把握試題精髓感悟教學價值

☉浙江省寧波市鄞州實驗中學 蔡衛兵

☉浙江省寧波市鄞州區鐘公廟中學 朱賢軍

把握試題精髓感悟教學價值

☉浙江省寧波市鄞州實驗中學 蔡衛兵

☉浙江省寧波市鄞州區鐘公廟中學 朱賢軍

縱觀寧波市近幾年的中考數學試卷，不難發現，圖形的分割與拼組猶如一棵“常青樹”，成為一道靚麗風景，究竟是怎樣的情結能讓它在試卷中堅守多年呢？我們又怎樣看待命題者的這份執著呢？它對我們今后的教學又有什么重要啟迪呢？帶著這些問題，讓我們一起來回眸中考，品味試題.

一、試題呈現

例1（2011年寧波卷第12題）如圖1，把四張形狀、大小完全相同的小長方形卡片（如圖①）不重疊地放在一個底面為長方形（長為mcm，寬為ncm）的盒子底部（如圖②），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，則圖②中兩塊陰影部分周長和是（）.

圖1

A.4mcm B.4ncmC.2（m+n）cm D.4（m-n）cm

評析：此題圖文結合，簡潔明了，以矩形紙片為素材，以生成的圖形周長為問題核心，具有PISA試題的三個明顯特征：情景、運用、思維.將整式的加減、矩形的性質、圖形的平移問題融會在基本圖形中，主要是將線段進行適當平移，組成新的線段，將未知轉化成已知來解決.例2（2013年寧波卷第12題）如圖2，7張如圖①所示的長為a、寬為b（a＞b）的小長方形紙片，按圖②的方式不重疊地放在矩形ABCD內，未被覆蓋的部分（兩個矩形）用陰影表示，設左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S.當BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，S始終保持不變，則a、b滿足（）.

圖2

評析：此題考查了整式的混合運算的應用，根據圖形和題意，找出各邊的等量關系是解答本題的關鍵.本題在把握“滿足條件時，線段AB恰好被該直線平分”這個本質基礎上考查學生對數與式的掌握，理解變量與不變量的辯證關系.它蘊含了初中數學中的重要數學思想——整體思想，更多地關注學生的思維能力和創新精神、洞察力，是融PISA理念和初中數學思想于一體的典型范例.

例3（2015年寧波卷第12題）如圖3，小明家的住房平面圖呈長方形，被分割成3個正方形和2個長方形后仍是中心對稱圖形.若只知道原住房平面圖長方形的周長，則分割后不用測量就能知道周長的圖形的標號為（）.

圖3

A.①②B.②③C.①③D.①②③

評析：此題考查的內容有數與式、矩形、正方形、中心對稱圖形的性質和應用，將方程思想、整體思想、數形結合思想、轉化思想、平移方法、幾何定值融會在基本圖形中，在問題解決的過程中考查學生對代數式的變形能力，以及運用圖形的變換分析問題的能力，著重考查學生的數學分析能力與數學基本素養.解答此題的關鍵是要明確中心對稱的性質：（1）關于中心對稱的兩個圖形能夠完全重合；（2）關于中心對稱的兩個圖形，對應點的連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分.

例4（2016年寧波卷第12題）圖4是一個由5張紙片拼成的平行四邊形，相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙，其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為S1，另兩張直角三角形紙片的面積都為S2，中間一張正方形紙片的面積為S3，則這個平行四邊形的面積一定可以表示為（）.

圖4

A.4S1B.4S2C.4S2+S3D.3S1+4S3

評析：此題從熟悉的趙爽弦圖和平方差公式的幾何解釋圖形的教材背景出發，抓住核心條件進行適當變式，一是將趙爽弦圖中的大正方形一般化，將四個全等的直角三角形特殊化，將平方差公式的幾何解釋圖形中的正方形、長方形分割，二是將直角三角形三邊關系探究生成整體圖形與局部圖形面積關系探究，將乘法公式的發現、驗證生成運用乘法公式探究面積關系，通過對面積關系的猜想、結論的判斷、推理與證明，實現對學生幾何直覺、幾何推理能力的有效考查.在問題解決的過程中突出考查學生的符號意識、圖形變換的方法和歸納探索、邏輯推理、空間想象等各種能力，讓學生體會數學的無窮魅力.

