突出數學思想主線，優化教材知識結構
——青島版《義務教育教科書·數學》（七～九）編寫的原則之一

☉山東省沂南教育局 李樹臣

突出數學思想主線，優化教材知識結構
——青島版《義務教育教科書·數學》（七～九）編寫的原則之一

☉山東省沂南教育局 李樹臣

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》已把學生能獲得數學的基本思想作為課程的“總目標”來要求［1］，并且在“教材編寫建議”中強調指出“教材在呈現相應的教學內容與思想方法時，應根據學生的年齡特征與知識積累，在遵循科學性的前提下，采用逐級遞進、螺旋上升的原則［1］”.這就從宏觀上向我們提出了應把數學思想作為教材編寫的主線之一.

一、對數學思想的深層次認識

數學思想是指“人們從事各種數學活動時，所表現出來的種種數學觀念及思維方式［2］”.《課標（2011年版）》提出“無論是設計、實施課堂教學方案，還是組織各類教學活動，不僅要重視學生獲得知識技能，而且要激發學生的學習興趣，通過獨立思考或者合作交流感悟數學的基本思想……［1］”

這里在“思想”前面加上了“基本”二字，目的有二：一方面是強調基本思想的重要性；另一方面是控制數量（基本思想不要太多了）.“數學思想”有許多，并且是具有層次性的，而“基本數學思想”則是其中具有本質性特征和基本重要性的一些思想，處于較高的層次，其他的數學思想都可以由這些“數學的基本思想”演變出來，派生出來，發展出來.［3］

史寧中教授認為，“數學發展所依賴的思想在本質上有三個：抽象、推理、模型……通過抽象，在現實生活中得到數學的概念和運算發展，通過推理得到數學的發展，然后通過模型建立數學與外部世界的聯系.”［4］

《課標（2011年版）》中所說的“數學的基本思想”主要指：數學抽象的思想、數學推理的思想、數學建模的思想.人類通過數學抽象，從客觀世界中得到數學的概念和法則，建立了數學學科；通過數學推理，進一步得到大量結論，數學科學得以發展；通過數學建模，把數學應用到客觀世界中，產生了巨大的效益，又反過來促進數學科學的發展.［3］

由上述數學思想演變、派生、發展出來的思想還有很多.例如，由“數學推理的思想”派生出來的有：歸納的思想，演繹的思想，公理化思想，轉換與化歸的思想，聯想類比的思想，逐步逼近的思想，代換的思想，特殊與一般的思想，等等.

在用數學思想解決具體問題時，會逐漸形成程序化的操作，就構成了“數學方法”.數學方法也是有層次的，處于較高層次的可以稱為“數學的基本方法”.數學的基本方法有：演繹推理的方法，合情推理的方法，變量替換的方法，等價變形的方法，分類討論的方法，等等.下一層次的數學方法，有：分析法，綜合法，窮舉法，反證法，待定系數法，數學歸納法，遞推法，消元法，降冪法，換元法，配方法，列表法，圖像法，等等.

數學方法不同于數學思想，但二者相互聯系，協同發展.“數學思想”往往是觀念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、內在的、概括的；而“數學方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具體的、程序的、技巧的.［3］數學方法是解決問題的途徑、手段，是數學思想發展的前提，它常常反映某種數學思想；數學思想常常通過數學方法去體現，是數學方法的靈魂.

二、初中數學教材應滲透的主要數學思想方法

前蘇聯學者M.M.弗利德曼指出：“在學校課程中數學的思想和方法應當占有中心的地位，占有把教學大綱（作者注：現在稱課程標準）中所有的，為數很多的概念，所有的題目和章節聯結成一個統一的學科的核心地位.”《課標（2011年版）》指出“課程內容要反映社會的需要、數學的特點，要符合學生的認知規律.它不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊含的數學思想方法.［1］”從某種意義上講，數學教材就是由一些重要的數學思想方法構成的，而數學思想方法則是構成教材的靈魂.

在教學中使學生獲得數學的基本思想是數學課程的重要目標.這就決定了，數學教材的編寫絕對不能僅僅以學生掌握《課標（2011年版）》界定的“課程內容”并且形成相應的數學基本技能為目標，而應該讓學生在獲得這些課程知識的過程中同時獲得數學的基本思想.數學思想方法的學習和領悟能使學生所學的知識不再是零散的知識點，它能幫助學生形成有序的知識鏈，建立良好的認知結構；它是銘記在人們頭腦中起永恒作用的數學觀點和文化，是使學生提高數學思維水平，建立科學的數學觀念，從而發展數學、運用數學的保證.

