數項級數斂散性的判別方法綜述

[關 鍵 詞] 數項級數；收斂性；判別方法

[中圖分類號] G642 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）15-0124-01

一、理論

1.定義：如果我們有這樣的u1+u2+…+un+…的數項級數，它的部分和數列{Sn}，當n趨于無窮時，收斂到S，那么我們就稱數項級數是收斂的。

2.級數收斂的柯西準則：？坌？著>0，？堝N，？坌n>N，P∈N有Sn+p-Sn<？著.

3.比式判別法的極限形式：設■un為正項級數，且■■=q，則：（1）當q<1時，級數■un收斂；（2）當q>1時，級數■un發散；（3）當q=1時，級數■un可能收斂，也可能發散。

4.根式判別法的極限形式：設■un為正項級數，且■■=l，則：（1）當l<1時，級數■un收斂；（2）當l>1時，級數■un發散；（3）當l=1時，級數■un可能收斂，也可能發散。

5.積分判別法：設f（x）是在[1，+∞）上的非負遞減的函數，那么反常積分■f（x）dx收斂時，正項級數■un也收斂；反常積分■f（x）dx發散的時候，正項級數■un也發散.

6.萊布尼茨判別法：如果交錯級數■（-1）n-1un滿足如下兩個條件：（1）數列{un}單調遞減；（2）■{un}，則級數收斂。

7.狄利克雷判別法：如果{an}是單調遞減的數列，并且當n趨于無窮時an趨于0，并且級數■bn的部分和數列是有界的，那么可以得到級數■anbn是收斂的。

8.阿貝爾判別法：若{an}為單調有界數列，且級數■bn，則級數■anbn收斂。

二、應用方法

（一）運用極限的思想來解決數項級數的斂散性問題

數項級數和數列極限是同一個問題的不同形式，所以用求極限的方法來解決數項級數的斂散性就成為最直接的方法。

基本步驟：（1）分析題目給的條件，考慮■un具有的特點和性質，是否可以很容易地化到數列形式或其他形式。（2）利用前n項和的極限是否存在來判斷級數的斂散性，可以利用定義、柯西收斂準則等最為直接的方法，也可以選擇其他極限方法。

注意：我們總是可以將數項級數化為數列的形式然后去求其極限，數列的斂散性就可以判斷出來了，但很多時候這個過程是復雜的，而且并不是所有的數列極限都容易求解，所以，這個方法有其弊端，后面我們將介紹專門針對數項級數的判斷方法。

（二）求解正項級數的斂散性問題

在上面我們討論了用求極限的思想來解決數項級數的斂散性問題，計算過程其實相對復雜，我們需要一種直接判斷的方法，由于正項級數的特殊性，我們有三種方法來判斷，但在實際應用過程中需要比較方法的優劣，下面給出了這三種方法的

對比：

1.比較判別法是最基本的方法，適用面廣，但是也有很大的弊端，關鍵在于如何尋找適合的比較對象。

2.比式判別法和根式判別法是使用最多的方法，它們無需尋找比較對象，依賴于通項表達式，同時，它們的弊端在于很多時候無法判別。

3.積分判別法是一種特殊的方法，需要滿足特定條件才可以使用，如級數的通項必須要求是非負減函數，并且寫成概念積分的形式后容易判斷收斂性。

基本步驟：（1）分析題目條件，考慮■un具有的特點和性質，是否有明顯或者可以直接利用到的條件或者結論。（2）通常按照以下步驟依次嘗試：判斷通項是否為0，若不為0，即級數發散；利用比式或者根式判別法；選擇判斷是否可使用積分判斷法；當上面三種都不可行的時候，我們只能去選擇比較判別法，通過找適當的比較對象來進行判斷，這一步需要通過平時的做題來積累。

（三）交錯級數的斂散性

交錯級數是一種特殊類型的數項級數，它具有典型的形式，同時也有專門的求解方法——萊布尼茨判別方法，在很多題目中有著重要的應用。

（四）通過采用狄利克雷判別法和阿貝爾判別法來求解一般數列的斂散性問題

當我們在做題的時候遇到一般項級數的問題時，應該優先考慮級數是不是絕對收斂，這樣問題就變成去判斷正項級數的斂散性問題，如果級數不是絕對收斂，除了交錯級數可以用萊布尼茨判別法來判斷，還可以利用數項級數收斂的定義、狄利克雷判別法和阿貝爾判別法，后兩種方法用于判斷具有兩項乘積的級數只要兩項分別滿足定義要求，即可得到收斂的結論。

基本步驟：（1）分析題目條件，考慮■un具有何種特點和性質，先判斷是否絕對收斂；（2）如果不是數項級數求出來不是絕對收斂，又不能使用萊布尼茨判別法的時候，可以將通項按要求分成兩項的乘積，嘗試使用狄利克雷判別法和阿貝爾判別法。