二、解法探究

例1解法分析1（凸顯符號意識）

設小長方形卡片的長為a，寬為b，再結合圖形得出上面的陰影周長為2（n-a+m-a），下面的陰影周長為2（m-2b+n-2b），所以總的陰影周長為2（n-a+m-a）+2（m-2b+ n-2b）=4m+4n-4（a+2b）.因為a+2b=m，所以4m+4n-4（a+ 2b）=4n，故選B.例1解法分析2（運用幾何直觀）如圖5，若將線段AE向上平移至DF，CG向左平移，結果不能完全拼成一個大長方形的長和寬，進而無法求解.但若換位思考，運用轉化思想，將AE轉化為BG，CF轉化為DH，不難發現AE+AH+ CG+CF=BG+AH+CG+DH=BG+CG+AH+DH=2n，從而可得總的陰影周長和為4n，故選B.

圖5

例2解法分析1（凸顯符號意識）

設BC=x，則左上角陰影部分的長為AE=x-a，寬為AF=3b，右下角陰影部分的長為PC=x-4b，寬為CG=a.

所以陰影部分面積之差S=AE·AF-PC·CG=3b（x-a）-a（x-4b）=3bx-3ab-ax+4ab=（3b-a）x+ab，則3b-a=0，即a=3b，故選B.

例2解法分析2（運用幾何直觀）

方法1：如圖6，當BC的長度變化時，左上角與右下角的陰影部分的面積的差S始終保持不變，運用轉化思想和整體思想可得矩形AFGD與矩形BFGC的面積的差不變，由此發現線段AB恰好被FG垂直平分，所以AF=DG=BF，即3b=a，故選B.

圖6

方法2：因為BC是變化的，所以從點P與點C重合開始，然后BC向右伸展，在此過程中左上角與右下角的陰影部分的另一邊始終分別為3b和a，另一條邊增加的長度相等，增加的面積相等，所以3b=a，故選B.

例3解法分析1（凸顯符號意識）

設住房平面圖長方形的長為a，寬為b，正方形②的邊長為x，正方形③的邊長為y.從橫向考慮，大長方形的長等于2個正方形②的邊長與1個正方形③的邊長的和，從縱向考慮，大長方形的寬等于2個正方形②的邊長與1個正方形③的邊長的差.由這兩個等量關系可得關于x、y的方程組解得所以長方形①的周長為2［（x+y）+（x-y）］=4x=a+b，正方形②的周長為4x=a+b，正方形③的周長為4y=2（a-b）.所以當給定大長方形的周長時，標號為①②的圖形周長為定值，故選A.

例3解法分析2（運用幾何直觀）

方法1：如圖7，將線段GN平移到DP處，線段PE平移到NB處，即GN=DP，PE=NB.又因為PE=EH+PH=GH+ PH，所以長方形①的周長=CP+NG+GH+PH+CN=CP+ DP+PE+CN=CD+NB+CN=CD+CB.

將線段PH平移到AQ處，線段QF平移到PC處，即PH=AQ，QF=PC.又因為QF=QE+EF=QE+EH，所以正方形②的周長=DP+QE+EH+PH+DQ=DP+PC+DA=DC+DA.所以標號為①②的圖形周長均為大長方形的周長的一半，即若只知道原住房平面圖長方形的周長，分割后圖形①②不用測量就能知道其周長，故選A.

圖7

圖8

方法2：如圖8，過對稱中心O沿虛線進行分割，則OX=OY=XH=YH，OI=YN=CD，XP=AD.

