談“函數 是不是指數函數”

在講指數函數的定義時，經常會遇到函數 是不是指數函數的問題。不僅學生的看法不一致而且老師們的看法也不一致，概括起來有以下幾種觀點。

觀點一：認為函數 不是指數函數，因為指數函數是形式定義，形如 的函數是指數函數，而且在以往的教學中也一直強調在講指數函數的定義時一定要注意以下幾點（1） 前面的系數是1；（2）指數 的系數也是1；（3）只有 單項式后面不加任何數；（4）底數 ，而且經常以 為例來強調 前面的系數為1。

觀點二：認為 是指數函數，因為 ，符合指數函數的定義，所以 是指數函數，而且是以 為底的指數函數。

觀點三：如果函數以 的形式給出，就不是指數函數，因為它不符合指數函數的形式定義， 前面的系數不為1；如果函數以 的形式給出是指數函數，這種形式符合指數函數的形式定義，很顯然這種說法很牽強而且前后矛盾，同一個函數怎么既是指數函數又不是指數函數呢，所以這種說法站不住腳。

觀點四：認為講指數函數的概念時對指數函數的形式一帶而過不要深究，知道有指數函數這回事就可以，不要求學生判斷這類函數是不是指數函數，不強調x的系數問題。但是《新課程標準》和《考綱》均要求學生理解指數函數的概念、圖像和性質，給定一個函數進而判斷一個函數是否為指數函數，要求學生掌握指數函數的概念和形式，所以對于指數函數的形式絕不能打馬虎眼，否則學生上完指數函數的概念這一節課一頭霧水，竟然不知道什么樣的函數才是指數函數，那么這堂課顯然就是很失敗的。

到底函數 是不是指數函數呢？筆者認為是指數函數，下面簡單說明自己的理由，而且判斷函數是不是指數函數也可以采用以下兩種方法。

方法一：形如 的函數是指數函數，筆者認為這里的形如不只是“外表”一樣，還包括“內在”一樣，因為 ，所以 是指數函數.所以判斷一個函數是不是指數函數不僅要看“外表”還要看“內在”。

同樣 ，所以 也是指數函數.

練習1：判斷下列函數是否為指數函數。

（1）f（x）=2·3x，（2）f（x）=3﹣3 x，（3）f（x）=3 x﹢1，（4）f（x）=（﹣3）x

.

法二：在不少輔導資料或試題中均出現過判斷哪些函數滿足 ，好像基本上都是所有的指數函數均滿足這一性質，所以我就大膽嘗試用新的方式定義指數函數。

函數 定義在 上，且滿足條件 的單調函數稱函數 為指數函數。

因為

， ，所以

又 是定義在 上的單調函數，所以它是指數函數。

同樣 用這種辦法判斷也是指數函數。

因為 所以 ，故 是指數函數。

練習2：用法二判斷下列函數是否為指數函數。

（1）f（x）=2·3x，（2）f（x）=3﹣3 x，（3）f（x）=3 x﹢1，（4）f（x）=（﹣3）x

其實除了上面兩種辦法以外，還有一種辦法可以判斷一個函數是不是指數函數，因為指數函數和對數函數互為反函數所以想判斷一個函數是不是指數函數只需判斷它的反函數是不是對數函數就可以。

函數 的反函數是 ，而函數 是對數函數，所以 是指數函數.