Cauchy型奇異非線性方程的高精度數(shù)值解法研究

王艷

摘 要：文章從不同角度入手客觀分析了Cauchy型奇異非線性方程高精度數(shù)值求解，探討了Cauchy型奇異非線性方程高精度數(shù)值數(shù)值解法驗證和結(jié)果，指出在求解Cauchy型奇異非線性方程過程中，將數(shù)值逼近函數(shù)法應(yīng)用于其中，可極大地提高方程數(shù)值準(zhǔn)確率。

一、Cauchy型奇異非線性方程高精度數(shù)值求解

（1）Cauchy型奇異非線性方程正規(guī)化。在新形勢下，由于Cauchy型奇異非線性方程頻繁出現(xiàn)在眾多領(lǐng)域研究課題中，Cauchy型奇異非線性方程研究的重要性不斷顯現(xiàn)，但其精確解的獲取難度相當(dāng)大。在利用數(shù)值逼近函數(shù)方法求解過程中，研究人員先探討了Cauchy型奇異非線性方程正規(guī)化，多層次對奇異方程特殊化算式進(jìn)行了合理化的關(guān)聯(lián)整合，Cauchy型奇異非線性方程正規(guī)化操作順利實現(xiàn)，合理去除了奇異積分方程具有的積分核奇異性，巧妙利用數(shù)值逼近函數(shù)方法，求解了Cauchy型奇異非線性方程的高精度數(shù)值，所定義的Cauchy型奇異非線性方程為：

Tφ=α（t）φ （t）+—∫— dτ=f（t），t∈L（1）

（2）Cauchy型奇異非線性方程數(shù)值具體求解。研究人員結(jié)合有限區(qū)間特征，合理化描述了第一類Cauchy型奇異非線性方程形式，即

∫φ（t）[— +L（t，x）]dt= f（x）， -1≤x≤1

其中φ（t）的冪級數(shù)展開形式為：

φ（t）≈（1-t2）∑αi t i

將上面的Cauchy型奇異非線性方程形式代入其中之后，便可以獲取Cauchy型積分解，但精準(zhǔn)度不高，存在較大誤差，需要根據(jù)具體情況，合理調(diào)整上面的求解過程。研究人員借助已知的相關(guān)定理，巧妙利用數(shù)值逼近分析帶這一方程，調(diào)整之后的Cauchy型奇異積分方程形式為：

∫φ（t）[—]dt= f（x）（α≥3）， -1≤x≤1

在已知的相關(guān)定理作用下可獲取下面式子：

ft=∑—{ —+—} -—∫[∑∑cjKp（α-1）（xi）Tj（t）tp]— dt，l=0，1，...n

求解其中的cj與K（t，x），由于K（t，x）已知，可以得出Cauchy型奇異積分方程的計算公式，即

φ（t）=（1-t2） ∑cjTj（t），（1≤t≤1）

在一系列計算操作下，可以得出Cauchy型奇異非線性方程解，如下所示：

φ（t）=（1-t2）∑cjTj（t），（-1≤t≤1）

也就是說，在數(shù)值逼近函數(shù)方法作用下，可以求出具有Cauchy核的奇異積分方程高精度數(shù)值解。

二、Cauchy型奇異非線性方程高精度數(shù)值數(shù)值解法驗證和結(jié)果

在求解之后，研究人員從不同角度入手進(jìn)一步驗證了數(shù)值逼近函數(shù)方法是否可以應(yīng)用到求解Cauchy型奇異非線性方程求解中，獲取的數(shù)值解是否具有較高的精準(zhǔn)度。研究人員進(jìn)行了相關(guān)的仿真試驗，Cauchy型奇異非線性方程包含其中，借助計算機(jī)軟件多樣化優(yōu)勢，利用數(shù)值逼近方法、邊界元方法，分別展開了相關(guān)的計算實驗。在仿真試驗過程中，研究人員發(fā)現(xiàn)如果計算的是類型相同的方程，在多次計算之后，數(shù)值逼近方法作用下的Cauchy型奇異非線性方程高精度數(shù)值解誤差都在規(guī)定范圍內(nèi)，滿足了Cauchy型奇異非線性方程可控誤差方面的具體要求。同時，在邊界元方法作用下，多次計算之后，研究人員發(fā)現(xiàn)Cauchy型奇異非線性方程高精度數(shù)值解存在較大誤差，無法滿足這類方程可控誤差方面的具體要求。

總而言之， Cauchy型奇異非線性方程高精度數(shù)值求解難度較大，必須根據(jù)各方面具體要求，科學(xué)利用求解方法，提高方程解精準(zhǔn)度。在試驗證明中，研究人員發(fā)現(xiàn)數(shù)值逼近函數(shù)方法具有其可行性，可以應(yīng)用到Cauchy型奇異非線性方程求解中。

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