所以長方形①的周長=2（HN+HP）=2（HY+YN+HP）=2（HX+HP+YN）=2（XP+YN）=AD+CD；

所以正方形②的周長=2（QE+EP）=2（IX+EX+XP）= 2（IX+OX+XP）=2（OI+XP）=AD+CD.所以標號為①②的圖形的周長均為大長方形的周長的一半，即若只知道原住房平面圖長方形的周長，分割后①②圖形不用測量就能知道其周長.

例4解法分析1（凸顯符號意識）

設等腰直角三角形的直角邊長為a，正方形邊長為b，則S1=a2，S2=（a+b）（a-b）=（a2-b2），S3=b2.

所以平行四邊形面積=2S1+2S2+S3=a2+（a2-b2）+b2= 2a2=4S1，故選A.

例4解法分析2（運用幾何直觀）

方法1：如圖9，連接AC、BD、EF，設AC與BD的交點為O.

圖9

因為四邊形ABCD為平行四邊形，則OA=OC，OB=OD，平行四邊形ABCD的面積=4S△AOD.

易證四邊形BFDE為平行四邊形，則EF過BD的中點O.

易證EF∥AD，所以S△AOD=S△AED=S1.

所以平行四邊形ABCD的面積=4S1，故選A.

方法2：如圖10，將兩張等腰直角三角形紙片拼成面積為2S1的正方形，另兩張直角三角形紙片拼成面積為2S2的矩形.再由圖11可知2S2+S3=2S1或由圖12可知2S1-S3=2S2，由此平行四邊形面積=2S1+2S2+S3=2S1+2S1=4S1，故選A.

圖10

圖11

圖12

方法3：如圖13，將一張等腰直角三角形紙片分割成標號分別為①和②的兩部分，將標號為③的直角三角形放置到標號為⑥的位置，將標號為②的直角梯形放置到標號為⑦的位置，將標號為④的正方形放置到標號為⑧的位置，將標號為⑤的等腰直角三角形放置到標號為⑨的位置，由此可知平行四邊形ABCD的面積等于等腰直角三角形AFG的面積.因為AF=2AE，所以S△AFG=4S△AED=4S1，所以平行四邊形ABCD的面積=4S1，故選A.

圖13

三、試題感悟

1.發展符號意識，培養代數思維

數學的顯著特點是形式化、符號化，每一個概念或關系都有確定的符號表示.用字母和符號表示數及其運算或關系是代數學的一個基本特征.數學符號既是數學的語言，也是數學的工具，更是數學的方法，它具有抽象性、明確性、可操作性的特點，還具有簡略性和通用性等特點，它反映了表達意義的內在結構和邏輯關系，成為表達特定思想的載體和誘導思維的刺激物.例1中小長方形卡片的長和寬的符號化a、b方便表示上面的陰影周長為2（n-a+m-a）、下面的陰影周長為2（m-2b+n-2b）、總的陰影周長為4m+4n-4（a+2b）和清楚說明相關線段之間的內在關系a+2b=m；例2中線段BC長度的符號化x方便表示上面的陰影面積為3b（x-a）、下面的陰影面積為a（x-4b）、面積之差為（3b-a）x+ab和清楚說明常數函數S與自變量x的無關性；例3中住房平面圖長方形的長和寬、正方形②③的邊長的符號化a、b、x、y清楚說明橫縱向各線段之間的主要關系2x+y=a、2x-y=b和方便表示長方形①②③的周長分別為a+b、a+b、2（a-b）；例4中等腰直角三角形的直角邊長、正方形邊長的符號化a、b方便表示平行四邊形面積2a2和清楚說明面積之間的內在關系2S1-2S2=S3.實施符號化，即用字母表示相關線段的長，再用符號進行相關線段的數學表達、運算和推理.主動選擇相關線段“用字母表示線段長”是培養符號意識的可操作途徑，使用符號去構建代數式、方程、函數模型后進行數學思考和問題解決，感知符號的意義，培養符號意識，深化符號的運用，將解決具體問題的思維操作轉化為對符號的操作，有利于增強學生建立數學模型的意識，提高解決實際問題的能力，培養學生的數學語言表達能力，進一步深化符號感.

