在二次函數(shù)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想

袁春明

【摘要】二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，集中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，本文結(jié)合二次函數(shù)的數(shù)學(xué)，探尋滲透數(shù)形結(jié)合思想的有效策略。

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù) 數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)思想 初中數(shù)學(xué)

【中圖分類號】G 【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）11A-0084-02

數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重滲透數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)形結(jié)合思想是指導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要數(shù)學(xué)思想之一，掌握數(shù)形結(jié)合的方法，可以極大地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生終身受益。二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，集中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，是訓(xùn)練數(shù)形結(jié)合方法的良好載體。結(jié)合初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)教學(xué)，探尋滲透數(shù)形結(jié)合思想的有效策略，是一項值得教師研究的課題。

一、解析二次函數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，闡釋數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)思想的直接呈現(xiàn)。很多教師為了應(yīng)對考試，在日常教學(xué)中偏重于數(shù)學(xué)知識的傳授，而忽略了數(shù)學(xué)思想的教育，制約了學(xué)生的全面發(fā)展。二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)課程中占有十分重要的地位，是函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想的良好載體。教師應(yīng)認真地研讀教材，闡釋其中包含的數(shù)形結(jié)合思想，促使學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想形成直觀的認知。

在學(xué)習(xí)二次函數(shù)之前，學(xué)生已經(jīng)具備了一次函數(shù)、反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，也初步了解數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用。因此，在學(xué)習(xí)二次函數(shù)知識時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借鑒前面的學(xué)習(xí)方法，從掌握圖象和性質(zhì)出發(fā)展開教學(xué)。在學(xué)習(xí)這些知識時，教師要適時向?qū)W生滲透：不論是[y=ax2]型的圖象特征，還是[y=ax2]、[y=a（x+m）2]和[y=a（x+m）2+k]三種二次函數(shù)的圖象之間的關(guān)系，以及一般二次函數(shù)[y=ax2+bx2+c]的圖象與[y=ax2]的圖象之間的關(guān)系，都不可避免地需要對函數(shù)關(guān)系式和圖象進行研究，這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)必然會涉及函數(shù)表達式與圖形的結(jié)合，需要通過觀察圖象找出其中的變化規(guī)律。同時，這部分內(nèi)容還需要學(xué)生能夠運用二次函數(shù)解決實際生活中的求“最值”的問題，這類問題也可以通過對函數(shù)關(guān)系式的化簡，作圖解答，進一步體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。

二、分析二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，滲透數(shù)形結(jié)合思想

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是重點也是難點，是數(shù)形結(jié)合思想的集中體現(xiàn)。教師組織學(xué)生學(xué)習(xí)這一部分知識時，通過指導(dǎo)學(xué)生運用正確的作圖方法，按照列表、描點、連線的作圖步驟，正確地作出二次函數(shù)的圖象之后，引導(dǎo)學(xué)生認真觀察圖象，積極思考，進行判斷和歸納，發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)圖象變化的規(guī)律，得到二次函數(shù)的性質(zhì)，有效地滲透數(shù)形結(jié)合思想。

在學(xué)習(xí)“二次函數(shù)[y=ax2]（a不等于0）的圖象和性質(zhì)”時，教師引導(dǎo)學(xué)生通過對函數(shù)關(guān)系式的解析，確定了自變量的取值范圍，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，用表格的形式列出隨著自變量[x]的變化相應(yīng)的[y]值，然后，按照表格列出的每組數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系內(nèi)描點，再把描出的點連接起來，得到二次函數(shù)[y=ax2]的圖象，再指導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，包括圖象的形狀、開口方向、頂點坐標(biāo)、函數(shù)增減性的變化趨勢等。通過這種由“數(shù)”與“形”結(jié)合的方法，學(xué)生發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)[y=ax2]的圖象是拋物線，這個拋物線的頂點坐標(biāo)為（0，0），對稱軸是[y]軸，當(dāng)[a]>0時，二次函數(shù)[y=ax2]圖象開口向上;當(dāng)[a]<0時，二次函數(shù)[y=ax2]圖象開口向下。在分析二次函數(shù)[y=ax2]的性質(zhì)時，學(xué)生親身體驗了“數(shù)”與“形”之間的轉(zhuǎn)換，對數(shù)形結(jié)合思想有了比較具體的認知。

由上例可知，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)本身就是數(shù)形結(jié)合思想的良好載體，也是對學(xué)生進行數(shù)形結(jié)合思想教育的有效方式。教師在引導(dǎo)學(xué)生作圖、觀察、推理的過程中，直接向?qū)W生滲透了數(shù)形結(jié)合思想，給學(xué)生留下深刻的印象。

