淺議高中數(shù)學(xué)向量教學(xué)

【摘 要】高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出，在必修課程（數(shù)學(xué)4）、選修課程（系列2—1）中分別設(shè)置了平面向量與空間向量的內(nèi)容。筆者在新課程教師培訓(xùn)和實驗區(qū)聽課中了解到，相當(dāng)一部分?jǐn)?shù)學(xué)教師認(rèn)為高中數(shù)學(xué)課程中的向量主要是作為解決幾何問題的一種工具，以簡化幾何證明。因此，對于向量教學(xué)的研究主要集中于向量在解幾何問題中的應(yīng)用，向量教學(xué)的重點(diǎn)放在用向量解幾何問題的技巧上。下面談一談向量教學(xué)中應(yīng)注意的問題。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 向量教學(xué) 注意 問題

一、注重向量的代數(shù)性質(zhì)及其幾何意義

向量的代數(shù)性質(zhì)主要表現(xiàn)在向量的運(yùn)算及其運(yùn)算律方面。運(yùn)算是貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)中的一條主線，學(xué)生最先學(xué)習(xí)的運(yùn)算是數(shù)的運(yùn)算，向量的運(yùn)算與數(shù)運(yùn)算既有聯(lián)系又有區(qū)別。例如，向量的加法運(yùn)算與數(shù)的加法運(yùn)算從代數(shù)運(yùn)算的角度看是一致的，都是A×A→A型的運(yùn)算。但是，向量的加法運(yùn)算的法則是三角形或平行四邊形法則，這與數(shù)的加法運(yùn)算的法則不同。向量的數(shù)乘運(yùn)算不同于數(shù)的乘法運(yùn)算，它擴(kuò)展了運(yùn)算的對象與運(yùn)算的類型，屬于A×B→B型的運(yùn)算。向量的數(shù)量積運(yùn)算也不同于數(shù)的乘法運(yùn)算，它是A×A→B型的運(yùn)算。

在向量的教學(xué)中，應(yīng)關(guān)注運(yùn)算的意義和運(yùn)算律。運(yùn)算與運(yùn)算律賦予向量集特定的結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生群、線性空間、線性賦范空間等不同的數(shù)學(xué)模型。例如，向量集V對于向量的加法（+）運(yùn)算滿足結(jié)合律、交換律、有零元（存在零向量）、有負(fù)元（每個向量都有與其方向相反、長度相等的向量），這是構(gòu)成交換群的基本性質(zhì)；V中向量的加法、實數(shù)域R中的實數(shù)與向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足數(shù)乘對向量加法的分配律（λ（a+b）=λa+λb）、數(shù)乘對數(shù)加法的分配律（（λ+γ）a=λa+γa）、數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)合律（（λγ）a=λ（γa））等，這是構(gòu)成線性空間的基本性質(zhì)。在教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在具體運(yùn)算的基礎(chǔ)上總結(jié)這些運(yùn)算律，認(rèn)識這些運(yùn)算律對于研究向量和運(yùn)用向量解決問題以及建構(gòu)數(shù)學(xué)體系的重要意義。

在向量的教學(xué)中，特別要重視向量的數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算與數(shù)的乘法運(yùn)算的區(qū)別與聯(lián)系，應(yīng)將向量的運(yùn)算及運(yùn)算律與數(shù)的運(yùn)算及運(yùn)算律進(jìn)行比較，幫助學(xué)生理解向量運(yùn)算的意義及其運(yùn)算律，為進(jìn)一步理解其他代數(shù)運(yùn)算奠定基礎(chǔ)。例如，對于數(shù)運(yùn)算來說，0是唯一的加法“零元”，1是唯一的乘法“單位元”。對于向量的加法運(yùn)算來說，零向量0也是唯一的加法“零元”，對于任何向量a，0+a=a。但是向量的數(shù)乘運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算則具有不同于數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律：對于任何向量a，0a=0，1a=a，0a=0。雖然也有單位向量的概念，但單位向量不是數(shù)量積運(yùn)算的單位元，即ea≠a，而且單位向量也不唯一。若把單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則所有單位向量構(gòu)成一個單位圓（球）；數(shù)的乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律、消去律，即對于任何數(shù)a、b、c，（ab）c=a（bc），若ab=ac，且a≠0，則b=c。對于向量的數(shù)量積運(yùn)算來說，（ab）c≠a（bc）。這是因為，ab，bc都是實數(shù)，（ab）c是與c方向相同或相反的向量，a（bc）是與a方向相同或相反的向量，而a與c不一定共線，即使共線，（ab）c與a（bc）也不一定相等。若向量a、b、c是三個互相垂直的非零向量，則ab=ac=0，且a≠0，但b≠c。因此，向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律、消去律。在教學(xué)中，應(yīng)讓學(xué)生明確向量運(yùn)算與數(shù)運(yùn)算的這些區(qū)別，這樣才能對向量運(yùn)算乃至代數(shù)運(yùn)算有深入的認(rèn)識。

