創新設問方式，引導備考方向
——以南通通州兩道九年級期中考題為例

☉江蘇省南通市通州灣海晏中學 姜海平

創新設問方式，引導備考方向
——以南通通州兩道九年級期中考題為例

☉江蘇省南通市通州灣海晏中學 姜海平

我們知道，最近兩年來北京中考數學卷在最后幾道把關題上不斷創新，一改長期以來“八股化”的試題呈現形式，一方面，加大開放題考查的力度.另一方面，堅持用新定義考題引導中考命題改革，著力培養學生的創新精神.這種更為“現實引領”（相比一些文件，甚或“課標”），使得北京市各區、各校在平時的階段檢測、期中、期末試卷中都出現了大量優秀的考題，所以北京各區的試卷也成為全國各地有命題興趣的研究者關注的重點，也悄然影響著不少地區.巧合的是，我們發現不但北京有通州區，在江蘇南通也有一個通州區，最近我們注意到該地區九年級期中試卷竟然也與北京中考倡導的開放考查、新定義考查高度類似，本文選取該卷中的兩道考題，賞析試題并跟進思考，提供研討.

一、兩道九年級考題的解法與賞析

考題1（2016年11月南通通州區九年級期中卷，第26題）如圖1，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，將邊AC繞點A逆時針旋轉θ（0°＜θ＜90°）得線段AP，作點B關于直線CP得對稱點Q，連接AQ，BQ.

（1）求∠AQB的度數；

圖1

圖2

思路簡述：（1）如圖2，連接CQ.由題意可知，CB=CQ= CA.則∠BQC=90°-∠BCQ，∠AQC=90°-∠ACQ.

（2）求解思路如下：

①過點A作AE⊥BQ，交BQ的延長線于點E，如圖2所示；

④由B，Q兩點關于直線CP對稱，AC=AP，可求∠PCQ=15°，∠ACP=75°；

⑤從而求出θ=30°.（或者寫成：從而求出θ的度數）

解后反思：第（1）問解出∠AQB是定值135°，則該問題應該有一個深層結構，這就是如圖3這樣的兩個圓，其實是分別以A、C為圓心的兩個等圓，點P在以A為圓心、AC為半徑的圓上，而點Q在以C為圓心、CA為半徑的圓上！理由容易理解，前者AP=AC；后者有CA=CB=CQ.這樣的話，就容易理解∠AQB為定值的原因了，當點Q在劣弧AB上時，∠AQB一定是鈍角135°；而去除考題中的限制條件旋轉θ（0°＜θ＜90°）后，則Q還可能在優弧AB上，此時∠AQB就為45°！

圖3

第（2）問的關鍵在于對幾個特殊數據、角度的敏感上，及時構造、利用特殊直角三角形，就可迅速確定轉化方向，發現△ACQ為等邊三角形是最關鍵的一步！

考題2（2016年11月南通通州區九年級期中卷，第28題）定義：如圖4，對于線段AB及線段AB外一點C，稱∠ACB為點C對線段AB的張角，記作∠（C，AB）.

圖4

圖5

如圖5，在平面直角坐標系xOy中，點D（0，1），E（0，5），F是該坐標系內的一個動點.

（1）若∠（F，DE）=30°，則滿足條件的點F有_____個；

（2）若點F在x軸正半軸上，且∠（F，DE）=30°，求點F的坐標；

（3）當點F在x軸上移動時，∠（F，DE）是否有最大值？若有，求點F的坐標，并說明最大的理由；若沒有，請說明理由.

思路簡述：（1）解題的關鍵是想清楚新定義中的點F的軌跡，即點F應該在一個圓上，該圓經過D，E，F三點，則弦DE所對的圓周角就是符合要求的，故點F有無數個；這里可構造一個草圖示意，如圖6，先作等邊△DEP，則以P為圓心，PE為半徑的圓P上的一些點，比如優弧DFE上（端點D，E除外）就是F的位置；當然，根據對稱性，點P還可以在第二象限.

