在“破”與“立”中，加深概念理解

梁燕

【摘 要】人教版教材修訂后，“倍”的教學在內容編寫上發生了較大的變化，面對這個改變，作為承上啟下的一個重點和難點，教師應重新審視、對比教材，調查學情，初步厘清“什么是倍”“為什么要教倍”“如何去教倍”，并在此基礎上重新定位教學目標，在“破”與“立”中拓展表征概念的空間，重視構建“倍”的認知結構，從而更好地體現和豐富“倍”的內涵。

【關鍵詞】破與立 數學概念 認知結構 模型建構

人教版“倍”的教學將原來分散在二年級上冊的內容后移至三年級上冊，安排在一個單元進行教學，“倍的認識”看似獨立為一課難度降低了不少，但依然是一個難點。因為認識“倍”是學生從“加法結構”到“乘法結構”的一次質的轉化，而認知結構的轉變是學生學習的最大困難；另外“倍”的概念涉及兩個量的比較，十分抽象且不易理解，單純的告知學生只是停留在模仿階段，“倍的認識”這節課是學生認識“倍”概念的起始課，從“倍”開始，學生數學認知的腳步算是踏進了“率”的大門，同時這也是一節種子課，這節課概念建構扎實與否將影響本單元解決問題的學習，也為后續學習分數、比、百分數等的內容提供基礎模型。如何幫助學生建立“倍”的直觀模型，認識“倍”概念的本質特征，如何理解用倍表達數量之間關系的價值和必要性，如何選擇學習材料，最終讓學生更清晰地建構“倍”的概念，帶著這些問題，我們深入理解，重新思考。

一、剖析認知結構，精準設定教學目標

學生為什么需要學“倍”呢？“初步認識”只是停留在初步較淺層面嗎？“倍”的知識點在整個教材體系中又有何作用呢？帶著這樣的思考，我們對教材的例題、習題及復習內容進行研讀，也分析不同版本的設計，收集雜志上的文章等，形成了簡要的綜述，使我們對教材的編排意圖與教學目標逐漸清晰起來。

從目前的研究來看，劉加霞教授認為“倍”是從加法結構到乘法結構的轉折點。乘法結構不是指單一的認識乘法，而是一個概念體系，基本概念是乘法與除法，與之相關的有倍、最大公因數、最小公倍數、運算律及面積、體積、速度等概念和定律。這樣看來，我們既可以從乘法結構聚焦到“倍的認識”，也可以從“倍的認識”輻射到乘法結構。

從眾多發表的文章中梳理，我們可以發現許多教師把“倍”看成是刻畫兩個量之間關系的一種表達方式，其核心是用一個量去刻畫另一個量，“倍”代表著兩個數量間的比較關系。我們更傾向認為“倍”是刻畫兩個量之間關系的眾多表達方式中的一種，“倍”是學生在刻畫兩個量之間關系的時候，第一次從絕對數量的比多少到相對數量關系比較的轉變，這對學生即將接觸到的分數、百分數、比甚至以后的函數等內容的學習，起著至關重要的作用。我們認為這和其他的刻畫方式屬于不同地位，所以一方面要與眾多的刻畫方式建立起聯系，另一方面又要將“關系系統擴容”，將“倍”特有的刻畫方式準確地納入到表達關系的這一知識體系當中，因此我們在教學中有意識地作了關注。

二、拓展表征空間，合理選擇教學方法

有清晰的目標引導，那么我們可以根據倍的概念以及學生的認知結構去選擇教學材料了。我們覺得要關注以下幾點。

（一）情境的切入需要認知沖突產生不平衡

“倍的認識”一課，人教版教科書則是讓學生在用小棒拼擺圖形的過程中建立“倍”的概念。在實際教學中，嘗試了多種情境創設，教師進一步將教材中的情境轉換成各種各樣有趣的情境，如以猜數游戲引入，有的利用拍手歌激趣，有的引導學生從動手擺不同顏色的圖片中發現數量關系的問題，有的讓學生比較不同事物的數量關系或比較物體的長度關系，有的創設挑戰三個卡通人物帶來的數學問題的情境……多數教師把“倍”看成是刻畫兩個量之間關系的一種表達方式，因此教師往往從研究關系入手，直接告知學生“倍”的關系。也有教師在教學時先出示3個紅圓片、3個黃圓片，問學生兩種圓片的數量有怎樣的關系，然后增加3個黃圓片，再讓學生說一說3個紅圓片和6個黃圓片之間又有怎樣的關系。學生會最先發現多少的關系，然后教師就過渡到了倍的關系。

