平面向量在高中數學空間幾何中的應用

【摘 要】向量的學習是數學學習中的關鍵，通過向量實現對代數和幾何之間的聯系，通過這種聯系能夠將復雜的幾何問題轉化為數量問題加以解決，降低數學問題的難度，更好的解決幾何問題。通過向量的學習也能鍛煉學生的建模、數形結合和轉化的思想，實現數學能力的逐漸提升。

【關鍵詞】向量；空間幾何；高中數學

一、平面向量概念的引入

平面向量是銜接代數和幾何之間的重要的橋梁，向量不同于數量，是既有大小還有方向的量，數量只有大小，是代數領域的概念，可以比較不同數量之間的大小，而向量有著方向和大小的雙重屬性，有著兩個決定因素。向量的常用的表示方法有幾何表示法，就是通過有向線段的方向實現表達，包括起點、方向和長度等組成，還可以通過字母表示法實現表達，在字母上方添加箭頭，實現對向量的表達。向量的大小，也就是向量的長度，又稱為向量的模，表示為 ，其中向量的長度為0的向量稱為零向量，而向量的長度為1的向量稱為單位向量，向量之間是不能進行大小的比較，但是向量的模之間是可以進行大小比較。向量的相等即要求大小相等，還要求方向相同，兩個向量之間只有相等的關系，不存在大于或者小于的關系。方向相等或者想反的非零向量叫做平行向量，可見相等向量一定是平行向量，而平行向量則不一定是相等向量。向量和向量段之間也是存在著差別，向量有且僅有兩個決定因素，即為大小和方向，只要這兩個因素相同，即為相等向量，而向量段除向量的兩個決定性因素之外，還存在著向量的起點，只有當起點也一致的時候，向量段之間才為相等的關系，也就是說，即使向量段的大小和方向相同了，但是起點不一致，可以稱作相等向量，但是不能稱作相等的向量段。

二、平面向量知識中包含的數學思想

（一）構建模型的數學思想。構建模型的思想是高中數學中重要的數學思想，構建模型就是從復雜的問題或者現實問題中通過簡化和抽象形成一些特定的數學問題的思想，構建模型的思想是數學建模思想的基礎，通過數學手段解決實際的問題。向量中很多的問題包含著這一概念，向量的加減法歸結為平行四邊形法則和三角形法則，向量的移動和位移的問題可以歸納為解三角形的問題，通過這種思想的建立能夠解決現實中相對較為復雜的問題。

（二）數形結合的數學思想。我國著名的數學家華羅庚曾說過，數無形時少直覺，形無數時難入微，將數量和圖形之間的緊密關系直觀的展現出來，建立數形結合的思想是重要的數學思想，這種思想將數量表達的規范性和圖形表達的直觀性進行比較好的結合，通過數形之間的轉化，解決數學問題。向量本身就兼具著幾何和代數兩個方面的含義，向量具有方向是向量幾何屬性的內容，而向量的大小則是向量的代數屬性的內容。在向量的學習中能夠很好的體現數形結合這種思想的優越性，并且通過向量知識的學習建立起這種重要的數學思想。在實際的學習過程中，應該在問題中捕捉“數”和“形”的相關表達，建立兩者之間的聯系，揭示兩者之間的密切關系。

（三）化歸轉換的數學思想。在數學的研究中，研究一個問題可以有很多種的研究思路，當一種思路的解決難度較大的時候，可以通過另一種方式實現對問題的解決。向量問題的學習中可以很好的掌握這種數學思想。通過這種化歸轉換的思想，實現問題更加靈活的解決，不僅能夠更好的解決問題，還能保障解決過程的效率。向量的表達和數學中其他知識之間也存在著極為緊密的聯系，通過對這些聯系更加有效的應用，實現對數學問題的解決。在研究向量之間的角度的問題就可以轉化為向量坐標之間的運算問題，角度問題的研究相對較為復雜，而數量的計算相對較為簡單，通過簡單的方式實現對同一問題的解決。通過對數學問題之間的聯系，將各種問題更加緊密的聯系起來，對數學的本質有了更加深刻的思考。

三、在高中數學空間幾何中平面向量的運用

平面向量是一種二維的向量，對這個概念的引申，導出了空間向量的概念，通過空間向量這一重要的工具能夠很好的研究空間集合的問題。通過向量能夠將位置信息轉化為數量信息，可以說，向量是架在幾何和代數問題之間的橋梁，通過向量能夠實現這兩種信息之間的相互轉化，能夠實現問題的化繁為簡。對于空間幾何中的幾何問題，包括距離和角度等等關系，傳統的幾何方式的解決較為繁瑣，需要在空間幾何中建立繁多的輔助線，計算量也較大，各種證明問題的證明過程繁瑣、復雜。而通過向量的手段，可以將幾何中的信息以一種數量的形式實現準確的表達，通過數量之間的相互關系，驗證空間幾何中的幾何問題或者是關系，這樣就省去了添加過多的輔助線的問題，就算的過程也相對較為簡單，實現了對問題的簡化。傳統的解決幾何問題的幾何方法對運算人員的邏輯推理的能力要求較高，通過向量方法的轉換，實現對邏輯推理要求的降低，降低了解決問題的難度，實現對問題的簡化。

總之，向量是幾何和代數問題之間的橋梁，通過之間關系的轉化，實現對幾何問題解決過程的優化。高中階段對向量知識的學習能夠促進學生構建模型、數形結合和劃歸轉化思想的建立，使得學生對數學知識的理解更加的深入，能夠理解數學知識之間的聯系，并且通過這種知識之間的聯系，更好的解決數學問題。

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（作者單位：浙江省諸暨市海亮教育集團）