二、關(guān)注向量在物理、數(shù)學(xué)、現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用

物理中的矢量是向量的原型，向量及其運(yùn)算是物理中矢量及其運(yùn)算的抽象。因此，向量在物理中有廣泛應(yīng)用是不言而喻的。在教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生有意識地運(yùn)用向量及其運(yùn)算的性質(zhì)刻畫和解決物理學(xué)科中的問題。

向量在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，向量及其代數(shù)運(yùn)算可以刻畫幾何對象以及幾何度量問題，可以表示三角函數(shù)、證明三角函數(shù)的公式，可以表示重要的不等式。

三、關(guān)于數(shù)學(xué)向量教學(xué)的幾點(diǎn)建議

1.讓學(xué)生從現(xiàn)實中形成向量概念及其運(yùn)算

學(xué)生的向量概念首先是從接觸物理課程中的各種矢量開始的。在現(xiàn)實中，有許多教師都認(rèn)為自己在向量概念，教學(xué)中是借助物理背景引入向量概念，在概念引入過程中通過一個物理情境，就匆匆轉(zhuǎn)入向量及相關(guān)概念的教學(xué)，并且把整節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)放在后面的概念辨析中，這是學(xué)生無法建構(gòu)概念對象的主要原因。因此，教師在選擇物理情境時應(yīng)該注意既要包括有固定起點(diǎn)這樣的基本情境，也要包括不是固定起點(diǎn)的變式情境；既要涉及力、速度這些學(xué)生熟悉的情境，也要有平移等不熟悉的情境。然后通過鼓勵學(xué)生不斷反思，讓學(xué)生建立關(guān)于各種物理活動的一致的觀念，并最終把向量概念和及其運(yùn)算壓縮成一個認(rèn)知整體，使學(xué)生的向量概念及其運(yùn)算可以靈活地應(yīng)用于各種情境。

2.加強(qiáng)對向量語言的教學(xué)

數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)交流中傳遞信息和情感的重要工具，向量是中學(xué)階段數(shù)學(xué)語言表現(xiàn)形式較為豐富的載體，熟練運(yùn)用向量的自然語言、符號語言、圖形語言，通過交流可以加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識和理解。因為在交流的過程中，可以更好地理解和使用數(shù)學(xué)語言和符號，可以組織和強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，同時通過思考他人的想法和策略來豐富和擴(kuò)展自己的知識和思維。向量語言貫穿于向量教學(xué)的始末，其數(shù)學(xué)環(huán)境及為豐富，教師在教學(xué)中要重視向量運(yùn)算的學(xué)習(xí)階段和平面向量概念的建立，要遵循循序漸進(jìn)原則，在教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的每一階段，讓學(xué)生經(jīng)歷向量語言的模仿—口頭語言—書面語言，規(guī)范的口頭表達(dá)，尤其重要的是教師要給學(xué)生充分的“表現(xiàn)”機(jī)會，通過間接或直接的方式規(guī)范數(shù)學(xué)語言，使學(xué)生使用數(shù)學(xué)向量解決實際問題時能合理地使用三種語言形式，從而形成用數(shù)學(xué)的能力。

3.加強(qiáng)法向量在解題中的通法教學(xué)

教學(xué)過程中使用空間向量處理立體幾何問題，為傳統(tǒng)方法解決技巧性大、隨機(jī)性強(qiáng)調(diào)問題提供了一些通法，使對向量問題的研討達(dá)到了有效運(yùn)算的水平；不僅不會增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)，相反，由于學(xué)生掌握了一套有力的工具，可以降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，減輕他們的負(fù)擔(dān)。所說的“通法”主要體現(xiàn)在證明有關(guān)垂直（線、線垂直與線、面垂直）的問題上，并沒有涉及用向量怎樣求解線、面角與二面角的問題；筆者所說的“通法”更應(yīng)體現(xiàn)在求解空間角和空間距上。教師如果在教學(xué)中只是照本宣科，就會使學(xué)生對向量的優(yōu)越性產(chǎn)生懷疑。因此，在教學(xué)中能在加強(qiáng)法向量的教學(xué)的基礎(chǔ)上，全面體現(xiàn)用向量處理立體幾何問題的通法，真正讓學(xué)生感受到其“威力”，這對我們的向量教學(xué)是很有益的。