例說幾何定理教學的層次
——由傅種孫先生數學教育思想說起

☉江蘇省蘇州市蘇州高新區第一中學 陳蓓蓓

例說幾何定理教學的層次
——由傅種孫先生數學教育思想說起

☉江蘇省蘇州市蘇州高新區第一中學 陳蓓蓓

近讀《數學教育學報》，張英伯教授在《傅種孫——中國現代數學教育的先驅》（詳見文1）一文中，回顧了傅種孫先生在數學教育上的貢獻，比如：作為中國現代數學教育的先驅，傅種孫先生可謂嘔心瀝血，鞠躬盡瘁.他先后參與了教材的編寫，課程標準的制訂，致力于教師教育，并擔任《數學通報》總編.特別是，傅先生在《平面幾何教本》（見文2）的開篇就指出“知其然，知其所以然，何由以知其所以然，啟發學者，示以思維之道耳！”也就是說，傅先生指出：“幾何所追求的不是要知道它如此，而是要知道它為什么如此；不僅要知道它為什么如此，還得要領會從什么思路知道它所以如此.”受此啟發，筆者結合近期教學實踐，選取一些幾何定理教學的片斷例說數學概念教學的層次，提供研討.

第一層次——知其然

由于這是最低的層次，幾何中有大量的定理如果僅僅滿足于讓學生知曉、記熟，也會簡單運算，則屬于“知其然”的教學.

比如，勾股定理教學，有些初任教師沒有在勾股定理的發現、證明上經營設計，而是采取避重就輕，簡單告知勾股定理內容，學生記熟兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，然后進行大量的機械練習，鞏固對勾股定理的記憶.這種低層次的勾股定理，將博大精深的數學知識簡單化為一個孤立的知識點或公式教學，沒有能發揮其應有的教育價值，只能是一種教學遺憾.

再比如，垂徑定理的教學，如果僅僅從圓的軸對稱性質歸納概括出垂徑定理，而缺少對圓的軸對稱性質進行追問和證明，則也只停留在知其然的層次.因為對“圓為什么是軸對稱圖形”的追問，會引導學生將這一邏輯鏈條下的軸對稱圖形的軸對稱性質進行系統思考.我們注意到在文2中，江蘇海安的陶然老師曾做過如下的教學設計（如圖1～4）.

圖1

圖2

圖3

圖4

教師引導學生退回最簡單的線段，思考線段的軸對稱性質如何證明，并一路生長到等腰三角形、矩形的軸對稱性質，最后再讓學生類比證明圓是軸對稱圖形，使得垂徑定理的根基更牢固，定理的可信度更強.

第二層次——知其所以然

從第一層次而來，不僅知道具體的幾何定理的內容與應用，而且要知道該定理如何證明？如何發現？到達知其所以然的層次是很多經驗教師都能夠達到的高度.在這個階段，學生對數學新學概念的理解準確，是一種理解式的概念學習，而非記憶式的機械訓練所得.

比如，初中階段的三角形內角和定理的教學，不少教學設計是重復學生在小學階段的操作實驗，剪拼驗證，然后再根據剪拼的操作示意，作出必要的輔助線實現證明則可看成是知其然，知其所以然.當然，我們也注意到有些老師對于三角形內角和定理的教學則更顯數學味，他們往往引導學生思考三角形有哪些元素，三條邊、三個內角，三條邊之間的數量關系容易發現，而三個內角和為定值則可借助小學已有經驗，然而小學并沒有給出證明，初中階段通過恰當的輔助線可以使得零散的三個內角集中到一起轉化為一個平行，實現問題證明.綜上，兩種不同的處理都達到了證明三角形內角和定理的層次，而非停留在小學直觀感知的初級階段.

再比如，等邊三角形的證明也是十分重要的.需要引導學生從不同的路徑證明，感受殊途同歸.如果從等腰三角形出發，強化出一個內角為60°后，又需要分兩種可能，即該內角是頂角或底角，然后分別證明該等腰三角形三個內角都為60°，實現命題證明；另外，從一般三角形出發，如果找出兩個內角為60°，則可結合三角形內角和證得三個內角均為60°，于是等邊三角形獲證.這里重要的不是具體的證明路徑，而是證明起始階段學生針對不同情況進行辨析，做好題設的識別，即找準出發點是證明等邊三角形的關鍵.這樣證明思路在后續學習矩形、菱形及正方形時道理是一致的.這也就是章建躍老師所倡導的要重視“基本套路”教學.

第三層次——何由以知其所以然

更高層次的幾何定理教學則追求將不同的幾何概念或定理、或推理都納入一個有機會整體，讓學生通過幾何知識的學習感受到數學的整體一致、前后關系、邏輯連貫.

比如，圓周角定理的教學，首先引導學生觀察猜想出同弧所對的圓內角是圓心角的一半，然后引導學生分類證明圓周角性質，最后綜合起來得到圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半.接著將圖形特殊化，出現直徑所對的圓周角為直角，而在這個推論中需要引導學生從“正、反”兩個角度理解，首先是“正向思考”有直徑所對的圓周角為直角；“逆向思考”有圓周角為90°時，所對的弦為直徑，所對的弧為半圓.在此基礎上還可將圓周角定理的基本圖形拓展成圓內接四邊形的問題，得出圓的內接四邊形對角互補、圓的內接四邊形的一個外角等于它的內對角.這些知識都可納入到如下一個知識結構體系中，見圖5（PPT截圖）.

圖5

類似地，我們上面提到的三角形內角和定理教學，也可以由三角形內角和出發，將三角形特殊化為直角三角形，則研究出兩銳角的互余關系；將三角形特殊化為等腰三角形，可研究出頂角與底角之間的數量關系；將三角形的外角添出來，研究一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，還可進一步得出三角形外角和為定值360°.它們之間的關系也可設計出PPT（如截圖6）.

圖6

行文至此，想起著名特級教師、江蘇省南通市啟秀中學李庾南老師在《自學·議論·引導教學論》中一篇課例，李老師沒有“理會”《義務教育數學課程標準（2011年版）》中舍去平行線等分線段定理，而直接在相似三角形學習時給出所謂的平行線分線段成比例的“基本事實”，而是構造出下圖（如圖7）這樣的教學設計路徑：

圖7

從圖7中我們對平行線分線段成比例的源頭、發展、特殊化都有清楚的表示，給學生帶來的整體觀、邏輯性、前后連貫性的啟示作用是巨大的.我們常常羨慕專家教師的專業基本功，感動他們的教學定力，想來，對數學知識的精深獨到的理解應該是專家教師們的特殊專業基本功吧.

1.張英伯.傅種孫——中國現代數學教育的先驅［J］.數學教育學報，2008（1）.

2.傅種孫.平面幾何教本［M］.北京：北京師范大學出版社，1982.

3.陶然.優選“數學現實”，注重變式教學——以“垂徑定理”教學為例［J］.中學數學（下），2015（10）.H