經典問題有新意，命題教學雙引領
——由清華附中初三上學期月考壓軸題說起

☉江蘇省揚州市邗江實驗學校 劉黎銘

經典問題有新意，命題教學雙引領
——由清華附中初三上學期月考壓軸題說起

☉江蘇省揚州市邗江實驗學校 劉黎銘

在當下月考制度是很多學校一項教學常規之時，不少月考卷的質量低下也常常成為人們評論的熱點，而在一些重點學校往往比較重視校級層面的命題與審題工作，而且能有一兩道把關題精心設計，推陳出新，既有效檢測了學生近期學習的效果，又引導著數學知識的前后關聯.本文關注一道北京清華附中初三月考題，先給出解題思路，再跟進命題和教學思考，提供研討.

一、考題及思路突破

考題（2016～2017學年北京清華附中初三12月份月考卷）如圖1，在正方形ABCD中，P是邊BC上的一個動點（不與B、C重合），線段AP的垂直平分線分別交AB，DC于M，N兩點，AP交MN于E點.

（1）求證：MN=AP；

（2）如圖2，連接DB，交MN于點Q，求證：EQ=ME+NQ.

圖1

圖2

思路簡述：（1）這是關于正方形的一類經典問題，在圖1中，AP⊥MN時，一定能證出AP=MN.構造全等三角形可實現證明，具體說，有如下兩種構造全等的方法，如圖3、圖4.

圖3

圖4

在圖3中，證明△ABP≌△DAG，可得DG=MN=AP；在圖4中，證明△ABP≌NGM，MN=AP.

（2）這個待證的結論比較奇異，要實現證明需要較強的幾何構造能力.切入點是利用正方形的軸對稱性質、線段垂直平分線性質，以及上一問的結論MN=AP.

構造圖5，容易發現本題的深層結構，根據正方形的軸對稱性質有QA=QC，根據MN垂直平分AP，有QA=QP，容易發現A，P，C三點均在圓Q上，此時結合同弧所對的圓周角是圓心角2倍，有∠AQP=2∠ACB=90°，所以△APQ是等腰直角三角形.而QE⊥AP，根據三線合一，有QE=AP，等量代換得QE=MN.即EQ=ME+QN.

圖5

圖6

解后反思：第（1）問比較經典和簡單，這里不再給出說明.第（2）問在上述證明過程中一個重要進展是證出“△APQ是等腰直角三角形”，有了這個進展，可以利用直角三角形斜邊上的中線溝通QE=AP.以下我們再從另外的角度貫通思路：

另解1：從上面的分析知，問題的關鍵是證∠AQP為直角.如圖6，根據對稱性有AQ=CQ，由線段MN垂直平分AP，所以AQ=PQ，所以∠BAQ=∠BCQ=∠QPC，所以∠BAQ+∠BPQ=180°，所以在四邊形ABPQ中，∠AQP+∠ABP=180°，所以∠AQP=90°，于是問題獲得突破.

圖7

圖8

另解2：根據對稱性可考慮作QG⊥AB，QH⊥BC，垂足分別為G，H，再證△AQG≌△PQH，可得∠AQP=∠GQH=90°，問題獲得突破.

另解3：（截長補短，問題轉化為證明兩條線段相等）如圖7，作PH⊥BC交MN于H點，易證△AME≌△PHE，HE=ME，PH=AM.接著平移線段MN至DG，易證△DAG≌△ABP，AG=BP=PK，HK=MG=DN.

接著證出HK=DN，HK//DN，△HKQ≌△NDQ，HQ= NQ.所以ME=EH，HQ=NQ，EQ=ME+NQ.

二、命題思考

1.經典問題，推陳出新，簡約呈現，引發深思

清華附中初三月考卷選用一道八年級經典正方形問題作為設問背景，推陳出新，題干簡約好懂，呈現簡約，圖形線條也不是很多，第（1）問比較基礎，引導更多學生參與進來，但是要想解決第（2）問又需要有足夠的挑戰實力，對正方形軸對稱性質、線段垂直平分線的性質有較為充分的考查.

2.指令明確，殊途同歸，蘊藏結構，值得回味

在本考題簡潔呈現之外，我們還注意到問題設問上指令明確，最后一問直截了當，讓學生證明，而不是猜想三條線段之間的數量關系.具體求解時，可以走“截長補短”的全等路徑，但構造較繁，而基于“共圓”的視角可洞察問題的深層結構，使得考題求解之后，仍然有深入思考的空間，值得回味.