我們還嘗試了“魔盒”情境，如下圖。今天老師還給你們帶來了一個魔術盒，想不想看？（出示盒子）這可不是一般的盒子，它可是有魔力的哦！仔細觀察，再想一想，如果放進去4個黑圓片，出來的會是什么呢？請你在練習紙上畫一畫。

像這樣黑子有4顆，白子有3個4顆，我們就說白子的個數是黑子的3倍。這就是我們今天要學習的“倍的認識”。

我們認為這樣的設計學生試圖在尋找規律，創設這樣的情境，也不足以使學生打破原有的認知中關于加法的結構。如何設計具有推陳出新的情境達到破與立的效果呢？我們認為讓學生的思維結構從加法結構上升到乘法結構，情境需要產生認知沖突，產生了認知需求的不平衡才有利于結構重建（詳見第三部分我們的設計）。

（二）建立認知結構需要對比與抽象

“概念形成需要這樣的過程，即建立完整表象之后抽象為概念，實現抽象概念后在思維過程中的又能具體再現。”那么比較是我們教學時采用的重要手段。在學生通過動手操作等手段初步認識“倍”后，如何讓學生進一步理解“倍”的概念呢？這就需要我們引導學生在不斷對比與抽象中，舍棄“倍”的各種非本質特征，在變化中抓住“不變”，而這“不變”就是“倍”的本質。我們在教學中設計多個比較的環節，如“一份數在變，幾份數也在變，倍數卻不變”等情境，通過比較引導學生逐步明晰和把握概念的本質，使他們的認知和理解不斷深入。

三、分析概念“內涵”，科學設置教學環節

據此我們認為，對“倍”的認識，應該是一種的新關系的認識，是對關系概念的擴展，兩種量不僅表示數量的相差，還可以表示份數多少的關系，我們要幫助學生完成對“關系”系統的重構。我們厘清了“倍”的定位，站在“關系系統重構”的高度，確定整體的教學方向。

定位了課的教學目標、充實概念理解的材料之后，還得在各環節教學中落實。如何將“倍”的含義分解到新知學習—練習鞏固—總結延伸等教學環節形成教學鏈，我們進行了如下設計。

（一）新知學習環節，破與立中建表象

從認知心理學看，“理解某個東西是指將它納入一個恰當的圖式”。圖式就是一組相互聯結的概念，圖式越豐富，就越能處理相關的變式情境。要讓學生建立“倍”的豐富圖式，可對“倍”的意義進行如下統整。

這兩幅圖中隱藏著什么秘密呢？根據前面兩幅圖的規律，猜猜第二行老師會怎么畫呢？有想法了嗎？把它畫在你的紙上。

反饋交流時，先反饋從比多少的角度畫的情況，再著重反饋從“倍”的角度畫的情況。以三個承接性的問題“你一圈我們就看懂你的想法，為什么4個一圈啊？現在你發現三幅圖中蘊含的一個共同的秘密了嗎？3倍，哪里看出都是3倍？”為引導，在尋找共同點中揭示倍概念。抽象出倍模型的環節，是破加法結構后建立乘法結構過程中較為關鍵的一步，可以這樣進行：

框里可以畫幾個？學生說可以有很多個，只要每個框里一樣多。教師追問：第二行拿掉1份，現在是（ ）倍，再拿掉1份呢？增加1份呢，再增加2份呢？現在誰能說說為什么是5倍？學生：第一行有1份，第二行有這樣的5份，那么就說第二行的個數是第一行的5倍。

豐富模型建立表象的新知學習統整，我們先破學生認知中的“加法結構”，學生驚奇地發現，還有“份”的關系藏在其中；接著從三幅圖中去尋找它們的共同點，讓學生認識到三幅圖中的數量都是不同的，但是它們之間的關系卻都是相同的，再在畫一畫、圈一圈、指一指、說一說等豐富的活動中讓學生初步建構“第一行是1份，第二行有這樣的3份”的模型，從而初步建立模型的表象。