數學思想方法已成為未來社會公民必須具備的數學素養中的核心內容.數學思想方法是隨著學生對數學知識的學習、運用逐漸形成和發展起來的.

我們在青島版教材中主要向學生滲透了下列幾種重要的數學思想.

1.數形結合思想

所謂數形結合思想，即把數學問題中的數量關系與圖形直觀地結合起來進行分析，并充分利用這種結合尋找解決問題的思路，從而使問題得到解決的思想方法.這種思想方法包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其實質是把問題的數學關系和空間形式結合起來，使抽象問題直觀化，復雜問題簡單化，這樣往往能收到事半功倍的效果.

2.分類討論思想

在數學中，當所遇到的問題存在多種情況，我們又不能一概而論時，就需要按照可能出現的各種情況分類討論，從而得到各種情況下的結論，這種處理問題的思想就是分類討論的思想.分類時主要要按照一定的標準，把所研究的對象按可能出現的情況不重復、無遺漏地進行分類.

3.函數思想

函數的思想方法是指用變化的觀點來觀察、分析、研究問題中兩個變量之間的相互聯系與變化規律，并借助函數關系來思考、解決問題的方法.應用函數思想方法解題的關鍵是確立變量之間的函數關系.一是根據實際問題或幾何圖形的性質，建立變量之間的關系，把問題轉化為相應的函數問題；二是根據問題的需要構造相應的函數，利用函數的圖像與性質解決問題.

4.方程思想

方程思想是指把所研究數學問題中的已知量與未知量之間的等量關系，轉化為方程（組），從而達到解決數學問題的一種思維方法.體現方程思想的數學解題主要有兩類：一是列方程（組）解決生活或生產中的實際問題；二是列方程（組）解其他的代數問題或幾何問題.特別注意的是，與幾何有關的計算題所涉及的數量關系往往與一些幾何定理、公式密切相關.

5.轉化思想

解數學題的過程實際上就是轉化的過程，換言之，解題就是把所要解決的問題轉化為已經熟悉的問題的過程，通過對條件的轉化、結論的轉化，使問題化難為易，化生為熟，化未知為已知，最終求得問題的解答.這個過程體現了轉化的思想方法.可以說，任何一個數學問題都是通過數或形的逐步轉化，化歸為一個比較熟悉、比較容易的問題，通過對新問題的解決，達到解決原問題的目的.

6.數學建模思想

在解決實際問題時，首先通過對已知和未知的分析，建立與某種數學知識的聯系，得到一個數學模型，然后利用有關的數學知識求出這個模型的解，最后得到問題的答案，這種從數學的角度發現問題、提出問題、理解問題，直至解決問題的方法稱為數學建模思想.

7.聯想、類比的思想

聯想、類比是根據兩個或兩類對象之間在某些方面的相似或相同，從而猜出它們在其他方面也可能相似或相同的一種猜想過程.類比不僅是一種從特殊到特殊的推理方法，也是一種探索解題思路、猜想問題答案或結論的思想方法.

三、教材中滲透數學思想的途徑

《課標（2011年版）》指出“數學思想蘊含在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等.學生在積極參與教學活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數學思想［1］”.這實際上向我們提出了編寫教材時，向學生滲透數學思想和方法的宏觀途徑.滲透數學思想方法的宏觀途徑有兩條：

其一，通過純數學知識的學習，不斷地反思和升華，逐步使學生理解和掌握隱含在這些數學知識之中的數學思想方法.即：

數學知識逐步概括數學思想方法

其二，通過解決實際問題，使學生掌握所要求的教學內容的同時，形成那些對人的素質有促進作用的基本思想方法.即：

具體來說，我們在編寫青島版教材時，主要通過以下幾個過程向學生滲透數學思想和方法.

1.在概念的建立過程中滲透數學思想方法

數學概念是學生學習的主要知識，從課程論的研究觀點看，數學概念是構成數學教材的基本結構單位，正是因為這些數學概念的存在，才形成了數學教材的知識結構.數學概念的建立是一個過程，為了讓學生經歷這個過程，我們精心設計問題情境，引導學生通過感覺、知覺對客觀事物形成感性認識，再經過分析比較、抽象概括等一系列思維活動抽取事物的本質屬性.這樣學生除了能掌握數學概念，還能感受及領悟隱含于概念形成過程中的數學思想和方法.

案例1：分式方程的建立過程.

