四階非線性系統的零解穩定性

于霞

【摘要】本文利用類比法構造了一類四階非線性系統的李雅普諾夫函數，得出了該系統零解穩定的充分條件，解決了相當廣泛的一類四階非線性系統的零解穩定性。

【關鍵詞】四階非線性系統 ?穩定性 ?李雅普諾夫函數

【中圖分類號】G64 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】A ? ? ?【文章編號】2095-3089（2016）11-0252-02

Stability of A Class of Fourth-order Nonlinear System

Yu xia

（Nantong university，Nantong， Jiangsu，226007.，China）

This paper studies the asymptotic stability of the nonlinear fourth order differential equation. By applying the Similitude-comparison method， a theorem of stability in the large of equilibrium position of equation is obtained， and stability of the nonlinear fourth order differential equation is solved.

【Key words】 Nonlinear fourth order differential equation;Tability;Liapunovs function

一、引言

微分方程的穩定性在物理、航天等許多科學領域都得到了非常廣泛的應用， 因而對于微分方程的穩定性的研究具有很大的實際意義。本文研究如下的四階非線性系統：

（1）

其中是依賴于變量的連續可微函數，且為大于零的常數.

文獻[1]給出了四階常系數線性系統李雅普諾夫函數公式，文獻[2]應用相應的公式研究了一類四階非線性系統的平凡解的穩定性，本文將通過類比法來解決一類更廣泛的四階非線性系統的零解漸近穩定性問題.

作變換將系統（1）化成等價系統：

（2）

系統（2）所對應的線性系統為：

（3）

其中均為大于0的常數，且.下面運用類比法得到系統（2）的李雅普諾夫函數，并建立其零解穩定的判別準則.

1. 零解的穩定性

取系統（3）的李雅普諾夫函數為[2]：

應用類比法可得系統（2）的李雅普諾夫函數：

下面我們可以敘述并證明如下結果：

定理1：對于系統（2）， 如果存在常數

及連續可微函數，滿足以下條件：

則系統（2）當時零解漸近穩定.

證明：由條件（1）可知當且僅當，從而得出正定.

由條件（1）、（2）、（3）得在.，且集合中不包含除原點外其它軌線，所以系統（2）的零解漸近穩定.

參考文獻：

[1]王聯，王慕秋.非線性常微分方程定性分析[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，1987 .

[2]梁在中.關于一類四階非線性系統李雅普諾夫函數構造的研究[M].應用數學與力學1995.

[3]康慧燕.，斯力更.一類四階非線性系統的全局漸近穩定性[J].大學數學2009，25（1）：40-42

[4]李濤，謝景力，孫長軍.一類四階非線性系統的全局穩定性[J].成都大學學報（自然科學版）， ?2010，29（2）：115-117

南通大學科研基金（03080055）