（二）核心習題環節，反向構建明標準

概念的核心問題設計，通常要圍繞核心知識進行各種變式，在變式訓練的過程中，引導學生梳理知識點，通過點、線、面、體，將看似零散的習題組成一個個題組模塊，進而在引導學生不斷將數學概念知識簡約化、模塊化、集成化的過程中，逐步完善自己的數學概念認知結構。我們的習題組是這樣設計的：

課件出示：圓形的個數是正方形的2倍。

師：一起讀一讀，能讀明白嗎？你能不能用一幅圖來表示這句話。（學生畫圖）

從一句話去構建一幅圖，這個反向構建的活動是對“倍”概念深化的重要表征。在這個環節中，因為問題情境較開放，學生先要去考慮“1份”（正方形的個數）是多少，再根據“1份”去找“2份”（圓形的個數）。通過“你先畫了什么”“你先圈了什么”等問題，讓學生知道應該先確定1份數作為參照，再根據1份數去畫2份數，讓學生感知先確定一份數為標準的重要性，把標準在乘法關系結構中的地位凸顯出來。

（三）應用拓展環節，變與不變深化運用

為了讓學生有意識地用“倍”的眼光去表達，我們設計數量不同，但是它們之間的關系卻是相同的情境。

1.分別說的是哪一幅圖

兩位小朋友在討論這兩幅圖，猜猜他們分別說的是哪一幅圖呢？用手勢表示。

師：兩幅圖紅蘿卜的根數是白蘿卜的4倍，你是怎么看出來的？同桌交流一下。

這兩位小朋友，你覺得誰說的話最有水平？為什么？

師：紅蘿卜的根數是白蘿卜的4倍，還可以表示紅蘿卜有幾根，白蘿卜有幾根？

2.把兩幅圖的意思一起說出來

師：繼續接受挑戰嗎？我們先來看看圖的意思，男生有幾人？女生有幾人？

師：這兩幅圖的數量是不一樣的對嗎？想一想你能不能學學剛才聰明的小B說一句話，就能把兩幅圖的意思都說出來。

師：如果你已經想到了，請你把這句話寫下來，如果還不會，請和你的同桌討論一下。

師：讀一讀：男生的人數是女生的3倍。

師：你是怎么看出來的，誰上來指一指。

師：很厲害，他先圈了什么？再圈什么？

3.演一演

“男生的人數是女生的3倍”這句話我們現場表示出來，行嗎？

A：先請3名女生上來，（思考：這時該上來幾位男生呢？）陸續上來3組男生，得出男生是女生的1倍、2倍、3倍。

B：增加1名女生，現在男生是女生的幾倍？

C：減少2名女生，現在男生是女生的幾倍？

D：剩下一名女生，你能用一句話來說一說嗎？

知識點本身是有難度的，變化符合學生學習天性，當學生一聽到自己可以創造，學生的積極性被調動起來，顯得非常的興奮。“倍”不是單一的乘法結構，它是乘法意義的拓展與延伸，但同時也包含對除法意義的理解，這無疑會對初次理解“倍”的概念抽取出倍的模型，也很好地運用了模型解決問題。

概念學習是貫穿數學學習始終的，也是一個漸進的過程，只有當學生多角度、多層面地理解了概念，才能夠順利向“形式化定義”的階段過渡。概念教學任重而道遠，我們在設計本課時，在對本課的研究中筆者最大的感觸是不能為了教概念而教，而是要清晰地知道概念的來龍去脈，確切把握概念教學課的屬性，關注“倍”的產生（比較的需要）、“倍”的意義（亦即內涵）以及獲得“倍”概念后的概念運用等。本節概念課設計與創新之處在于，一是在認知結構建立之時采用“先破再立”的手段，使模型更清晰；二是在關注它與后續分數學習的連接點——把誰看作“1份”（標準量）。關注本質，關注聯系，綜觀整體，在“破”與“立”中讓概念教學更加扎實而有效。

參考文獻：

[1] 劉加霞.從加法結構到乘法結構：“倍”是轉折點——評析高麗杰老師的“倍的初步認識”[J].小學教學，2010（7-8）.

[2] 顧曉東.基于已有經驗的意義關聯——“倍的認識”教學反思與改進[J].小學教學參考，2014（1）.

（浙江省嘉興市嘉善縣第二實驗小學 314100）