巧用極值不等式 定和求積覓極值

李棟

【中圖分類號】G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】A ? ? ?【文章編號】2095-3089（2016）11-0205-02

極值問題是物理應用中常見問題之一，解決這類問題的方法有幾種，如二次函數配方法、二次方程判別法、三角函數法、幾何作圖法，對于同一問題采取方法不同，其效果往往并一樣。

數學中有兩個重要極值不等式，它們是：

（1）均值不等式為：

（可變形為，當a=b時取等號）

（2）重要不等式為：

（可變形為，當a=b時取等號）

在物理極值問題的討論計算中恰當運用以上結論，是必簡便快捷，現舉幾例。

【例1】一正方形木塊邊長為H，在其右上方做成一個1/4圓形光滑軌道，半徑為R，讓質量為M的小球從A點自由釋放離開B點做平拋運動，問：

（1）小球在B點時對軌道的壓力多大？

（2）要使小球平拋運動的水平射程最大，軌道半徑R與H應滿足怎樣的關系？

析與解：（1）小球從A點自由釋放滑到B點的過程中，只有重力做功，小球的機械能守恒，，而小球在B點做圓周運動，所受支持力F與G應滿足，由此得：支持力F=3mg，小球對軌道的壓力為3mg;

（2）小球從A點自由釋放滑到B點的過程中，機械能守恒，小球離開B點時的速度為;小球離開B點之后做平拋運動，落地時間為，由此得：小球水平射程，由極值不等式有：當H-R= R時，即時，射程最大，最大射程為H。

【例2】如圖所示，光滑水平面右端連接一個豎直的半徑為R的光滑半圓軌道，在離B距離為x的A點，用水平恒力將質量為m的質點從靜止開始推到B處后撤去外力，質點沿半圓軌道運動到C點處以正好落回A點，求：

（1）推力對小球所做的功;（2）x取何值時，完成上述運動所做的功最小？最小的功為多少？（3）x取何值時，完成上述運動所用的力最小？最小的力為多少？

【析與解】（1）質點從半圓軌道運動又回到A點，設質點在C點的速度為vc，從C點運動到A點所用時間為t，則：

在水平方向上x=vct，在豎直方向上2R=gt2/2，可得：，對質點從A到C由動能定理有：，解得：

（2）由知，要使力F做的功最少，只需質點在C點速度最小，設質點恰好通過C點的速度為v，由牛頓第二定律得mg=mv2/R，則，則有，可得x=2R時，力F做的功最少，

（3）由=Fx，得，由極值不等式有：當16R/x=x/R時，即x=4R時，力F最小，，最小的力為F=mg。

【例3】如圖，粗細均勻的玻璃管長L=100厘米，開口向上豎直放置時，上 端齊管口有一段h=25厘米的水銀柱封閉著27℃空氣柱，大氣壓強為P=75厘米汞柱，現使空氣柱溫度逐漸升高，問欲使管內水銀全部溢出，溫度至少升到多高？

析與解：設管內空氣柱溫度升高到T（開），管內尚有水銀柱 ?厘米，管的橫截面積為S，則有

將數據代入，整理得：

如果再變為有關的二次函數求極值，解答就較為復雜，由于為常數，所以當時，即當 厘米時，T有極大值為（K）。

【例4】如圖所示電路中，已知電源電動勢內阻，定值電阻，，是總阻值為的滑動變阻器，閉合電鍵K，調節變阻觸點，求通過電源的最小電流？

析與解：與電源組成的電路實際上是雙臂環路，通過電源電流最小時，實際對應總電阻最大，設AP段阻值為X，那么：

由于（定值），

所以當時，即時，有最大值，，因此通過電源電流

（A）

物理中經常遇到求極值的問題，如果一類問題，涉及到兩個變量和為定值，求相應量極值問題，即定和求積覓極值，就可用數學中的極值不等式求極值，收到事半功倍的效果。