不同年級“關聯”試題的命題實踐與思考

☉江蘇省南通市通州區興仁中學 趙 建

不同年級“關聯”試題的命題實踐與思考

☉江蘇省南通市通州區興仁中學 趙 建

在各級考試中，對于重要位置的把關題、關鍵題來說，是隨意復制粘貼各地所謂的考題到一次測試卷中還是精心挑戰經典問題背景是值得每一個命題老師認真面對和深入思考的.在最近一次期中命題過程中，筆者參與了初二、初三的命題工作，在這次命題中，我們在兩份試卷中分別設計了兩道“關聯”的數學把關題，考試之后得到兩個年級師生的好評和熱議，本文先給出這兩道考題及命題意圖，并跟進命題思考和教學導向，提供研討.

一、兩道“關聯”的把關題

考題1（初二上學期期中考題）如圖1，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC＞BC，射線CM平分∠ACB.

圖1

（1）設CM交AB于點D，DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F，連接EF.求證：CD與EF互相垂直平分.

（2）若射線CM上有一點N到△ABC的頂點A，B的距離相等，連接NA，NB.

①請指出△NAB的形狀，并說明理由；

②當AC=6，BC=4時，求四邊形ANBC的面積.

命題意圖：這道題源自人教版教材八年級上冊習題.［1］只是強化了∠ACB是直角，重點考查角平分線的性質與判定定理、垂直平分線的判定與性質、全等三角形的判定與性質，對初二上學期的全等三角形、軸對稱一章的知識重點考查、聯合考查.解決第（2）題要注意第（1）問兩條垂線段的啟示作用，這樣可以快速打開思路.

考題2（初三上學期期中考題）如圖2，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分線CD分別交⊙O于D，交AB于M，連接AD、BD.

（1）請你過點D分別向AC、BC作垂線，垂足分別為點E、F，求證：四邊形CEDF為正方形；

圖2

（2）設DA=m，DC=n，試用含m、n的代數式表示△ABC的周長；

命題意圖：這道題是在上面初二考題的基礎上變換設問角度，融入了初三新學的圓、相似等知識點，使得探究方向進一步拓展.第（1）問證明四邊形CEDF是正方形是常規問題；第（2）問進一步利用四邊形CEDF是正方形，先證△ADE≌△BDF，得出AE=BF，從而代換得AC+ BC=2CE；再證△CDE為等腰直角三角形，所以CE=n，所以AC+BC=又AB是⊙O的直徑，得∠ADB=90°.又CD平分∠ACB，所以AD=BD，所以AB=，即△ABC的周長=n.

第（3）問可以過點M向AC，BC引垂線段MG，MH，然后利用相似比和，相加得=1，而，即的值不變，這個不變值為

簡要反思：第（1）問的正方形啟示著第（2）問的AC+ BC=n.從而問題獲得進展.第（3）問除上面利用比例式轉化之外，還可借助于面積法處理.

二、“關聯”試題的進一步思考

初中階段很多試題的背景都是十分相像，但在不同年級不同章節中對其研究和解釋的角度不一，就像需要靈活選用工具處理一樣，本文提供的兩道“關聯”試題也是試圖闡釋這樣的道理.以下就圍繞“關聯”試題的命題給出進一步的思考.

1.關聯試題的命制要重視教材開發

認真研習初中版教材的同行應該知道，教材上的例題、習題不僅都是經典問題，而且相互呼應，若不加以對比研習，常常容易忽略不同分冊教材之間的習題上的對應與關聯.比如上文兩道考題之間的關系，在初二、初三教材中都能找到原型.再如，初一圖形初步知識學習之后，教材上曾安排學生度量三角形的內角和，再度量四邊形的內角和，意圖讓學生通過度量這樣的一種實驗的方式直覺感知多邊形內角和，為初一下學期學習和證明三角形內角和形成鋪墊；該題還要求學生進一步取四邊形的各邊中點，并度量中點四邊形的各邊的長、各個內角的度數，發現中點四邊形的對邊相等、對角相等，這些實驗操作其實都對應著初二年級要學習的平行四邊形、中位線性質.如果我們不了解教材上的這些拓展習題的設計意圖，不引導學生重視這些試題的開發與利用，則可能丟失了很多重要價值.

2.關聯試題的問題背景要簡潔好懂

關聯試題的問題背景需要簡潔好懂，這樣可以減少學生“進入”該題的障礙，但是需要經過確認和識別才能進一步理解問題求解的方向與目標，并靈活調用相關數學知識實現求解.這里我們也可提及一些關聯試題的問題情境，比如代數領域，以二次三項式為研究對象在初一可以引導學生辨別二次項式的次數、系數、項數；而在初二則可安排學生先運用整式乘法得到二次三項式，再逆向因式分解一個二次三項式，還可以基于完全平方式的角度對二次三項式的非負性、最值進行初步探究；到初三時，針對二次三項式可以從一元二次方程、二次函數的角度設計試題考查.這樣來看，以二次三項式為背景的試題就是一個很有“數學味”的關聯試題.

3.關聯試題的求解力爭能殊途同歸

所選關聯試題作為把關題的重要教學引領還在于，鼓勵和引導師生在平時教學中重視那些解法可以殊途同歸的試題，比如可以在不同年級選用不同方法的試題就值得充分關注.比如，幾何領域，初二教材上曾要求學生解決過下面這道經典幾何題：

教材習題如圖3，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點.若∠AMN=90°，求證：AM=MN.

圖3

圖4

初二的證明思路是這樣的：在邊AB上截取AE=MC，連接ME.在正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC.所以∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE.進一步證出△AEM≌△MCN，故AM= MN.

該題還可變式成等邊三角形、正多邊形的問題，比如下面的變式：

變式題1：正三角形ABC中（如圖4），N是∠ACP的平分線上一點，則當∠AMN=60°時，結論AM=MN是否還成立？請說明理由.

變式題2：正n邊形ABCD…X，請你作出猜想：當∠AMN的度數是多少時，結論AM=MN仍然成立.

講解：變式1，2的結論仍然成立.初二證明時還可繼續采用截取的方式利用全等實現問題的解決.到了初三圓的學習之后，我們還可從結論出發，如圖5，若連接AF，則Rt△AEF應該是等腰直角三角形，如果作出Rt△AEF的外接圓，有何發現呢？點C也在這個圓上嗎？一個接近問題深層結構的“輔助圓”證法來到眼前！

圖5

圖6

圖7

重要的是，基于外接圓的思路，正三角形問題、正n邊形問題也有類似的結構（如圖6，圖7）.

三、寫在最后

有人說命題基本功是教師專業精進的突破口，筆者深有共鳴.一次考試常常影響著測試范圍內的“全樣本”的師生，不但作為一種教學反饋，更是一次教學診斷、評估和引領，我們提出在把關題處設置“關聯”試題的想法還是初步的，也是個性化的一些認識，期待更多命題愛好者的題例跟進.

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3.陳愛軍.預設互動促進對話，課件簡約漸次展現——李庾南老師“函數的圖像”課例賞析［J］.中學數學，2016（10）.

4.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學研究［J］.數學教學，2003（1，2，3）.

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