐘的考試，只要一道“模考1”就夠?qū)W生忙得不亦樂乎了；再比如模考2這道考題，從第（2）問就開始要考慮運動的兩處極端位置，到第（3）、（4）問的分類討論已陷入“失控”狀態(tài)，對于優(yōu)秀考生來說，思路一看就知，但是構(gòu)造圖形、繁雜運算之路漫漫，這種導(dǎo)向“少思多算”的命題風(fēng)格也許就是命題組的數(shù)學(xué)旨趣和教學(xué)取向.作為重要影響的考試來說，以這樣的數(shù)學(xué)試卷傳遞一個地區(qū)的命題導(dǎo)向，“逼著”全樣本的學(xué)生思考命題組個人喜歡的數(shù)學(xué)問題，實在讓人遺憾.

三、命題改編

知易行難，以下本著個人興趣，對模考題2給出筆者的變式改編，提供分享.

考題2變式改編如圖2，O為矩形ABCD的對稱中心，AB=8cm，BC=6cm.點P從點A出發(fā)，沿折線AD-DOOC以2cm/s的速度向終點C運動，過點P作PQ⊥AB于點Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN.設(shè)運動時為ts.

（1）當(dāng)t=2時，點N是否落在BO上嗎？為什么？

（2）直接寫出中心O在正方形PQMN內(nèi)部時t的取值范圍；

（3）當(dāng)直線DN平分△DOC的面積時，求t的值.

改編意圖：刪減了原題的第（2）問，精減了題干表述，而且第（3）問需要學(xué)生組織語句，增強解答題的過程要求.

四、寫在最后

命題研究是一個非常廣泛的教研領(lǐng)域，不但涉及具體試題的呈現(xiàn)形式、難易把握、考查側(cè)重點的預(yù)設(shè)和研磨之外，將一道試題放到整卷中某一個位置時，仍然需要思考該題在全卷中的地位、價值、導(dǎo)向，特別是該題與全卷中其他試題之間的相容性，都是需要精心構(gòu)思的.從這個角度看，當(dāng)下很多簡單拼湊的試卷還不在少數(shù)，個別地區(qū)的命題還采用所謂的網(wǎng)絡(luò)自動組卷來應(yīng)對，想來，在命題如此專業(yè)化的領(lǐng)域，智能化時代似乎來得太早了吧？

1.劉東升.一次期中考試閱卷隨筆［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2016（1-2）.

2.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3.夏德祥.繁簡難易：中考把關(guān)題的命題研討——以2016年江蘇揚州中考第28題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（7）.

4.楊衛(wèi)東.客從何處來：一道幾何把關(guān)題的命題歷程［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（8）.

5.朱國生.反思考題難點，預(yù)設(shè)“一題一課”——以2016年江蘇南通中考卷第28題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.H