為了引導學生經歷分式方程的建立過程，教材是這樣設計的：

【交流與發現】王師傅承擔了310個工件的焊接任務.加工了100個工件后，開始采用焊接新工藝，工效提高到原來的1.5倍，共用8天完成了任務.采用新工藝前，王師傅每天焊接多少個工件？

思考下面的問題：

（1）在這個問題中，哪些是已知量，哪些是未知量？

（2）如果選取某一個未知量用x表示，那么其他未知量怎樣用關于x的代數式表示？

（3）這個問題中的等量關系是什么？

（4）選擇哪個等量關系，可以得到關于未知數x的方程？

設采用新工藝前，王師傅每天焊接x個工件.采用新工藝前王師傅工作了天，采用新工藝后，王師傅工作了天.

根據等量關系：

（5）觀察（4）中得到的方程，你發現它有什么特征？

教材在學生思考并解答前五個問題的基礎上，給出了分式方程的定義.第六個問題是引導學生探索分式方程的解法.

在分式方程的建立及探索其解法的過程中，這種設計還向學生滲透了模型思想、轉化的思想及類比的思想.

2.采用“逐級遞進、螺旋上升”的方式反復強化

《課標（2011年版）》提出“數學中有一些重要內容、方法、思想是需要學生經歷較長的認識過程，逐步理解和掌握的，如分數、函數、概率、數形結合、模型思想等.因此，教材在呈現相應的教學內容與思想方法時，應根據學生的年齡特征與知識積累，在遵循科學性的前提下，采用逐級遞進、螺旋上升的原則［1］”.

數形結合思想是一種重要的數學思想.青島版教材把《課標（2011年版）》界定的“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”采用“混編”的形式，共分33章.教材中的每一章內容幾乎都能找到數與形結合的“影像”，可以說教科書的主要內容就是靠數形結合思想“串聯”起來的.

案例2：滲透“數形結合思想”的知識掃描.

例如，“數”和“形”分別屬于“數與代數”及“圖形與幾何”兩大領域，二者的結合體現了數學的特性.七年級第1章“我們身邊的圖形世界”中研究正方體的頂點個數、棱數時就是從觀察正方體得到的結果.第一個基本事實“兩點確定一條直線”就是通過實際作圖得到的.第2章“有理數”中在學習“數軸”的知識時，借助“溫度計”形象地感知數軸，這一模型直觀形象地體現了數形結合的思想.第3章“有理數的運算”中，有理數的加法法則就是利用數軸，運用數形結合的方法經過探究得到的.第7章“一元一次方程”中研究行程問題時，經常用線段直觀圖形象地表示一些數量關系.第13章“平面圖形的認識”中多邊形的內角和、外角和的探究過程中，圖形的形象直觀特征起了關鍵的作用.八年級第6章“實數”中，利用勾股定理探究長度是等無理數的線段的幾何作圖方法更是數形結合的良好素材.第10章“一次函數”中的許多問題都是借助圖形得到解決的.九年級第2章“解直角三角形”中的許多概念的形成及問題的解答都離不開圖形的直觀作用.第3章“對圓的進一步認識”中，利用勾股定理求解有關問題，體現了用數的知識求解幾何圖形的問題.第4章“一元二次方程”中，介紹的利用一元二次方程的知識求黃金分割線段的具體比值的方法是用數的知識解決形的問題的范例.第5章“對函數的再探索”中有大量的代數知識是結合圖像來學習的.

在“統計與概率”領域，也有大量內容體現了數形結合的思想，如各種統計圖就是在統計表的基礎上，用幾何圖形或具體形象來表達統計資料的一種方式.八年級第4章“數據分析”中在學習有關統計量與統計圖表時，數形結合為學生清晰地表示數據、對數據進行分析，從而幫助學生進行科學決策起到了重要的作用.九年級第7章“頻率與概率”中學習的用樹狀圖計算概率就為抽象概率的學習提供了直觀形象的解釋等.

總之，大量的數與形相結合的素材為同學們學習、理解“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”的相關內容提供了直觀上的幫助，這些內容也進一步反映出“數”和“形”完美結合的必然趨勢.正如我國著名數學家華羅庚教授曾說過的那樣“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休”.

這種編排順序，體現出本套教材對于數形結合這一思想方法的明顯的階段性要求，通過以上知識的學習，學生可以逐步感悟這一思想方法，從而有助于發展學生的幾何直觀，有助于學生學習新的數學知識，有助于分析和解決新的數學問題.

