平面幾何起始教學的“四個重視”
——學習鐘善基先生平面幾何起始教學建議

☉江蘇省海安縣曲塘中學附屬初級中學 戴 路

平面幾何起始教學的“四個重視”
——學習鐘善基先生平面幾何起始教學建議

☉江蘇省海安縣曲塘中學附屬初級中學 戴 路

我國著名數(shù)學教育家、數(shù)學教育學科的主要創(chuàng)立者和奠基人、北京師范大學教授鐘善基先生（1923～2006）多次參與《中學數(shù)學教學大綱》的起草和修改工作.鐘先生在《初中平面幾何課中“基本概念、相交線、平行線”的教學》一文（詳見《鐘善基數(shù)學教育文選》，人民教育出版社，詳見文1，以下簡稱“鐘文”）中，對平面幾何的教學提出了一些建議，盡管時光過去將近30年，至今卻還能對平面幾何教學有所啟發(fā).本文梳理筆者研習該文的一些心得體會，供分享.

一、“鐘文”內(nèi)容概述

“鐘文”主要分教材內(nèi)容概述、理論分析、教學目的簡括、教法要點，其中在教法要點方面又分為上好導言課、概念的教學、公理的教學、定理的教學這四個方面詳細進行論述.這里概述一下“鐘文”教法要點中四個建議.

1.上好導言課

“鐘文”首先指出，長期以來，初中平面幾何的起始教學常常不易取得良好的效果，原因是學生不知道學習幾何有什么用，不理解幾何的研究對象是什么，從小學到初中學習數(shù)學的印象只是“算”，不知道數(shù)學的研究對象除了“數(shù)量關系”，還有“空間形式”，不理解反映“空間形式”的幾何研究對象，把幾何作為數(shù)學的一個分支來學習，學生在思想上一時難以接受.作為一門新分支學習的導言課，“鐘文”要求我們帶領學生明確幾何研究對象，根據(jù)定義、性質(zhì)、性質(zhì)背后的道理的順序來明確學習要求，并傳遞給學生一個印象：不但要明確某個名稱指的是什么，而且要把它說得更清楚，不但要說清楚某個性質(zhì)是什么，還要說清楚為什么會有這個性質(zhì)的道理.也即另一位著名數(shù)學教育家傅種孫所倡導的“知其然，知其所以然，何由以知其所以然，啟發(fā)學者，示以思維之道耳”.

2.小學已出現(xiàn)過的概念如何教學

這里所指的概念是指在小學階段已出現(xiàn)過的數(shù)學概念或“名稱”，學生在新學這些概念時容易出現(xiàn)“早已知道了”，從而不會集中精力，結(jié)果往往是“空轉(zhuǎn)一課”，仍然不明確相關概念的內(nèi)涵和新本質(zhì).鐘先生認為應該以復習的姿態(tài)出現(xiàn)，讓學生集中注意力認真回憶和試答.在例舉平行線的教學時，讓學生先回憶它的概念，當學生不加限制條件“在同一平面內(nèi)時”，教師用代表兩條直線的小棍擺出異面直線的形象，給出反例讓學生辨析后在定義中添補出條件“在同一平面內(nèi)……”.再比如講解垂線時，鐘先生建議從復習的姿態(tài)出發(fā)，讓學生先辨析一組垂線的圖形，學生如果只肯定“標準圖式”（圖①、④），而不能辨別出“非標準圖式”（圖③⑥⑦），則安排學生度量檢驗出90°角，從而深刻理解數(shù)量關系與位置關系之間的對應思想.

3.重視公理教學，引導學生認清、記牢公理

關于公理教學，鐘先生提醒要防止學生在思想上產(chǎn)生“這是理所當然、盡人皆知的，何必如此小題大做”的觀念，缺少應有的重視.并以“兩點確定一條直線”公理教學為例，讓學生經(jīng)歷經(jīng)過一個定點畫直線（可畫無數(shù)條），再到經(jīng)過兩個點畫直線（只能畫一條），還要分析經(jīng)過三個點能否一定畫出一條直線（未必有）的比較，這樣讓學生感受到唯獨過兩點的直線，有而且唯一.這是點和直線在位置關系上的一個特性，讓學生認清、記牢.

4.定理教學重在定理推證，在簡化中取舍

定理是由公理推證出來的，而推證定理往往涉及文字命題的證明，這里鐘先生特別強調(diào)，教師必須按照邏輯順序在黑板上較詳細地寫出已知、求證、證明，并以對頂角相等為例，示范板書.特別是，鐘先生解說了“復合三段論法”（推證過程中不止用一次三段論時，就把這種推證方法叫作復合三段論法），而在數(shù)學中，推證命題時并不把“大前提”“小前提”“結(jié)論”完全寫出來，實際上反映的是簡化了的復合三段論法.如何簡化？為了促進學生理解得更形象、深刻，就需要把簡化中的取舍顯示出來，為此鐘先生詳細給出證明“對頂角相等”的主要過程.對于我們指導學生初學幾何推證、幾何語言的簡練有較大的幫助.