三、教學思考

1.重視對經典問題的再回顧，洞察問題結構

這道試題給我們帶來了很多教學啟示，比如，要重視對經典問題的再回顧，以幾何為例，初中幾何經典問題是很多的，這些幾何問題在七年級、八年級、九年級都會出現，解決的角度或層次都不一樣，學生獲得的理解方法也不一樣.比如七年級幾何初步時，可以安排學生度量四邊形的四邊之和與對角線之和的大小，并運用尺規作圖驗證性質；而到八年級三角形一章時，可以利用三邊之關系證明；再比如在八年級上學期三角形學習時，涉及兩邊中點連線段（中位線），可以通過度量、驗證出三角形中位線與第三邊的位置和數量關系，而到八年級下學期學習平行四邊形之后，可以探究三角形中位線性質，而且可以提出一個重要的命題“求證三角形一邊上的中線與另外邊中點連線段互相平分”，這樣就可關聯八年級上冊、下冊的學習內容.而像上文中的考題這樣，可以引導學生站在初三圓的高觀點反觀之前所學、所證的習題與思路，洞察問題的深層結構，對問題的理解達到新的高度.

2.重視對精準作圖的嚴要求，加強文圖對應

筆者曾有機會研習上個世紀我國著名數學教育家傅種孫先生編寫的《平面幾何教本》，該教材中傅先生十分重視幾何作圖的示范與糾錯.根據我們的教學實踐，目前的幾何教材中對作圖的要求一降再降，各級考試中對作圖的要求也一降再降，這不得不說是一種遺憾.我們發現，不少學生的幾何能力偏弱，常常表現在閱讀幾何語言、符號語言時，不能精準對應到圖形上去，有些學生甚至根據幾何語句不能唯一對應地畫出精準圖形，從而思路受阻.從這意義上說，清華附中這道考題第（2）問求證時，需要學生其有較為精準的構圖能力，也是對教學的一次強有力的引領.

3.重視考后講評與反思分析，開展變式再練

平時的階段測試之后，除了要針對學生得分情況進行應試層面的分析，還需要精心構思試卷中典型問題的講評與變式拓展，比如引導學生分析不同解法之間的關聯，不同解法繁簡的對比，不同解法對應著哪一個年級哪個章節中的某個數學知識或性質，一種解法的念頭是如何產生的，怎樣回歸到基本概念獲得思路突破等，多引導學生反思回顧，有不少老師安排學生以“數學寫作”的方式究錯或訂正，也是一種值得提倡的方式.作為文末，我們也對上文中的考題做出變式改編，提供分享：

變式再練題：如圖1，在正方形ABCD中，P是邊BC上的一個動點（不與B、C重合），線段AP的垂直平分線分別交AB，DC于M，N兩點，AP交MN于E點.

（1）當P為BC邊的中點時，求tan∠AMN的值.

（2）在（1）的條件下，試比較AE與BP的大小，并說明理由.

（3）如圖2，連接DB，交MN于點Q，連接AQ，PQ.

①判斷AQ與PQ的位置關系，并說明理由；

②求證：EQ=AE；

③當點Q為△APM的外心時，求tan∠MQB的值.

改編意圖：前兩問屬于特例引路，并且引導學生回顧正切函數的定義，與最后一問的正切函數值做好呼應；第（3）問對應著原考題的第（2）問，但增加“判斷AQ與PQ的位置關系”是個臺階，學生探究出它們之間垂直關系之后，可以發現△AQP是等腰直角三角形，對于進一步研究“EQ=AE”是有益的；而最后一小問是圓Q的一種特殊情況，即該圓與AB邊的另一個交點恰為M點，此時∠AQM=∠MQP=∠PQC=45°.

1.張英伯.傅種孫——中國現代數學教育的先驅［J］.數學教育學報，2008（1）.

2.傅種孫.平面幾何教本［M］.北京：北京師范大學出版社，1982.

3.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學研究［J］.數學教學，2003（1，2，3）.

4.許燕.從解題賞析走向教學研究——以2016年無錫卷第27題為例［J］.中學數學（下），2016（10）.H