3.在問題解決的過程中強化數學思想

《課標（2011年版）》提出課程“總目標”后，又從四個方面進行了具體闡述，其中在“問題解決”中強調“獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發展創新意識［1］”.對此，我們在引導學生利用所學知識解決有關問題時，反復強化在解決問題過程中所表現出來的數學思想.

例如，“模型思想”是《課標（2011年版）》提出的十大核心素養（概念）之一.“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑.建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果、并討論結果的意義.這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識.［1］”

事實上，數學中的各種基本概念，都是以各自相應的現實原型作為背景而抽象出來的.如各種數學公式、方程式、定理、理論體系等，就是一些具體的數學模型.在設計安排這些內容時，我們都要結合具體的內容充分體現“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程.

如教科書七年級下“10.4列方程組解應用題”一節，共設計了通過建立方程組模型解答的應用題38個，其中例題6個，練習6個，習題12個，綜合練習12個，“智趣園”和“史海漫游”各1個.學生通過解答這些題目，能進一步“體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型［1］”，從而逐漸強化學生對模型思想的認識和理解.

4.在知識的歸納總結中概括數學思想方法

數學思想方法貫穿在整個中學數學教材的知識點中，以內隱的方式融于數學知識體系.要使學生把這種思想內化成自己的觀點，應用它去解決問題，就要把各種知識所表現出來的數學思想方法適時做出歸納概括.

教師在引導學生進行章節復習時，要在對知識進行總結復習的同時，把統領這些知識的數學思想方法概括出來，增強學生對數學思想方法的應用意識，從而有利于學生更透徹地理解所學的知識，提高他們分析問題和解決問題的能力.

例如，在九年級上冊第3章“對圓的進一步認識”末的“回顧與總結”中，我們共設計了15個問題，其中最后一個問題是：“在本章中，你認為體現了哪些基本的數學思想？”

在學習完圓的有關知識后，要求通過回顧這些內容中體現的數學思想和方法，使學生自覺地感悟這些思想和方法，進一步學會運用數學的思維方式去思考問題和解決問題.目的是讓學生結合本章重要概念的產生過程、重要定理的證明過程和典型例題，感悟以下幾個重要數學思想.

①演繹的思想.用分析法尋求解題思路，用綜合法敘述證明過程.

②歸納的思想.如正n邊形某些性質的獲得.

③反證法.如通過假設“過同一直線上的三點A、B、C可以作圓”，推出與基本事實“過一點有且只有一條直線與已知直線”相矛盾，從而說明“過同一直線上的三點A、B、C可以作圓”的假設是不對的.復習時重點總結用反證法的證題思路和基本步驟，并指出與直接證法的區別.

④轉化的思想.如圓心角與所對弧、弦關系的相互轉化，圓周角與所對弧上圓心角的相互轉化，同弧上圓周角之間的轉化，圓與直線的位置關系與圓心到直線的距離的轉化等.

⑤分類的思想.如學習確定圓的條件；學習圓周角定理時要分圓心在圓周角的一邊上、圓周角的內部、圓周角的外部進行研究；直線和圓的位置關系等.

5.用一些特色欄目對數學思想進行總結

數學思想“散見”于初中數學的課程內容知識之中，這些知識是數學思想的“載體”，教材根據實際情況，在學習完這些具體知識之后用一些特色欄目對數學思想進行了規范界定.

例如，教材在九年級上冊第3章的“回顧與總結”之后用“廣角鏡”欄目以“分類思想”為題目對這種思想進行了總結.在八年級上冊“3.5分式的加法與減法”之后用“廣角鏡”欄目以“類比與數學發現”為題目介紹了類比思想.

學生對數學思想的感悟和理解是隨著學生對數學知識的學習、運用逐漸形成的.掌握一些必須的數學思想方法已成為未來社會公民必須具備的數學素養中的核心內容［6］.教材的編寫理應隨著具體知識的呈現過程，把一些基本的數學思想“提煉”出來，用這些思想統領教材.只有這樣，學生形成的數學知識結構才是一個優化的結構，也才能成為學生未來生活、工作和進一步學習的良好基礎.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.李吉寶，等.初中數學數學思想方法教學與研究中的幾個問題［J］.數學教育學報，2001（2）.

3.史寧中.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

4.史寧中.數學思想概論［M］.長春：東北師范大學出版社，2008.

5.李海東.重視數學思想方法的教學［J］.中國數學教育，2011（1-2）.

6.李樹臣.探索圖形性質培養推理意識——青島版《義務教育教科書·數學》七年級第九章“平行線”教學研究［J］.中學數學（下），2016（9）.Z