二、關于平面幾何教學的一些思考

1.重視起始階段的幾何概念教學

根據(jù)鐘善基先生的建議，結(jié)合教學實踐，我們認為，幾何起始階段需要重視幾何概念的教學.比如線段、射線、直線的概念，需要跟小學對比著學.初學幾何，不僅知道怎樣的圖形是線段、射線和直線，而且需要知道它們的不同表示方法，它們能否度量，如何用幾何語句描述這些概念，因為這些概念能否讓學生深刻理解，直接影響他們后續(xù)學習三角形的邊、三角形中重要線段（角平分線、高線、中線）、圓中弦（包括直徑）.再如角的學習，角的不同表示方法，角的度量，大小比較等都是后續(xù)學習的基礎，特別是兩個角之間的互余、互補關系是教學重點也是教學難點，這涉及兩角的數(shù)量關系與位置關系之間的辨識和理解，是有初中幾何特征的對應關系，后續(xù)垂線的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，仍然是數(shù)量關系與圖形位置關系之間的對應和溝通.

2.重視標準圖形與非標準圖形的變式教學

如圖1，鐘先生提出的讓學生辨識哪些是垂直線的圖形，其實就是引導學生從標準圖形走向非標準圖形，并在此過程中感悟、內(nèi)化垂線概念.這種變式教學的追求對學生掌握和理解垂線定義有幫助，特別是在這一學習過程中，可以讓學生逐漸理解初中幾何概念或定理的本質(zhì)，而不只是停留在形式、表面上，需要他們走向深層次的結(jié)論認識，學會辨識，感悟共性.事實上，代數(shù)教學中也有很多概念的學習需要類似的從標準走向非標準的教學方式，比如“同類項”教學，需要在大量的同類項式子的辨識中讓學生感悟出同類項的“兩同”（所含字母相同，相同字母的指數(shù)相同）.

圖1

3.重視讓學生辨別命題的題設與結(jié)論

“鐘文”特別指出，在定理教學時會涉及定理的證明，這時不能直接給出已知、求證，并幫助學生畫好圖形，直接安排證明，這種“去頭、掐尾、燒中段”的定理證明是值得警惕的.而應該在發(fā)現(xiàn)、歸納出來文字命題、猜想之后，引導學生辨識清楚這個猜想或該命題的題設是什么，結(jié)論是什么，即辨別已知、認準求證.想起不少教師執(zhí)教等腰三角形性質(zhì)一課時，常常是引導學生操作、折紙后得出等腰三角形“等邊對等角”，然后教師直接給出圖形、已知、求證，證明方法的多樣性由學生生動活潑地展示出來，課堂氛圍也十分活躍，然而我們注意到著名特級教師李庾南老師對此曾有過的批評，她認為等腰三角形的性質(zhì)如等邊對等角的證明，就這一節(jié)課來看，最重要的不是定理的證明，而是引導學生辨識該定理的條件與結(jié)論，并能準確地畫出圖形，寫出已知、求證.想來，這是非常有見地的實踐觀點，值得我們傾聽和踐行.

4.重視幾何語言的規(guī)范書寫

根據(jù)教學經(jīng)驗，初學幾何有相當長時間（至少一個月內(nèi)），學生對幾何語句的結(jié)構(gòu)、書寫是需要認真訓練、糾正的.這也與小學階段圖形問題解題時只注重列算式進行運算的訓練有關，難以一下子遷移到一個新的數(shù)學分支中來，特別是推理語句的組織與結(jié)構(gòu)，還需要教師的反復示范、糾正錯誤.這里還可提及傅種孫先生關于平面幾何教學的八字建議“指示正確，糾正錯誤”，幾何起始階段的教學恰恰應該在這些方面下大功夫.甚至對于教材上特別簡潔的證明語句，需要像“鐘文”中提出的把復合三段論式的內(nèi)容全部顯示出來，把簡化前的取舍都顯示出來，以促進學生更好地理解幾何語言.

三、結(jié)束語

平面幾何起始階段的教學關乎一個全新數(shù)學分支如何能吸引更多學生更快地“入門”、發(fā)展.很多前輩數(shù)學教育家、專家教師留下了豐富的理論認識、實踐或反思的經(jīng)驗，值得我們認真傾聽、理解并努力踐行.本文只是筆者研習鐘善基先生文選的一些體會，一些個性化的解讀不一定準確，甚至有錯漏，還望大家批評、賜教！

1.鐘善基.鐘善基數(shù)學教育文選［M］.北京：人民教育出版社，2005.

2.章建躍.創(chuàng)新推動改革，全面提高教育質(zhì)量——暨“第九屆初中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課展示與培訓活動”總結(jié)［J］.中國數(shù)學教育（初中），2016（4）.

3.王光明，廖晶.“探索世界”范式及其對數(shù)學教育的啟示——ICME12獲獎報告述評［J］.課程·教材·教法，2013，33（12）.

4.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數(shù)學通報，2013（6）.Z