圖6

圖7

（2）如圖6，由（1）知，點F在⊙P上，且圓心角∠DPE= 60°，再將思路轉化到圖7中，當F點在x軸正半軸上時，一共有2個點，分別是F1、F2.過點P分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為H和Q，在Rt△PDQ中，PD=DE=4，∠PDQ= 60°，則PD=2，PQ=.由輔助線作法可知四邊形PHOQ為矩形，則OH=PQ=，PH=OQ=3.在Rt△PHF1中，由勾股定理可知，，所以OF1=同理，所以點F的坐標為，0）或

（3）當過點D，E的⊙P與x軸相切于點F時，∠（F，DE）最大，如圖8，⊙P與x軸正半軸相切于點F，連接PD，PF，作PQ垂直于y軸，垂足為Q，則PF=OQ=3，即⊙P的半徑為3，得PQ=，所以F .

圖8

根據對稱性質，關于y軸對稱還有一種情形，當點F在x軸負半軸上時，可得.

∠（F，DE）最大的理由是：在x軸正半軸上任取一點M（不與點F重合），連接MD，ME，ME交⊙P于點N，連接ND，則∠DFE=∠DNE.因為∠DNE是△DMN的外角，所以∠DNE>∠DME，所以∠DFE>∠DME，即此時∠（F，DE）最大.

若切點F在x軸的負半軸上，同理可證得∠DFE>∠DME.

解后反思：第（1）問雖然簡單，只要填寫一個“無數”就能得分，但是想清楚這個“無數”個點F的軌跡，一段圓弧卻對于后續問題的求解起到奠基、全局作用.

第（2）問在上一問的基礎上，限制和強化了點F的位置，即既要在圓P上，又要出現在x軸正半軸上，這樣就是x正半軸與圓P的兩個交點了！

第（3）問比較抽象，需要想象出經過點D，E的圓與x軸相切的情形，切點恰為滿足題意的F點.

二、進一步的思考

1.地區命題責任重大，引導教學和備考方向

作為一個地區的命題來說，往往幾千人的全樣本參與限時測試，其影響面之廣、之深是一節所謂的公開課、示范課或寫一篇案例文章所不能及的，故承擔地區命題工作使命光榮，責任重大，既要科學準確診斷、評估學生前一階段學習情況，又要對后一階段的教學和備考方向進行有效引領.比如上文中兩道考題，不僅考查了學生對旋轉、圓的相關知識的考查，而且導向著引導學生自主發現幾何圖形中蘊含的幾何結構，促進深入思考、洞察問題深層結構的能力，當然，這些都是需要教師本人首先要成為命題者的知音，自身先達到對考題的深刻理解，才能將這種反思和發現結構的能力傳遞給學生.

2.重視開放考題設計，創新考題設問的方式

考題1的第（2）問學習和借鑒了北京卷幾何把關題的考查方式，只要求學生展示思路，而不需要拘泥于具體的解題細節，這種開放式的解答要求鼓勵學生不同的思路，節約了書寫規范語句的時間，使得這一小問的考查目的得到強化，而不需要學生展示細枝末節，對于閱卷、評分也提出了較高的要求，閱卷老師需要仔細辨析學生的思路、解題路徑是否有效，能否貫通思路，相比其他試題直接比對標準解答的評分來說，難度增大很多.

三、結束語

坦率地說，限于筆者的搜集和能力所及，現如今很難在一份期中試卷中看出如此的精彩和用心，這樣的試題并不是簡單的拼湊行為，而是苦心經營和立意引領，相信該地區的師生深入挖掘、深刻理解考題，一定能從中悟出下一階段的學習與備考方向，而不是把精力都放在一些不符合本地區命題風格的繁雜習題上，甚至是一些不能體現數學本質的試題.也期待更多的承擔命題任務的老師能設計出更多這樣的“好的題目”.

1.劉東升.一次期中考試閱卷隨筆［J］.中學數學教學參考（中），2016（1-2）.

2.夏盛亮.引導回歸教材，倡導開放取向——一次縣級期末卷的命題取向分析［J］.中學數學（下），2014（1）.

3.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學研究［J］.數學教學，2003（1，2，3）.

4.付小飛.明辨并列與遞進，引導分離和聚焦——2016年江蘇蘇州中考第28題解析與教學思考［J］.中學數學（下），2016（7）.

5.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.H