探究等邊三角形性質和判定

向鷗

摘 要：數學因其學科特點，是一門具有很強邏輯性、抽象性、系統性的學科.而數學中的幾何部分邏輯性、抽象性、系統性更強，解決幾何問題不能僅僅依靠單純的模仿與記憶，而是要促使學生動手實踐、合作交流與自主探索.提出適當的問題.幾何的綜合性非常強，它所需要的不僅僅是當下所學習的幾個定理，還會用到以前所學到的知識點，多個知識點的綜合運用確實需要學生會思考，會假設，會論證，會總結.下面我以等邊三角形的判定，性質的綜合運用，引導學生思考，假設，論證，總結.

關鍵詞：等邊三角形性質；等邊三角形判定

等邊三角形的性質和判定定理

等邊三角形的性質：等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60°.

等邊三角形的判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形.

等邊三角形的判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

等邊三角形的性質和判定的綜合運用

Ⅱ如圖，等邊三角形ABC中，D是AB上的動點，以CD為一邊，向上做等邊三角形EDC，連接AE.

求證：⑴△ACE≌△BCD；⑵AE∥BC.

思路分析：（1）根據△ABC和△EDC是等邊三角形，利用等邊三角形的性質，等邊三角形的三條邊相等和等邊三角形的三個角相等，求證∠ACE=∠BCD.然后即可證明結論。（2）根據△ACE≌△BCD，可得∠ABC=∠CAE=60°，利用等量代換求證∠CAE=∠ACB即可。

證明：（1）∵ △ABC和△EDC是等邊三角形

∴ ∠ACB=∠DCE=60°

AC=BC，DC=EC

又∵ ∠BCD=∠ACB-∠ACD

∠ACE=∠DCE- ∠ACD

∴ ∠BCD=∠ACE

∴ △ACE≌△BCD

（2）∵ △ACE≌△BCD

∴ ∠ABC=∠CAE=60°

又∵ ∠ACB=60°

∴ ∠CAE=∠ACB

∴ AE∥BC

此題主要考查等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，以及平行線的判定等知識點的理解和掌握.然而此題當中還有一個陷阱，學生往往看到動點兩個字會感到非常害怕，不想思考，甚至不想再往后面讀題。但是這道題跟動點沒有關系.此題不僅僅培養學生在綜合題型上的分析能力，還能讓學生學會區分真假陷阱.此題難易程度適中，比較具有典型性.

Ⅲ如圖，等邊三角形ABC中，∠ACB和∠ABC的平分線相交于點O，OB、OC的垂直平分線分別交BC于E、F，連接OE、OF.

求證：△OEF是等邊三角形

思路分析：從題目條件看，利用三角形的外角性質易求∠OEF=∠OFE=60°，從而證明△OEF是等邊三角形.

證明：∵ E、F分別是線段OB、OC的垂直平分線上的點

∴ OE=BE，OF=BF

∴ ∠OBE=∠BOE，∠OCF=∠COF

∵ △ABC是等邊三角形

∴ ∠ABC=∠ACB=60°

又∵ OB、OC分別平分，∠ACB和∠ABC

∴ ∠OBE=∠BOE=∠OCF=∠COF=30°

∴ ∠OEF=∠OFE=60°

∴ ∠EOF=180°-2×60°=60°

∴ △OEF是等邊三角形.

證明一個三角形是等邊三角形，要根據已知條件選擇適當的方法.（1）如果已知三邊關系，則選擇等邊三角形的定義來判定；（2）若已知三角關系，則選用“三個角都相等的三角形是等邊三角形”來判定；（3）若已知是等腰三角形，則選用“有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形”來判定。然而這個題的綜合性比較強，不僅僅用到了等邊三角形的性質和判定，還用到了角平分線和垂直平分線的性質，最容易讓學生忽略的還是三角形的外角性質.圖形中的隱含已知條件往往是學生不容易關注到的.

Ⅳ 如圖，已知點D為等腰Rt△ABC內一點，∠CAD=∠CBD=15°，E位AD延長線上一點，且CE=CA.

（1）求證：DE平分∠BDC

（2）若點M在DE上，且DC=DM，求證：ME=BD

思路分析：（1）此題在第一問中解答方法不止一種，這里簡單介紹兩種方法.方法一：由△ABC為等腰直角三角形可得AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，由∠CAD=∠CBD=15°可得∠DAB=∠DBA=30°，從而得到DA=DB，利用三角形的外角性質可得∠BDE=60°.用AC=BC，DA=DB，CD為公共邊可得△ACD≌△BCD，通過全等三角形的性質可得∠ACD=∠BCD=45°，再次利用三角形的外角性質可得∠CDE=60°，從而證明出DE平分∠BDC.

證明：（1）∵ △ABC為等腰直角三角形

∴ AC=BC，

∠CAB=∠CBA=45°，∠ACB=90°

∵ ∠CAD=∠CBD=15°

∴ ∠DAB=∠DBA=30°

∴ DA=DB

在△ACD和△BCD中，

∴ △ACD≌△BCD

∴ ∠ACD=∠BCD=45°

又 ∠BDE=∠DAB+∠DBA=60°

∠CDE=∠DAC+∠ACD=60°

∴ ∠BDE=∠CDE =60°

∴ DE平分∠BDC

（2）連接MC

∵ DC=DM，∠CDE=60°

∴ △CDM是等邊三角形

∴ CD=CM，∠CMD=60°

∴ ∠CME=120°

又 ∠BDC=∠BDE+∠CDE=120°

∴ ∠CME=∠BDC=120°

∵ CE=CA

∴ ∠CAD=∠E=15°

∵ ∠CAD=∠CBD=15°

∴ ∠E=∠CBD=15°

在△ECM和△BCD中，

∴△ECM≌△BCD

∴ME=BD

此題綜合性非常強，不僅僅用到了等邊三角形的性質和判定，還用到了垂直平分線的性質，等腰三角形的性質“等邊對等角”和性質“三線合一”，等腰三角形的判定，三角形的外角性質，以及全等三角形的判定和性質.因此此題難度很大.而本題的一題多解，相同的條件，相同的問題，多樣的方法，極大的觸動了學生，豐富了他們的思維，激發了他們不斷探索的興趣，培養學生分析問題和解決問題的能力

參考文獻

[1]啟航新課堂.八年級（上冊）.吉林教育出版社.2017.

[2]啟航新課堂.八年級（上冊）.吉林教育出版社.2017.

[3]啟航新課堂.八年級（上冊）.吉林教育出版社.2017.

（作者單位：科學城一中）