2.運用幾何直觀，展示數學魅力

幾何直觀就是依托利用圖形進行數學的思考與想象，可以理解為借助見到的或想到的圖形的形象關系形成對數量關系的直接感知，從而利用圖形描述和分析問題.借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果.上述四例突出了“數”與“形”的有機聯系，彰顯了美和真的和諧統一.例1中運用線段的平移和等量代換將兩條不在同一直線上的未知線段AE、CG（CF、AH）轉移到同一直線上的首尾相接的兩條線段BG、CG（DH、AH），由此利用整體思想進一步轉化為長度為n的已知線段BC（AD）；例2中運用圖形的運動和圖形的組合將左上角與右下角的陰影部分的面積差的不變性轉化為面積變化量相等問題，由此借助圖形進一步轉化為圖形的邊長AF、BF相等（即3b=a）；例3中運用圖形的分割和線段平移實現線段和CP+NG+GH+PH+CN的有效組合CD+CB；例4中運用圖形的位置關系實現等積轉化（S△AOD=S△AED），利用圖形的拼組割補實現圖形的重組（圖10或圖13）.以圖形為核心，以問題為支撐，以思考為導向，形成一種認識事物的能力——幾何直觀，使抽象的問題直觀化，讓學生更容易地了解其內在的性質和規律.善于發現圖形中的結構特征，從中抽取出數量、形狀、位置、變換等關系，使之呈現“標準”或“熟悉”的狀態，順利實現模型化歸，釋放問題內涵，創造性地使用圖形解決問題，挖掘新思路，尋求新方法，使數學邏輯和數學直觀相互交織，直觀中有邏輯，邏輯中有直觀.

3.滲透數學思想，提升核心素養

《全日制義務教育數學課程標準（修定稿）》強調了數學素養是現代社會每一個公民應具備的基本素養，數學思想方法是解決數學問題的指導思想和重要策略，是體現學生素養、數學學習的靈魂.重視加強對學生進行數學思想方法的滲透，不但有利于提高課堂教學效率，而且有利于提高學生的數學核心素養和思維能力.上述四例將整體思想、轉化思想、方程思想、函數思想、數形結合思想和平移方法融會在基本圖形中，更多地關注學生的思維能力和創新精神、洞察力.比如，在例3解析時先讓學生有自己的切身體驗，逐步領悟大長方形的任意性、滿足要求的分割的存在性和唯一性及可操作性，體驗特殊的數量關系與位置關系溝通與關聯的轉化思想和整體思想，體驗用字母表示圖中有關線段的長度體現的符號意識和數形結合思想，通過方程思想進行數式的運算是進行數學思考和表達的重要形式，相互“釋譯”——讓解題信息在文本與圖形中獲取，廣泛聯系——讓解題方法在關聯與融合中形成，合理滲透——讓思想方法在啟發與探究中升華，一題多解——讓創新意識在求解與比較中發展.數學思想方法比數學知識更抽象，思想方法的教學是一種數學活動的過程，重在領會應用，學生的參與顯得尤其重要，需要讓學習者在長期的學習過程中盡可能多地領悟其中的真諦，用自己的思維方式構建數學思想方法的體系，當經驗和領悟積累到一定程度時，數學方法就會凸顯出來.在教學中有意識、有效地加以滲透，讓學生在潛移默化中領悟、運用，并逐步內化為數學思維品質，進而提升學生的數學素養.

1.趙軍.三年堅守與思變［J］.中學數學教學參考（中），2012（10）.

2.李洪芹.培養學生“符號意識”的途徑之一——用字母表示線段長［J］.中學數學（下），2013（10）.

3.苑建廣.對幾何直觀教學的思考［J］.中國數學教育（初中版），2014（5）.Z