三、借助二次函數(shù)的研究方法，理解數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，數(shù)學(xué)知識的研究方法恰好也可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想。在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的內(nèi)容時，教師在數(shù)形結(jié)合思想的指導(dǎo)下，按照探討函數(shù)知識的常用步驟和方法，幫助學(xué)生分析研究二次函數(shù)性質(zhì)的思路，明確研究步驟，讓學(xué)生學(xué)會應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想探究數(shù)學(xué)知識的一般方法，掌握解決數(shù)學(xué)問題的具體步驟，加深學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的理解。

在學(xué)習(xí)“二次函數(shù)”的內(nèi)容時，教師為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，在上課伊始，就結(jié)合實際生活問題創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境：擬建設(shè)一個外圍是長方形的溫室，周長是120米，溫室內(nèi)部有通道，分別與長方形的兩邊相隔2米和1米，那么，設(shè)溫室的種植面為[y]，其中一條邊長是[x]，兩者之間的關(guān)系式是什么？這種實際問題的解答需要學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識。學(xué)生在理解題意時存在困難，教師提示學(xué)生可以先根據(jù)題目畫圖，能比較直觀地呈現(xiàn)出等量關(guān)系，進而列出y與x之間的關(guān)系式。學(xué)生通過畫圖，對于長方形的長和寬一目了然，順利地列出[y=（60-x-4）][（x-2）=-x2+58-112]的函數(shù)解析式。最后，直接引出了二次函數(shù)的定義，以及二次函數(shù)相關(guān)的“二次項系數(shù)”“一次項系數(shù)”和“常數(shù)項”的概念。這樣的引入方法，也是運用了數(shù)形結(jié)合思想方法，促使學(xué)生深入理解數(shù)形結(jié)合思想，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

由上例來看，通過利用數(shù)形結(jié)合的方法，按照“先畫出圖象，再總結(jié)性質(zhì)，最后運用數(shù)學(xué)語言進行描述”的三個步驟，分析二次函數(shù)的研究方法，讓學(xué)生深入理解數(shù)形結(jié)合思想。

四、通過二次函數(shù)的習(xí)題解答，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)不能通過簡單機械的記憶來完成，而是要通過實際應(yīng)用把數(shù)學(xué)思想內(nèi)化，成為學(xué)生數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣。練習(xí)題的解答是滲透數(shù)學(xué)思想的重要方式。在完成了二次函數(shù)知識的學(xué)習(xí)后，教師可以選擇一些典型的練習(xí)題目，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想、方法，形成獨特的應(yīng)用體驗，從而使數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)生的頭腦中扎根，自覺地指導(dǎo)學(xué)生的解題過程，提高學(xué)生的解題能力。

在學(xué)習(xí)“二次函數(shù)[y=ax2+bx+c]（[a≠0]）的圖象和性質(zhì)”的知識后，教師結(jié)合本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)，出示練習(xí)題：拋物線y=x2-3x+2不經(jīng)過（ ）。A. 第一象限;B. 第二象限;C. 第三象限;D第四象限。判斷拋物線所在的象限是學(xué)習(xí)二次函數(shù)的內(nèi)容后需要掌握的知識點。本題具有一定的典型性，教師先讓學(xué)生自己解答，有學(xué)生很快就給出了C答案。“為什么呢？請說說你的解題方法。”教師提出問題，引發(fā)學(xué)生深入思考。學(xué)生說：“我選取了這條拋物線的頂點、與x軸的交點三個點，并且判斷了拋物線的開口方向是向上，畫了個簡圖，通過看圖發(fā)現(xiàn)拋物線不過第三象限。”教師肯定了學(xué)生的回答，并進一步強調(diào)：“通過畫圖解決二次函數(shù)問題是一種快速準(zhǔn)確的方法。同學(xué)們要學(xué)會應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的解題方法，把抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為形象直觀的圖形，提高解題效率。”學(xué)生在解題中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的解題方法，使數(shù)形結(jié)合思想內(nèi)化到學(xué)生的知識能力結(jié)構(gòu)中，更好地指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

借助典型的二次函數(shù)練習(xí)題，讓學(xué)生在解題過程中體會數(shù)形結(jié)合思想，升華對數(shù)形結(jié)合思想的認識，獲得應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法解題的親身體驗，強化學(xué)生自覺應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法解題的行為，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

總之，數(shù)形結(jié)合思想方法可以比較容易地把抽象難懂的知識內(nèi)容轉(zhuǎn)化為形象易學(xué)的知識，教師應(yīng)通過認真研讀教材，挖掘滲透數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)內(nèi)容，靈活應(yīng)用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，借助有效的教學(xué)手段，有的放矢地進行數(shù)學(xué)思想教育，促使學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的方法，鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。

（責(zé)編 林 劍）